高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 蘇教版選修2-2

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1、高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 蘇教版選修2-2 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把正確的答案填在題中橫線上) 1．下面幾種推理是合情推理的序號的是________． ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°； ③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分； ④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°. 【解析】?、偈穷惐韧评?；②是歸納推理；③不屬于合情推理；④是歸納推理． 【

2、答案】?、佗冖? 2．若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：a∈R，結(jié)論是：a2＞0，那么這個演繹推理錯在________(填“大前提”，“小前提”或“推理過程”)． 【解析】　a＝0時，a2＝0，因此大前提錯誤． 【答案】　大前提 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是________． 【解析】　由等式的特征，左邊應(yīng)添加(k＋1)2＋k2. 【答案】　(k＋1)2＋k2 4．下列四個圖形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為___

3、_____． 圖1 【解析】　由圖形可知，著色三角形的個數(shù)依次為：1，3，9，27，…，故an＝3n－1. 【答案】　3n－1 5．已知a＞0，b＞0，m＝lg ，n＝lg ，則m與n的大小關(guān)系為________． 【解析】　∵(＋)2＝a＋b＋2＞a＋b＞0， ∴＋＞＞0，則＞. ∴l(xiāng)g ＞lg ，則m＞n. 【答案】　m＞n 6．已知圓x2＋y2＝r2(r＞0)的面積為S＝πr2，由此類比橢圓＋＝1(a＞b＞0)的面積最有可能是________． 【解析】　將圓看作橢圓的極端情況，即a＝b情形． ∴類比S圓＝πr2，得橢圓面積S＝πab. 【答案】　πab 7

4、．已知結(jié)論“若a1，a2∈{正實數(shù)}，且a1＋a2＝1，則＋≥4”，請猜想若a1，a2，…，an∈{正實數(shù)}，且a1＋a2＋…＋an＝1，則＋＋…＋≥________． 【解析】　左邊是2項，右邊為22，猜想：左邊是n項，右邊為n2. 【答案】　n2 圖2 8．現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖2，在一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個正方形的某個頂點在另一個正方形的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個正方體的某個頂點在另一個正方體的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________． 【解析】　正方形類比到正方體，重疊

5、面積類比到重疊體積， 則S＝，類比得V＝()3＝. 【答案】　 9．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左到右的第三個數(shù)是________． 【解析】　前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝個， ∴第n行第3個數(shù)是＋3＝. 【答案】　 10．(xx·南京高二檢測)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2 013＝b2 013，則a1 007與b1 007的大小關(guān)系是________． 【

6、解析】　由2a1 007＝a1＋a2 013，得a1 007＝. 又b＝b1·b2 013，得b1 007＝， ∵a1＝b1＞0，a2 013＝b2 013＞0，且a1≠a2 013， ∴a1 007＞b1 007. 【答案】　a1 007＞b1 007 11．一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除，其“三段論”的形式為： 大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除． 小前提：________． 結(jié)論：所以2100＋1不能被2整除． 【答案】　2100＋1是奇數(shù) 12．求證：＋＜2的證明如下： 因為＋和2都是正數(shù)，所以為了證明＋＜2， 只需證明(＋

7、)2＜(2)2， 展開得6＋2＜12，即＜3， 只需證明5＜9.因為5＜9成立． 所以不等式＋＜2成立． 上述證明過程應(yīng)用的方法是________． 【答案】　分析法 13．用反證法證明命題“a，b∈N*，ab可被5整除， 那么a，b至少有1個能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是________． 【解析】　“a、b中至少有一個能被5整除”的否定為“a，b都不能被5整除”． 【答案】　a，b都不能被5整除 14．(xx·徐州高二檢測)在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比＝， 把這個結(jié)論類比到空間： 在三棱錐A—BCD中(如圖3所示)，面DEC平分二面角A—CD

8、—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________． 圖3 【解析】　CE平分角ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B. ∴可類比成，故結(jié)論為＝. 【答案】?。? 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)觀察：(1)sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝； (2)sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝. 由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想． 【解】　觀察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想： sin2α＋c

9、os2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝. 證明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝＋＋sin α(cos α－sin α) ＝＋[1＋(cos 2α－sin 2α)]＋sin 2α－sin2α ＝1－cos 2α－sin 2α＋sin 2α－× ＝. 16．(本小題滿分14分)已知00. 欲證＋≥9成立， 只需證明1－a＋4a≥9a(1－a)． 整理移項9a2－6a＋1≥0. 即證明(3a－1)2≥0. ∵a∈(0，1)，∴(3a－1)2≥0顯然成立．

10、故＋≥9成立． 17．(本小題滿分14分)(xx·無錫高二檢測)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c，是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)＋f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【解】　f(a)＋f(c)＞2f(b)，證明如下： ∵a，b，c是不相等的正數(shù)， ∴a＋c＞2， ∵b2＝ac，∴ac＋2(a＋c)＞b2＋4b， 即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4， 從而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2， ∵f(x)＝log2x是增函數(shù)， ∴l(xiāng)og2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2， 即log2(a＋2)＋log2(

11、c＋2)＞2log2(b＋2) 故f(a)＋f(c)＞2f(b)． 18．(本小題滿分16分)如圖4甲，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題，如圖乙，三棱錐A—BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題？ 圖4 【解】　命題是：三棱錐A—BCD中，AD⊥面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有S＝S△BCM·S△BCD，是一個真命題． 證明如下： 在圖乙中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE⊥BC，AE⊥BC. 因為AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.

12、因為AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED. 于是S＝(BC·AE)2 ＝(BC·EM)·(BC·ED) ＝S△BCM·S△BCD. 19．(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a＜b)． (1)當(dāng)a＝1，b＝2時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個極值點，x3是f(x)的一個零點，且x3≠x1，x3≠x2.證明：存在實數(shù)x4，使得x1，x2，x3，x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求x4. 【解】　(1)當(dāng)a＝1，b＝2時，f(x)＝(x－1)2(x－2)． ∴f′(x)＝(x－1)(3x

13、－5)，則f′(2)＝1. 又f(2)＝(2－1)2(2－2)＝0. ∴f(x)在點(2，0)處的切線方程為y＝x－2. (2)因為f′(x)＝3(x－a)(x－)， 由于a＜b， 故a＜，所以f(x)的兩個極值點為x＝a，x＝. 不妨設(shè)x1＝a，x2＝， 因為x3≠x1，x3≠x2， 且x3是f(x)的零點． 故x3＝b. 又因為－a＝2(b－)， 故可令x4＝(a＋)＝， 此時，a，，，b依次成等差數(shù)列， 所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4＝. 20．(本小題滿分16分)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當(dāng)n＝1，2，3時，試比較f(

14、n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 【解】　(1)當(dāng)n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)； 當(dāng)n＝2時，f(2)＝，g(2)＝， 所以f(2)＜g(2)； 當(dāng)n＝3時，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明： ①當(dāng)n＝1，2，3時，不等式顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋＜－， 那么，當(dāng)n＝k＋1時， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋， 因為＋－＝－＝＜0， ∴－＋＜－， 因此－＋＜－， ∴f(k＋1)＜－， ∴當(dāng)n＝k＋1時成立． 由①②可知，對一切n∈N*， 都有f(n)≤g(n)成立．