高三數(shù)學(xué)第一篇三 三角函數(shù)與解三角形刺 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 文

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1、第第1 1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系考點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象與解析式(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系1.三角函數(shù):設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin =y,cos =x,tan =(x0),各象限角的三角函數(shù)值的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦.yx2.同角關(guān)系:sin2+cos2=1,=tan .sincos3.誘導(dǎo)公式:在+,kZ的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變,符號看象限”.2k典型例題典型例題(1)已知點(diǎn)P落在角的終邊上,且0,2),則的值

2、為 .(2)(2017北京,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin =,則sin = .(3)(2016課標(biāo)全國,14,5分)已知是第四象限角,且sin=,則tan= .答案答案(1)(2)(3)- 33sin,cos44134354741343解析解析(1)tan =-1,又sin0,cos0,所以為第四象限角,又0,2),所以=.(2)由角與角的終邊關(guān)于y軸對稱,可得=(2k+1)-,kZ,sin =,sin =sin(2k+1)-=sin =.(3)解法一:sin=(sin +cos )=,sin +cos =,2sin cos =-.

3、3cos43sin4cos4sin43434741313422353 25725是第四象限角,sin 0,sin -cos =-=-,由得sin =-,cos =,tan =-,tan=-.解法二:+=,sin=cos=,又2k-2k,kZ,2k-+0,0)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖:設(shè)z=x+,令z=0,2,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點(diǎn)、連線可得.(2)圖象變換:y=sin xy=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).232典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國理,9,5分)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是()A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長

4、到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2223x612126D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2(2)(2017天津,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2,則 ()A.=,= B.=,=-C.=,=- D.=,=答案答案(1)D(2)A12

5、1258118231223111213112413724解析解析(1)y=sin=cos=cos=cos,由y=cos x的圖象得到y(tǒng)=cos 2x的圖象,需將曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變;由y=cos 2x的圖象得到y(tǒng)=cos的圖象,需將y=cos 2x的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度,故選D.(2)f=2, f=0, f(x)的最小正周期大于2,=-=,得T=3,則=,又f=2sin=2,sin=1.+=2k+,kZ,=2k+,kZ.223x2232x26x212x12212x12581184T 11858342T23582538512512212|0,0)的圖象求解析式

6、時(shí),常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定;常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)確定,其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.1.(2017河南鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)要得到函數(shù)y=sin 2x-cos 2x的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度2244跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)答案答

7、案 D因?yàn)閥=sin 2x+cos 2x=sin,y=sin 2x-cos 2x=sin=sin,所以將函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長度就可得到函數(shù)y=sin 2x-cos 2x的圖象,故選D.224x224x2244x42.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)函數(shù)f(x)=Asin(x+)的部分圖象如圖所示,若x1,x2,x1x2,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)= ( )0,0,|2A,6 3 A.1 B. C. D.122232答案答案 D根據(jù)圖象,可得A=1,=-=,T=,=2,f (x)=sin(2x+).又由圖象得f=0,可得sin=0,可得+=2k

8、+(kZ),解得=2k+(kZ),又|0,0)的性質(zhì)(1)奇偶性:=k(kZ)時(shí),函數(shù)y=Asin(x+)為奇函數(shù);=k+(kZ)時(shí),函數(shù)y=Asin(x+)為偶函數(shù).(2)周期性:y=Asin(x+)的最小正周期為T=.(3)單調(diào)性:根據(jù)y=sin t和t=x+(0)的單調(diào)性來研究,由-+2kx+2k(kZ)得單調(diào)增區(qū)間;由+2kx+2k(kZ)得單調(diào)減區(qū)間.(4)對稱性:利用y=sin x的對稱中心為(k,0)(kZ)求解,令x+=k(kZ)得其對稱中心.2222232利用y=sin x的對稱軸為x=k+(kZ)求解,令x+=k+(kZ)得其對稱軸.22典型例題典型例題(2017北京,16

9、,13)已知函數(shù)f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求證:當(dāng)x時(shí), f(x)-.解析解析(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=.323x,4 4 123232123223x22(2)證明:因?yàn)?x,所以-2x+.所以sinsin=-.所以當(dāng)x時(shí), f(x)-.44635623x612,4 4 12方法歸納方法歸納三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期及最值(或值域)的求法(1)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法:求形如y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)(A、為常數(shù),A0,0)的單調(diào)區(qū)間

10、的一般思路是令x+=z,則y=Asin z(或y=Acos z),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得.(2)三角函數(shù)周期的求法:函數(shù)y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正周期T=.應(yīng)特別注意y=|Asin(x+)|的周期為T=.(3)三角函數(shù)最值(或值域)的求法:在求最值(或值域)時(shí),一般要先確定函數(shù)的定義域,然后結(jié)合三角函數(shù)性2|質(zhì)可得函數(shù)f(x)的最值.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017課標(biāo)全國理,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.f(x)的一個(gè)周期為-2B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱C.f(x+)的一個(gè)零點(diǎn)為x=D.f(x)在單調(diào)遞減3x836,2答案

11、答案 D f(x)的最小正周期為2,易知A正確;f=cos=cos3=-1,為f(x)的最小值,故B正確;f(x+)=cos =-cos,f= -cos=-cos=0 ,故C正確;由于 f =cos=cos =-1,為f(x)的最小值,故f(x)在上不單調(diào),故D錯(cuò)誤.838333x 3x663223233,22.(2017浙江,18,14分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.323解析解析(1)由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2

12、x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.23322312232322123321223326x2632623所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ). 2,63kk1.(2017福建福州綜合質(zhì)量檢測)要得到函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象,只需將函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象()A.向左平移個(gè)周期 B.向右平移個(gè)周期C.向左平移個(gè)周期 D.向右平移個(gè)周期12121414隨堂檢測隨堂檢測答案答案 D因?yàn)閒(x)=sin 2x=cos=cos,且函數(shù)g(x)的周期為

13、=,所以將函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長度,即向右平移個(gè)周期得到的.22x24x224142.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一)若是函數(shù)f(x)=sin x+cos x圖象的一個(gè)對稱中心,則的一個(gè)取值是()A.2 B.4 C.6 D.8,08答案答案 C因?yàn)閒(x)=sin x+cos x=sin,由題意,知f= sin =0,所以+=k(kZ),即=8k-2(kZ),當(dāng)k=1時(shí),=6,故選C.24x8284843.函數(shù)y=sin x(0)的部分圖象如圖所示,點(diǎn)A、B是最高點(diǎn),點(diǎn)C是最低點(diǎn),若ABC是直角三角形,則的值為()A. B. C. D.243答案答案 A由已知得AB

14、C是等腰直角三角形,且ACB=90,|AB|=ymax-ymin=1-(-1)=2,即|AB|=4,而T=|AB|=4,解得=,故選A.12224.(2017吉林長春質(zhì)量檢測(二)關(guān)于函數(shù)y=2sin+1,下列敘述有誤的是()A.其圖象關(guān)于直線x=-對稱B.其圖象可由y=2sin+1圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫紺.其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.其值域是-1,334x44x1311,012答案答案 C解法一:由3x+=+k(kZ)解得x=+,kZ,當(dāng)k=-1時(shí),函數(shù)y=2sin+1圖象的對稱軸為x=-,故A正確;由圖象變換知識(shí)可得橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?就是把x的系數(shù)擴(kuò)大3倍,故B正確;由3x+=k(kZ)解得x=-+,kZ,當(dāng)k=3時(shí),x=,圖象的對稱中心為,故C錯(cuò)誤;由于-1sin1,所以函數(shù)y=2sin+1的值域?yàn)?1,3,故D正確.解法二:由于函數(shù)y=2sin+1的圖象是由y=2sin的圖象向上平移1個(gè)單位長度得到的,因此對稱中心的縱坐標(biāo)應(yīng)為1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選C.42123k34x4134123k111211,11234x34x34x34x