高考數(shù)學專題講座 第6講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、高考數(shù)學專題講座 第6講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、考綱要求 1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算． 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義． 3．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù))的簡圖，理解、、的物理意義． 二、基礎過關 1．函數(shù)，的大致圖象是（ ）． π y y y y

2、 π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π x -π -π -π A B C D 2．（2002北京）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，的圖象如圖所示，那

3、么不等式的解集是（ ）． y A． B． C． 0 1 2 3 x D． 3．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，，則的值為（ ）． A． B． C． D． 4．給定性質(zhì): ①最小正周期為π；②圖象關于直線x=對稱，則下列四個函數(shù)中，同時具有性質(zhì)①、②的是（ ）． A．y = sin(+) B．y = sin(2x+) C．y = sin|x|

4、 D．y = sin(2x－) 5．下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)有 ( )． ①y = sin|x|的圖象關于原點對稱；②y = sin(|x|+2)的圖象是把y = sin|x|的圖象向左平移2個單位而得；③y = sin(x+2)的圖象是把y = sinx的圖象向左平移2個單位而得；④y = sin(|x|+2)的圖象是由y = sin(x+2)( x≥0)的圖象及y = －sin(x-2) ( x<0)的圖象組成的． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 6．把函數(shù)y = cos(x+)的圖象向左平

5、移m個單位(m>0), 所得圖象關于y軸對稱, 則m的最小值是 ． 7．函數(shù)y = 2sin(+)cos(+)+asinx (x∈R)的圖象關于x=對稱, 則g(x)= asin(a+1)x的最小正周期是 ． 三、典型例題 例1 已知函數(shù)f(x)=tan(sinx)． （1）求f(x)的定義域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個數(shù)． 例2 已知函數(shù)的定義域為，值域為 [ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值．

6、 例3 已知函數(shù)． （1）將寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標； （2）函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？ （3）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域． 例4 設二次函數(shù)，已知不論為何實數(shù)恒有 ≥0，≤0． （1）求證：； （2）求證：≥3； （3）若函數(shù)的最大值為8，求，的值． 四、 熱身演練 1．在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ ）． A． B． C． D． 2．已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（ ）

7、． A．若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ B．若α、β是第二象限，則tanα>tanβ C．若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ D．若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ 3．下列命題中正確的是（ ）． A．是增函數(shù) B．在第一象限是增函數(shù) C．是奇函數(shù) D．的反函數(shù)是 4．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象( )． A．沿x軸向左平移單位 B．沿x軸向右平移單位 C．沿x軸向左平移單位 D．沿x軸向右平移單位 5．若2sin2α+sin2β－2sinα=0則cos2α+cos2β的取值范圍是（ ）． A．

8、[1,5] B．[1,2] C．[1,] D．[－1,2] 6．在DABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求 的值 為 ． 7．設直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑分別為r的R，則的最大值為 ． 8．設函數(shù)，（，）給出下列四個論斷： （1）它的周期為π； （2）它的圖象關于直線x=對稱； （3）它的圖象關于點（,0）對稱； （4）在區(qū)間(－,0)上是增函數(shù)． 以其中兩個論斷為條件，另兩個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題： ． 9．（1）已知s

9、in(+α)·sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α； （2）已知?cos(x+)=,π

10、是周期函數(shù)； （2）求的值． 12．已知⊙O的半徑為，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值． 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、考綱要求 1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算． 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關系式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義． 3．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù))的簡圖，理解、、的物理意義． 二、基礎過關 1．函數(shù)，的大致圖象是（ C ）．

11、π y y y y π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π x -π -π -π A B

12、 C D 2．（2002北京）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是（ B ）． y A． B． C． 0 1 2 3 x D． 3．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，，則的值為（ D ）． A． B． C． D． 4．給定性質(zhì): ①最小正周期為π；②圖象關于直線x=對稱，則下列四個函數(shù)中，同時具有性質(zhì)①、②的是（ D ）． A．y = sin(+)

13、 B．y = sin(2x+) C．y = sin|x| D．y = sin(2x－) 5．下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)有（ B ）． ①y = sin|x|的圖象關于原點對稱；②y = sin(|x|+2)的圖象是把y = sin|x|的圖象向左平移2個單位而得；③y = sin(x+2)的圖象是把y = sinx的圖象向左平移2個單位而得；④y = sin(|x|+2)的圖象是由y = sin(x+2)( x≥0)的圖象及y = －sin(x-2) ( x<0)的圖象組成的． A．1個

14、 B．2個 C．3個 D．4個 6．把函數(shù)y = cos(x+)的圖象向左平移m個單位(m>0), 所得圖象關于y軸對稱, 則m的 最小值是 ． 7．函數(shù)y = 2sin(+)cos(+)+asinx (x∈R)的圖象關于x=對稱, 則g(x)= asin(a+1)x 的最小正周期是 ． 三、典型例題： 例1 已知函數(shù)f(x)=tan(sinx)． （1）求f(x)的定義域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個數(shù)． 解：（

15、1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤． 又函數(shù)y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無定義， 且（－，）[－,]（－π, π）， ∴令sinx=±，則sinx=± 解之得：x=kπ± (k∈Z) ∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z} ∵tanx在（－，）內(nèi)的值域為（－∞，+∞），而當x∈A時，函數(shù)y=sinx的值域B滿足 （－，）B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）． （2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無定義． 設t=sinx，則當x∈[0, )∪（，）∪（，π）時，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數(shù)y=

16、tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調(diào)遞增． 又∵當x∈[0，]時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈[0, ， 當x∈（，時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈（, 當x∈[，時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（, 當x∈（，π）時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（0，） ∴f(x)=tan(sinx)在區(qū)間[0，,（,上分別是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)． 又f(x)是奇函數(shù)，所以區(qū)間（－，0，[－，－也是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間． 故在區(qū)間（－π，π）中,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[－，－，（－，），（，單調(diào)遞減區(qū)間為． （3）由f(x)=tan

17、π得： tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z） sinx=k+(k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴ ∴k=0或k= －1 當k=0時，從①得方程sinx= 當k=1時，從①得方程sinx= －+ 顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個解． 例2 已知函數(shù)的定義域為，值域為 [ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值． 解：∵ ， ． ∵ ，∴ ，∴ ． 當a > 0時，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b， ∴ 解得 當a < 0時，3a +

18、b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ 解得 故a、b的值為 或 例3 已知函數(shù)． （1）將寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標； （2）函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？ （3）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域． 解：（1） 由=0即 即對稱中心的橫坐標為 （2）將函數(shù)的圖象依次進行如下變換： ① 把函數(shù)的圖象向左平移，得到函數(shù)的圖象； ② 把得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù) 的圖象； ③把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)+

19、的圖象； （3）由已知b2=ac 即的值域為. 綜上所述， ， 值域為 . 例4 設二次函數(shù)，已知不論為何實數(shù)恒有 ≥0，≤0． （1）求證：； （2）求證：≥3； （3）若函數(shù)的最大值為8，求，的值． 解： (1) ， ， ， 恒成立. ， ， 即 恒成立. ∴， 即 . （2）， ， ∴， ∴. （3）由題意可知： ， ∴ ①， ② ， 由 ① ，② 可得 b = ,c = 3 . 四、熱身演練： 1．在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ C ）

20、． A． B． C． D． 2．已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（ D ）． A．若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ B．若α、β是第二象限，則tanα>tanβ C．若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ D．若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ 3．下列命題中正確的是（ C ）． A．是增函數(shù) B．在第一象限是增函數(shù) C．是奇函數(shù) D．的反函數(shù)是 4．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ A ）． A．沿x軸向左平移單位 B．沿x軸向右平移單位 C．沿x軸向左平移單位 D．沿x軸向右平移單位 5．

21、若2sin2α+sin2β－2sinα=0則cos2α+cos2β的取值范圍是（ A ）． A．[1,5] B．[1,2] C．[1,] D．[－1,2] 6．在DABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求 的值 為 ． 7．設直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑分別為r的R，則的最大值為 ． 8．設函數(shù)，（，）給出下列四個論斷： （1）它的周期為π； （2）它的圖象關于直線x=對稱； （3）它的圖象關于點（,0）對稱； （4）在區(qū)間(－,0)上是增函數(shù)． 以其中

22、兩個論斷為條件，另兩個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題： ． （1）（2）→（3）（4）或（1）（3）→（2）（4） 9．（1）已知sin(+α)·sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α； （2）已知?cos(x+)=,π

23、an(x+) =[1－2cos2(x+)]tan(x+) 而cos(x+)=,tan(x+)= －，代入得：原式= －． 10．如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b． （1）求這段時間的最大溫差； （2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式． 解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是30－10=20(℃)； （2）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象． ∴=14－6，解得ω=，由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20， 這時y=10sin(x+φ)+20，將x=6,y=10代入上式可取

24、φ=π． 綜上所求的解析式為y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］． 11．已知函數(shù)f(x)是定義域為一切實數(shù)且圖象關于x=3對稱的奇函數(shù)，f(1)=1 且 ． 求證：（1）函數(shù)是周期函數(shù)； （2）求的值． 解：∵函數(shù)f(x)的圖象關于x=3對稱，∴f(－x)=f(6+x)， ∵函數(shù)f(x)又是奇函數(shù)， ∴f(6+x)=f(－x)=—f(x)，f(x+12)=－f(x+6)=f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為1， ∴函數(shù)f(x)是周期函數(shù)． cosx－sinx=cos(x+)=，∴cos(x+)=, ==－=7, f[]=f(7)=f(6+1)=f(－1)=－f(1)=－1． 12．已知⊙O的半徑為，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值． 解：∵，又2R=2， 由正弦定理得：2[]=（a－b）， ∴a2+b2－c2=ab,∴cosC= ∴∠C=． S=absinC==－[cos(A+B)－cos(A-B)]． ∵A+B=， ∴s=+cos(A－B), 故當cos(A－B)=1時, 即A=B=時,△ABC面積S的最大值為．