5、；再染兩個偶數(shù)2，4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2 018個數(shù)是( )
A．3 971 B．3 972
C．3 973 D．3 974
解析：選B.由題意可知，第1組有1個數(shù)，第2組有2個數(shù)……根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，可知前n組共有個數(shù)．由于2 016＝<2 018<＝2 080，因此，第2 018個數(shù)是第64組的第2個數(shù)．
6、由于第1組最后一個數(shù)是1，第2組最后一個數(shù)是4，第3組最后一個數(shù)是9，……，第n組最后一個數(shù)是n2，因此，第63組最后一個數(shù)為632，632＝3 969，第64組為偶數(shù)組，其第1個數(shù)為3 970，第2個數(shù)為3 972.故選B.
二、填空題
7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，則a8＝________．
解析：數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，則Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5，即Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5.
答案：5
8．(2018·武漢調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列{an
7、}滿足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，則這個最小值為________．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，
與a4a6＝275，聯(lián)立，解得或
當(dāng)時，可得此時an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知當(dāng)n≤2時，an<0，當(dāng)n≥3時，an>0，所以a2a3＝－12為anan＋1的最小值；
當(dāng)時，可得此時an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知當(dāng)n≤7時，an>0，當(dāng)n≥8時，an<0，所以a7a8＝－12為anan＋1的最小值．
綜上，anan＋1的最小值為－12.
答案：－12
9．(2018·昆明
8、調(diào)研)將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多1項的規(guī)則排成如下數(shù)陣：
記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1，a2，a4，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．若Sn＝2bn－1，則a56＝________．
解析：當(dāng)n≥2時，因為Sn＝2bn－1，所以Sn－1＝2bn－1－1，所以bn＝2bn－2bn－1，所以bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)，因為b1＝2b1－1，所以b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以bn＝2n－1.
設(shè)a1，a2，a4，a7，a11，…的下標(biāo)1，2，4，7，11，…構(gòu)成數(shù)列{cn}，則c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3
9、＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，所以cn＝＋1，由cn＝＋1＝56，得n＝11，所以a56＝b11＝210＝1 024.
答案：1 024
三、解答題
10．(2018·高考天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數(shù)n的值．
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.由b1＝1，b3＝
10、b2＋2，可得q2－q－2＝0.
因為q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
所以，Tn＝＝2n－1.
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.
由b5＝a4＋2a6，
可得3a1＋13d＝16，
從而a1＝1，d＝1，故an＝n.
所以，Sn＝.
(2)由(1)，有
T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得
＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，
解得n＝－1(舍)，或n＝4.
所以，n的值為4.
11．(2018·陜西教
11、學(xué)質(zhì)量檢測(一))已知在遞增的等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3是a1和a9的等比中項．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求S100的值．
解：(1)設(shè)公差為d(d>0)，
則an＝a1＋(n－1)d.
因為a3是a1和a9的等比中項，
所以a＝a1a9，
即(2＋2d)2＝2(2＋8d)，
解得d＝0(舍去)或d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n.
(2)由(1)得bn＝＝＝，
所以S100＝b1＋b2＋…＋b100＝×(1－＋－＋…＋－)＝×＝.
12．(2018·蘭州模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a
12、3＋a5＝8，數(shù)列{bn}中，b1＝2，其前n項和Sn滿足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解：(1)設(shè){an}的公差為d，
因為a2＝2，a3＋a5＝8，
所以2＋d＋2＋3d＝8，
所以d＝1，所以an＝n.
因為bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，①
所以bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．②
①－②得，bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)，
所以bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)．
因為b1＝2，b2＝2b1，
所以{bn}為等比數(shù)列，b1＝2，q
13、＝2，
所以bn＝2n.
(2)因為cn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
兩式相減，得Tn＝＋＋…＋－＝1－，
所以Tn＝2－.
[B組 大題增分專練]
1．(2018·昆明模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＋2an＝3.
(1)證明{an－1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)已知符號函數(shù)sgn(x)＝設(shè)bn＝an·sgn(an)，求數(shù)列{bn}的前100項和．
解：(1)因為an＋1＝－2an＋3，a1＝－1，
所以an＋1－1＝－2(an－1)，a1－1＝－2，
所以數(shù)列{an－1}是首項為－2，公比為－2的等比數(shù)列．
14、
故an－1＝(－2)n，即an＝(－2)n＋1.
(2)bn＝an·sgn(an)＝
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，則S100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.
2．(2018·惠州第一次調(diào)研)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a8成等比數(shù)列．
(1)若數(shù)列{an}的前10項和為45，求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn＝－，求數(shù)列{an}的公差．
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，
由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得
15、a＝a1·a8，
即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d)，得a1＝9d.
由數(shù)列{an}的前10項和為45得10a1＋45d＝45，
即90d＋45d＝45，
所以d＝，a1＝3.
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3＋(n－1)×＝.
(2)因為bn＝＝，
所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝[＋＋…＋]＝，
即Tn＝＝＝
＝－，
因此＝1，解得d＝－1或1.
故數(shù)列{an}的公差為－1或1.
3．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝2，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的首項b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2
16、)數(shù)列{cn}滿足cn＝bn＋(－1)nan，記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.
因為a1＝2，b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2，
所以解得
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n，bn＝2n－1.
(2)由題意：cn＝bn＋(－1)nan＝2n－1＋(－1)n2n.
所以Tn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n2n]，
①若n為偶數(shù)：
Tn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]}
＝2n－1＋×2＝2n＋n－1.
②若n為奇數(shù)：
Tn＝＋{(－2＋4
17、)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－2)＋2(n－1)]－2n}
＝2n－1＋2×－2n＝2n－n－2.
所以Tn＝
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n，n∈N*.
(1)證明：{an－n}為等比數(shù)列；
(2)數(shù)列{cn}滿足cn＝，求證數(shù)列{cn}的前n項和Tn<.
證明：(1)因為an＋1＝2an－n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)．
又a1＝3，所以a1－1＝2，
所以數(shù)列{an－n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，an－n＝2·2n－1＝2n.
所以bn＋1＝bn＋an－n＝bn＋2n，
即bn＋1－bn＝2n.
b2－b1＝21，
b3－b2＝22，
b4－b3＝23，
…
bn－bn－1＝2n－1.
以上式子相加，得bn＝2＋＝2n(n≥2)．
當(dāng)n＝1時，b1＝2，滿足bn＝2n，
所以bn＝2n.
所以cn＝＝＝－.
所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－<.
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2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項二 專題三 2 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用專題強化訓(xùn)練
