湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 探索性問題

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：探索性問題 高考要求 高考中的探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力,是命題者根據(jù)學科特點,將數(shù)學知識有機結合并賦予新的情境創(chuàng)設而成的,要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用所學知識和方法解決問題 重難點歸納 如果把一個數(shù)學問題看作是由條件、依據(jù)、方法和結論四個要素組成的一個系統(tǒng)，那么把這四個要素中有兩個是未知的數(shù)學問題稱之為探索性問題 條件不完備和結論不確定是探索性問題的基本特征 解決探索性問題，對觀察、聯(lián)想、類比、猜測、抽象、概括諸方面有較高要求，高考題中一般對這類問題有如下方法 （1）直接

2、求解；（2）觀察——猜測——證明；（3）賦值推斷；（4）數(shù)形結合； （5）聯(lián)想類比；（6）特殊——一般——特殊 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)(a,c∈R,a＞0,b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1)＞ （1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點關于點(1,0)對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由 命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力 知識依托 函數(shù)的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解法、對稱問題 錯解分析 不能把a

3、與b間的等量關系與不等關系聯(lián)立求b；忽視b為自然數(shù)而導致求不出b的具體值；P、Q兩點的坐標關系列不出解 技巧與方法 充分利用題設條件是解題關鍵 本題是存在型探索題目，注意在假設存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定的結論，并加以論證 解 （1）∵f(x)是奇函數(shù)∴f(–x)=–f(x)，即∴–bx+c=–bx–c ∴c=0∴f(x)=由a＞0，b是自然數(shù)得當x≤0時，f(x)≤0，當x＞0時，f(x)＞0 ∴f(x)的最大值在x＞0時取得 ∴x＞0時， 當且僅當即時，f(x)有最大值 ∴=1,∴a=b2 ① 又f(1)＞，∴＞

4、,∴5b＞2a+2 ② 把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= （2）設存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關于點（1，0）對稱， P(x0,y0)則Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0 解之，得x0=1±,∴P點坐標為()或() 進而相應Q點坐標為Q（）或Q() 過P、Q的直線l的方程 x–4y–1=0即為所求 例2如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段

5、 （1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求△AMN的外心C的軌跡E； （2）接上問，當△AMN的外心C在E上什么位置時，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離） 命題意圖 本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質、數(shù)形結合思想及分析、探索問題、綜合解題的能力 知識依托 求曲線的方程、拋物線及其性質、直線的方程 錯解分析 ①建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼凳墙鉀Q本題的關鍵，如何建系是難點，②第二問中確定C點位置需要一番分析 技巧與方法 本題主要運用拋物線的性質，尋求點C所在位置，然后加以論證和計算，得出正確結論，是條件探索型題目 解 （1）以直線

6、b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標系 設△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由題意，有｜CA｜=｜CM｜∴,化簡，得x2=2py 它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線 （2）由（1）得，直線c恰為軌跡E的準線 由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0,）是拋物線的焦點 ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點直線BF的方程為聯(lián)立方程組 得 即C點坐標為() 此時d+｜BC｜的最小值為｜BF｜= 例3已知三個向量、、，其中每兩個

7、之間的夾角為120°，若｜｜=3,｜｜=2,｜｜=1，則用、表示為 解析 如圖–與，的夾角為60°,且||=|–|=3 由平行四邊形關系可得–=3+,∴=–3– 答案 =–3– 例4 假設每一架飛機引擎在飛行中故障率為1–p，且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，則對于多大的p而言，4引擎飛機比2引擎飛機更為安全？ 2 解析 飛機成功飛行的概率分別為 4引擎飛機為 2引擎飛機為 要使4引擎飛機比2引擎飛機安全，則有 6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2,

8、解得P≥ 即當引擎不出故障的概率不小于時，4引擎飛機比2引擎飛機安全 學生鞏固練習 1 已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題，其中正確命題是( ) ①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β A ①與② B ①與③ C ②與④ D ③與④ 2 某郵局只有0.60元，0.80元，1.10元的三種郵票 現(xiàn)有郵資為7.50元的郵件一件，為使粘貼郵票的張數(shù)最少，且資費恰為7.50元，則最少要購買郵票( ) A 7張 B 8張 C 9張 D

9、 10張 3 觀察sin220°+cos250°+sin20°cos50° =,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=， 寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式 4 在四棱錐P—ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，問底面的邊BC上是否存在點E （1）使∠PED=90°；（2）使∠PED為銳角 證明你的結論 5 已知非零復數(shù)z1,z2滿足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），問是否根據(jù)上述條件求出？請說明理由 參考答案 1 解析 ①l⊥α且α∥βl⊥β,mβ

10、l⊥m ②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m ③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β ④l⊥m,不能推出α∥β 答案 B 2 解析 選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1張 故8張 答案 B 3 解析 由50°–20°=(45°–15°)=30° 可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)= 答案 sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)= 4 解 (1)當AB≤AD時，邊BC上存在點E，使∠PED=90°;當AB>AD時，使∠PED=90°的點E不存在 （只須以AD為直徑作圓看該圓

11、是否與BC邊有無交點）（證略） （2）邊BC上總存在一點，使∠PED為銳角，點B就是其中一點 連接BD，作AF⊥BD，垂足為F，連PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD為直角三角形，∴F點在BD上，∴∠PBF是銳角 同理，點C也是其中一點 5 解 ∵|z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)∴c2=a2+b2+(z1+z2) 即 z1+z2=c2–a2–b2 ∵z1≠0,z2≠0，∴z1+·z2= =|z2|2()+|z1|2() 即有 b2()+a2()=z1z2+z1z2 ∴b2()+a2()=c2–a2–b2 ∴a2()2+(a2+b2–c2)()+b2=0 這是關于的一元二次方程，解此方程即得的值