湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習 構(gòu)建數(shù)學模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：構(gòu)建數(shù)學模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題 高考要求 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題 這就要求同學們除熟練運用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度 重難點歸納 1 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅實的基礎(chǔ)知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的

2、能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題 2 縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個應(yīng)用題，重點過三關(guān) (1)事理關(guān) 需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力 (2)文理關(guān) 需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學的符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關(guān)系 (3)事理關(guān) 在構(gòu)建數(shù)學模型的過程中；要求考生對數(shù)學知識的檢索能力，認定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學模型，完成用實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化 構(gòu)建出數(shù)學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)理能力 典型題例示范講解

3、例1從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型 知識依托

4、本題以函數(shù)思想為指導，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點 錯解分析 (1)問an、bn實際上是兩個數(shù)列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差 技巧與方法 正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，… 第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為 an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1 =800×(1－)k－1=400

5、0×［1－()n］ 第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…， 第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1 =400×()k－1=1600×［()n－1］ (2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得 5x2－7x+2＞0 解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去) 即()n＜，由此得n≥5 ∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 例2已

6、知Sn=1++…+,(n∈N*)，設(shè)f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實數(shù)m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 命題意圖 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力 知識依托 本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙 錯解分析 本題學生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理 技巧與方法 解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為 函數(shù)f(n)的最小值大于［logm(m

7、－1)］2－［log(m－1)m］2 解 ∵Sn=1++…+ (n∈N*) ∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數(shù)n， f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可 由得m＞1且m≠2 此時設(shè)［logm(m－1)］2=t 則t＞0于是　解得0＜t＜1 由此得0＜［logm(m－1)］2＜1 解得m＞且m≠2 例3　已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0 (1)求y=f

8、(x)的表達式； (2)若任意實數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項式，n∈N*),試用t表示an和bn； (3)設(shè)圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn、Sn 解 (1)設(shè)f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1 ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1 (2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得 (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1， 上式對任意的x∈R都成立

9、，取x=1和x=t+1分別代入上式得 且t≠0， 解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n) (3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2， 又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上， 又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1 設(shè){rn}的公比為q，則 ②÷①得q==t+1， 代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］ 學生鞏固練習 1 已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當a=

10、1，2，…，n，…時，其拋物線在x軸上截得的線段長依次為d1,d2，…,dn,…,則 (d1+d2+…+dn)的值是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 在直角坐標系中，O是坐標原點，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是_________ 3 從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_________升 4 據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告

11、》 “2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增長7 3%，”如果“十·五”期間(2001年~2020年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十·五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_________億元 參考答案: 1 解析 當a=n時y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=， ∴d1+d2+…+dn 答案 A 2 解析 由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4) ∴=(3,4)∴ 答案 1 3 解析 第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有純酒精a(1－)n升 答案 a(1－)n 4 解析 從2001年到2020年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項，以7 3%為公比的等比數(shù)列，∴a5=95933(1+7 3%)4≈120000(億元) 答案 120000