湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法的解題應(yīng)用

《湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法的解題應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法的解題應(yīng)用（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：數(shù)學(xué)歸納法的解題應(yīng)用 高考要求 數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法 重難點(diǎn)歸納 (1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式 設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立 (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明 恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等 典型題例示

2、范講解 例1試證明 不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有 an+cn＞2bn 命題意圖 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 知識(shí)依托 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟 錯(cuò)解分析 應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況 技巧與方法 本題中使用到結(jié)論 (ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a 證明 (1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(

3、+qn)＞2bn (2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②設(shè)n=k時(shí)成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1 也就是說，等式對n=k+1也成立 由①②知，an+cn＞2bn對一切自然數(shù)n均成立 例2在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式

4、； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論； (3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和 錯(cuò)解分析 (2)中，Sk=－應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視 技巧與方法 求通項(xiàng)可證明{}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式 解 ∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3 代入(*)式得 a3=－ 同理可得 a4=－,由此可推出 an= (2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立

5、 ②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－) ∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk= (舍) 由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－) 由①②知，an=對一切n∈N成立 (3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=,∴S=Sn=0 例3是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 解 假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立， 這時(shí)令n=1,2,3,有 于是，對n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2= 記Sn

6、=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是說，等式對n=k+1也成立 綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A 30 B 26 C 36 D 6

7、 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 3 觀察下列式子 …則可歸納出________ 4 已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為________，由此猜想an=________ 5 用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N* 6 若n為大于1的自然數(shù)，求證 參考答案 1 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n

8、)能被36整除 證明 n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3 =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36 答案 C 2 解析 由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3 答案 C 3 解析 (n∈N*) (n∈N*) 、、、 5 證明 (1)當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2) ∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立 由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除 6 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí)， (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即