2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題三 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案

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1、專(zhuān)題三 數(shù)列、推理與證明第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S23a22，S43a42，則q_.解析利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解解法一S4S2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡(jiǎn)得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去)解法二設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，由S23a22，得a1(1q)3a1q2.由S43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q0，q.答案2(2012課標(biāo)全國(guó)卷)已知an為

2、等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10A7B5C5D7解析解法一利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解由題意得或a1a10a1(1q9)7.解法二利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.答案D考題分析等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)與運(yùn)算是各地高考考查的熱點(diǎn)，突出了通性通法三種題型都有可能出現(xiàn)，有較容易的低檔題，也有與其他知識(shí)交匯命題的壓軸題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】(2012盤(pán)錦模擬)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a22，a3a432.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnalog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.審題導(dǎo)引(1)利

3、用所給的條件式求出a1與q，可求an；(2)把數(shù)列bn分解為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列，分組求和規(guī)范解答(1)a1a222，a3a43232，數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，a1a22，a3a432，q416，q2，又a1a2a1a1q2，a11，ana1qn12n1.(2)bnalog2an，bn4n1(n1)，Snb1b2b3bn(4041424n1)(012n1).【規(guī)律總結(jié)】方程思想在等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算中的運(yùn)用等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個(gè)量，如果已知其中的三個(gè)，就可以求其余的兩個(gè)其中a1和d(或q)是兩個(gè)基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的

4、基本運(yùn)算問(wèn)題一般先設(shè)出這兩個(gè)基本量，然后根據(jù)通項(xiàng)公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過(guò)解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問(wèn)題中的體現(xiàn)易錯(cuò)提示等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算中，容易出現(xiàn)的問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：一是忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號(hào)、大小等，導(dǎo)致增解；二是不能靈活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量【變式訓(xùn)練】1(2012安徽師大附中模擬)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a58，S36，則S10S7的值是A24B36C48D72解析S33a26，a22，又a58，3da5a26，d2.S10S7a8a9a103a93a5(95)d48

5、.答案C2(2012青島模擬)設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)nN，有S2n3Sn，則q的取值范圍是A(0,1 B(0,2) C1,2) D(0，)解析當(dāng)q1時(shí)，顯然有S2n3Sn，當(dāng)q1時(shí)，S2n3Sn，即S2n3Sn(qn2)0.0，qn20恒成立，0q1，故q(0,1答案A考點(diǎn)二：等差、等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足：an2SnSn10(n2，nN，Sn0)，a1，判斷與an是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明你的理由審題導(dǎo)引因?yàn)橐阎P(guān)系式中包含an，Sn，Sn1，所以應(yīng)根據(jù)an與Sn的關(guān)系式：anSnSn1(n2)將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn

6、與Sn1之間的關(guān)系，從而判斷是否為等差數(shù)列，并求出Sn的表達(dá)式，然后求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷其是否為等差數(shù)列規(guī)范解答因?yàn)閍nSnSn1(n2)，所以由an2SnSn10，可得SnSn12SnSn10(n2)，所以2(n2)，又因?yàn)镾1a1，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以2(n1)22n，故Sn.所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，所以an1，而an1an.所以當(dāng)n2時(shí)，an1an的值不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列an不是一個(gè)等差數(shù)列綜上，是等差數(shù)列，an不是等差數(shù)列【規(guī)律總結(jié)】判斷數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列的方法在判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列時(shí)，應(yīng)該根據(jù)已知條件靈活選用不同的方法，

7、一般是先建立an1與an的關(guān)系式或遞推關(guān)系式，表示出an1an，然后驗(yàn)證其是否為一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)另外，常數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana，它是一個(gè)首項(xiàng)a1a，公差d0的等差數(shù)列，若a0，則該數(shù)列也是一個(gè)首項(xiàng)a1a，公比q1的等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列中包含有0的項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列一定不是等比數(shù)列【變式訓(xùn)練】3(2012西安模擬)已知數(shù)列an滿(mǎn)足：a12，an12an2.(1)求證：數(shù)列an2是等比數(shù)列(要求指出首項(xiàng)與公比)；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)證明由an12an2，得an122an4，即an122(an2)，即2(nN)，又由a12得a124，所以數(shù)列an2是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等

8、比數(shù)列(2)由(1)知an242n12n1，所以an2n12，所以Sn22232n12n2n2n22n4.考點(diǎn)三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an，前20項(xiàng)和為100，則a7a14的最大值是A25 B50 C100 D不存在(2)(2012株洲模擬)設(shè)等比數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10A12B10 C8D2log35審題導(dǎo)引(1)求出a1a20，利用a1a20a7a14與基本不等式求解；(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則解題規(guī)范解答(1)an為等差數(shù)列，S2020(a1a20)100，a7a14a

9、1a2010.a70，a140，a7a14225，當(dāng)且僅當(dāng)a7a145時(shí)，等號(hào)成立(2)a5a6a4a7，a5a6a4a718，a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案(1)A(2)B【規(guī)律總結(jié)】等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列有很多性質(zhì)很類(lèi)似，但又有區(qū)別，學(xué)習(xí)時(shí)需對(duì)比記憶，靈活應(yīng)用(2)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用(3)應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式【變式訓(xùn)練】4設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，

10、a1a2a380，則a11a12a13等于A120 B105 C90 D75解析設(shè)公差為d且d0，a1a2a315，a2da2a2d15，a25.又a1a2a380，d29.d0，d3.則a11a12a133a123(a210d)105.答案B名師押題高考【押題1】在等比數(shù)列an中，a18，a4a3a5，則a7A.B.C.D.解析解法一設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.a4a3a5，a18，8q38q28q4，即q3，q，a7a1q686.解法二a4a3a5a，且a40，a41.又aa1a7，即18a7，a7.答案B押題依據(jù)本題可根據(jù)給出的條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，也可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，

11、解題切口較寬，不僅考查數(shù)列的通性通法，同時(shí)也突出了對(duì)能力的考查，符合高考的要求，故押此題【押題2】在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)證明由已知an12an2n，得bn11bn1.又b1a11，因此bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知n，即ann2n1，Sn1221322n2n1，兩邊乘以2得2Sn2222323n2n，兩式相減得Sn121222n1n2n(2n1)n2n(n1)2n1.押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明、數(shù)列的求和一直是高考的熱點(diǎn)，本題綜合考查了等差數(shù)列的證明、通項(xiàng)公式的求法、錯(cuò)位相減法求和等知識(shí)點(diǎn)，難度中等，故押此題 - 7 -