2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修部分 60 證明不等式的基本方法課時訓(xùn)練 文（含解析）

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1、【課時訓(xùn)練】證明不等式的基本方法 解答題 1．(2018廣州五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值為t. (1)求t的值； (2)若正實數(shù)a，b滿足a＋b＝t，求證：＋≥. (1)【解】因為|x＋3|＋|x－1|＝|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4. (2)【證明】由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝，b＝時取等號，故＋≥. 2．(2018湖北八校聯(lián)考)設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.　 (1)證明：<； (2)比較|1－4ab

2、|與2|a－b|的大小，并說明理由． (1)【證明】記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－2<－2x－1<0解得－0. 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|. 3．(2018廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在實數(shù)x使f(x)<2成立． (1)求實數(shù)m的值； (2)若α，β≥1，f(α)

3、＋f(β)＝4，求證：＋≥3. 【解】(1)因為|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|. 要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，則|m|<2， 解得－2

4、設(shè)α，β，γ均為實數(shù)． (1)證明：|cos (α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin (α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，證明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 【證明】(1)|cos (α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin (α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.　 (2)由(1)知，|co

5、s [α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin (β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1. 6．(2018貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3. (1)【解】當(dāng)x<－1時，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)； 當(dāng)－1≤x<2時，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；當(dāng)x≥2時，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)． 綜上，f(x)的最小值m＝3. (2)【證明】a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a＋b＋c＝3， 因為＋＋＋(a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2 ＝2(a＋b＋c)． (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時，取等號) 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3. 3