湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數學第二輪專題講座復習 函數的連續(xù)及其應用

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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數學第二輪專題講座復習：函數的連續(xù)及其應用 高考要求 函數的連續(xù)性是新增加的內容之一 它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一起 在高考中，必將這一塊內容溶入到函數內容中去，因而一定成為高考的又一個熱點 本節(jié)內容重點闡述這一塊知識的知識結構體系 重難點歸納 1 深刻理解函數f(x)在x0處連續(xù)的概念 等式f(x)=f(x0)的涵義是 (1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在； (2)f(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x0附近有定義； (3)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數值，即f(x)=f(x0)

2、 函數f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖象上是f(x)的圖象在點x=x0處是不間斷的 2 函數f(x)在點x0不連續(xù)，就是f(x)的圖象在點x=x0處是間斷的 其情形 (1)f(x)存在；f(x0)存在，但f(x)≠f(x0); (2)f(x)存在，但f(x0)不存在 (3) f(x)不存在 3 由連續(xù)函數的定義，可以得到計算函數極限的一種方法 如果函數f(x)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的，點x0是定義區(qū)間內的一點，那么求x→x0時函數f(x)的極限，只要求出f(x)在點x0處的函數值f(x0)就可以了，即f(x)=f(x0) 典型題例示范講解 例1已知函數f

3、(x)=, (1)求f(x)的定義域，并作出函數的圖象； (2)求f(x)的不連續(xù)點x0; (3)對f(x)補充定義，使其是R上的連續(xù)函數 命題意圖 函數的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數圖象上有最直觀的反映 因而畫函數圖象去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法 知識依托 本題是分式函數，所以解答本題的閃光點是能準確畫出它的圖象 錯解分析 第(3)問是本題的難點，考生通過自己對所學連續(xù)函數定義的了解 應明確知道第(3)問是求的分數函數解析式 技巧與方法 對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖象進行解答 解 (1)當x+2≠0時，

4、有x≠－2 因此，函數的定義域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 當x≠－2時，f(x)= =x－2, 其圖象如上圖 (2)由定義域知，函數f(x)的不連續(xù)點是x0=－2 (3)因為當x≠－2時，f(x)=x－2, 所以=－4 因此，將f(x)的表達式改寫為f(x)= 則函數f(x)在R上是連續(xù)函數 例2求證 方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一個正根，且它不大于a+b 命題意圖 要判定方程f(x)=0是否有實根 即判定對應的連續(xù)函數y=f(x)的圖象是否與x軸有交點，因此根據連續(xù)函數的性質，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在

5、x軸下方即可 本題主要考查這種解題方法 知識依托 解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數值其一為負，另一為正 錯解分析 因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質在解這類題目中的簡便作用 證明 設f(x)=asinx+b－x, 則f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0, 又f(x)在(0,a+b］內是連續(xù)函數，所以存在一個x0∈(0,a+b］，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根 因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，

6、且它不大于a+b 例3已知函數f(x)= (1)討論f(x)在點x=－1,0,1處的連續(xù)性； (2)求f(x)的連續(xù)區(qū)間 解 (1)f(x)=3, f(x)=－1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=－1處不連續(xù)， 但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1處右連續(xù)，左不連續(xù) f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù) 又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù) (2)f(x)中，區(qū)間(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三個函數都是初等函數，因此

7、f(x)除不連續(xù)點x=±1外，再也無不連續(xù)點， 所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5 學生鞏固練習 1 若f(x)=在點x=0處連續(xù)，則f(0)等于( ) A B C 1 D 0 2 設f(x)=則f(x)的連續(xù)區(qū)間為( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2) 3 =_________ 4 若f(x)=處處連續(xù)，則a的值為_________ 5 已知函數f(x)= (1)f(x)在x=0處是否連續(xù)？說明理由； (2)討論f(x)在閉

8、區(qū)間［－1,0］和［0,1］上的連續(xù)性 6 已知f(x)= (1)求f(－x); (2)求常數a的值，使f(x)在區(qū)間(－∞,+∞)內處處連續(xù) 7 求證任何一個實系數一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一個實數根 8 求函數f(x)=的不連續(xù)點和連續(xù)區(qū)間 參考答案 1 解析 答案 A 2 解析 即f(x)在x=1點不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù) 答案 C 3 解析 利用函數的連續(xù)性，即, 答案 答案 5 解 f

9、(x)= (1) f(x)=－1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續(xù) (2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再無間斷點，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)， 所以f(x)在［－1，0］上是不連續(xù)函數，在［0,1］上是連續(xù)函數 6 解 (1)f(－x)= (2)要使f(x)在(－∞,+∞)內處處連續(xù)，只要f(x)在x=0連續(xù)， f(x)= = f(x)=(a+bx)=a,因為要f(x)在x=0處連續(xù)， 只要 f(x)= f(x)= f(x)=f(0),所以a= 7 證明 設f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數f(x)在(－∞,+∞)連續(xù)， 且x→+∞時，f(x)→+∞;x→－∞時，f(x)→－∞, 所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0, 所以f(x)的圖象至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實根 8 解 不連續(xù)點是x=1,連續(xù)區(qū)間是(－∞,1),(1,+∞)