2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第3講 平面向量教案

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1、 第3講　平面向量 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(2012·重慶)設(shè)x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝ A.　　　　 B. C．2　　　　 D．10 解析　利用平面向量共線和垂直的條件求解． ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 答案　B 2．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則·＝______

2、__. 解析　利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求解． 如圖所示，＝＋， ＝＋＝－， ∴·＝(＋)·(－)＝2－2 ＝||2－||2＝9－25＝－16. 答案?。?6 考題分析 近年的新課標(biāo)高考，對(duì)于平面向量的考查主要是向量的模、夾角的運(yùn)算以及平行、垂直的判斷及應(yīng)用，重點(diǎn)考查的是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與應(yīng)用，考查形式多樣，且常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)交匯命題 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：向量的有關(guān)運(yùn)算問題 【例1】(1)(2012·聊城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長線與CD交于點(diǎn)E，則下列說法錯(cuò)誤的是 A.＝＋　　　　

3、　 B.＝－ C.＝＋ D.＝＋ (2)(2012·天水模擬)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△AOC與△ABC的面積比值是 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1 [審題導(dǎo)引]　(1)利用平面向量的加減法及平面向量基本定理逐一判定； (2)把所求面積的比轉(zhuǎn)化為線段的比值． [規(guī)范解答]　(1)設(shè)＝λ＝λ(＋) ＝λ＋λ＝λ＋λ(－)＝λ＋λ， 又設(shè)＝μ， ∴＝＋＝＋μ＝＋μ 故，∴. ∴＝＋.故選D. (2)如圖所示， 設(shè)AC的中點(diǎn)為M， 則＋＝2， 又＋＋2＝0， ∴＝－， 即O是BM的中點(diǎn)， 故△AOC的底邊A

4、C上的高是△ABC底邊AC上高的， ∴△AOC與△ABC的面積比值是. [答案]　(1)D　(2)A 【規(guī)律總結(jié)】 平面向量運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn) 平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、向量的減法及實(shí)數(shù)與向量的積，在解決這類問題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：忽視向量的終點(diǎn)與起點(diǎn)，導(dǎo)致加法與減法混淆；錯(cuò)用數(shù)乘公式．對(duì)此，要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件． 【變式訓(xùn)練】 1．(2012·密云一模)在△ABC中，點(diǎn)P是BC上的點(diǎn).＝2，＝λ＋μ，則 A．λ＝2，μ＝1

5、 B．λ＝1，μ＝2 C．λ＝，μ＝ D．λ＝，μ＝ 解析　如圖， ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝. 答案　C 考點(diǎn)二：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 【例2】(1)(2012·三明模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，若＝2，＝3，則·＝________. (2)(2012·海淀一模)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b與b垂直，則|a|＝ A. B. C．2 D．4 [審題導(dǎo)引]　(1)向量與用，或表示計(jì)算其數(shù)量積； (2)利用(2a－b)⊥b，求出

6、x，然后計(jì)算|a|. [規(guī)范解答]　(1)·＝(＋)·(－) ＝ ＝·－||2＋·－· ＝×1×1×－1＋×1×1×－×1×1×＝－. (2)(2a－b)·b＝(3，x)·(－1，x)＝x2－3＝0， ∴x＝±，∴|a|＝2. [答案]　(1)－　(2)C 【規(guī)律總結(jié)】 [易錯(cuò)提示]　由于兩向量的數(shù)量積與它們的模和夾角有關(guān)，因此數(shù)量積是解決長度、夾角(尤其是垂直)等問題的重要工具．注意在△ABC中，向量的夾角與△ABC的內(nèi)角之間的關(guān)系，向量與的夾角為角A，而與的夾角為π－B，這一點(diǎn)不要出錯(cuò)． 【變式訓(xùn)練】 2．(2012·皖南八校聯(lián)考)設(shè)向量a、b滿足：|a|＝2，a·b

7、＝，|a＋b|＝2，則|b|等于 A. B．1 C. D．2 解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1. 答案　B 3．(2012·廈門模擬)已知平面向量a、b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b的夾角為 A. B. C. D. 解析　a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝4＋a·b＝3， ∴a·b＝－1， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝－， ∴〈a，b〉＝. 答案　C 考點(diǎn)三：平面向量的綜合應(yīng)用性問題 【例3】已知向量a＝，

8、b＝，且x∈，求： (1)a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值． [審題導(dǎo)引]　應(yīng)用向量的數(shù)量積公式和模的公式，可得f(x)的表達(dá)式，再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)化簡f(x)，根據(jù)f(x)的表達(dá)式求出λ的值． [規(guī)范解答]　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝　 ＝＝2， ∵x∈，∴0≤cos x≤1，∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－2λ·2cos x ＝2(cos x－λ)2－1－2λ2， 當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝0時(shí)，f(

9、x)取得最小值－1，這與已知矛盾； 當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝λ時(shí)，f(x)取得最小值－1－2λ2， 由已知，得－1－2λ2＝－，解得λ＝； 當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝1時(shí)，f(x)取得最小值1－4λ， 由已知，得1－4λ＝－，解得λ＝，與λ＞1矛盾． 綜上所述，λ＝. 【規(guī)律總結(jié)】 平面向量綜合應(yīng)用的技巧 [例3]體現(xiàn)了函數(shù)問題向量化、向量問題函數(shù)化的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，其中，模的平方與向量數(shù)量積之間的關(guān)系|a|2＝a·a＝x2＋y2和a＝(x，y)是實(shí)現(xiàn)向量與實(shí)數(shù)互化的依據(jù)和橋梁，也是重要的轉(zhuǎn)化方法．在近幾年的高考中，經(jīng)常以解答題的形式考查上面所說的這種轉(zhuǎn)化，且常

10、見于以三角函數(shù)為背景的中易檔解答題中． 【變式訓(xùn)練】 4．(2012·青島二模)已知向量m＝(sin x，sin x)，n＝(sin x，－cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n，若函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱． (1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值，并求出此時(shí)x的值； (2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，A為銳角，若f(A)－g(A)＝，b＋c＝7，△ABC的面積為2，求邊a的長． 解析　(1)由題意得：f(x)＝sin2x－sin xcos x ＝－sin 2x＝－sin， 所以g(x)＝－－sin， 因?yàn)閤∈，所以2x－∈， 所以

11、當(dāng)2x－＝－，即x＝－時(shí)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值為. (2)由f(A)－g(A)＝， 得1－sin＋sin＝， 化簡得：cos 2A＝－. 又因?yàn)?＜A＜，解得：A＝， 由題意知：S△ABC＝bcsin A＝2，解得bc＝8， 又b＋c＝7，所以a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)＝49－2×8×＝25， 故所求邊a的長為5. 名師押題高考 【押題1】在正三角形ABC中，AB＝1，＝7＋3，則·＝________. 解析　·＝(7＋3)·＝7·＋3· ＝7×1×1×cos 120°＋3×1×1×cos 60°＝－2.

12、[押題依據(jù)]　本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中等偏易題．每年高考大多數(shù)情況下都會(huì)涉及此類題目，有時(shí)還會(huì)與正、余弦定理交匯命題，所以在備考中掌握其基礎(chǔ)知識(shí)，能熟練運(yùn)算即可． 【押題2】在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知向量m＝(b，a－2c)，n＝(cos A－2cos C，cos B)，且m⊥n. (1)求的值； (2)若a＝2，|m|＝3，求△ABC的面積S. 解析　(1)解法一　由m⊥n，得b(cos A－2cos C)＋(a－2c)cos B＝0. 根據(jù)正弦定理，得sin Bcos A－2sin Bcos C＋sin Acos B－2sin

13、Ccos B＝0. 因此(sin Bcos A＋sin Acos B)－2(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝0，即sin(A＋B)－2sin(B＋C)＝0. 因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sin C－2sin A＝0.即＝2. 解法二　由m⊥n得，b(cos A－2cos C)＋(a－2c)cos B ＝0. 根據(jù)余弦定理，得b×＋a×－2b×－2c×＝0. 即c－2a＝0.所以＝＝2. (2)因?yàn)閍＝2，由(1)知，c＝2a＝4. 因?yàn)閨m|＝3，即＝3， 解得b＝3. 所以cos A＝＝. 所以sin A＝. 因此△ABC的面積S＝bcsin A＝×3×4× ＝. [押題依據(jù)]　向量的垂直、平行是向量的重點(diǎn)內(nèi)容，而向量與三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，正、余弦定理綜合的題目是高考的一類熱點(diǎn)題型．本題主要考查了向量垂直的充要條件、向量的模以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，難度中等，符合高考的要求，故押此題． - 7 -