小學(xué)六年級奧數(shù)題第23講 周期工程問題

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1、第23講 周期工程問題 一、知識要點(diǎn) 周期工程問題中，工作時工作人員（或物體）是按一定順序輪流交替工作的。解答時，首先要弄清一個循環(huán)周期的工作量，利用周期性規(guī)律，使貌似復(fù)雜的問題迅速地化難為易。其次要注意最后不滿一個周期的部分所需的工作時間，這樣才能正確解答。 二、精講精練 【例題1】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12小時，乙單獨(dú)做需要18小時。若甲做1小時后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時……兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時需共用多少小時？ 把2小時的工作量看做一個循環(huán)，先求出循環(huán)的次數(shù)。 ①需循環(huán)的次數(shù)為：1÷（+）=＞7（次） ②7個循環(huán)后剩下的工作量是：1-（+）×7= ③

2、余下的工作兩還需甲做的時間為：÷=（小時） ④完成任務(wù)共用的時間為：2×7+=14（小時） 答：完成任務(wù)時需共用14小時。 練習(xí)1： 1、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要6小時完成，乙單獨(dú)做要10小時完成。如果按甲、乙；甲、乙……的順序交替工作，每次1小時，需要多少小時才能完成？ 2、一部書稿，甲單獨(dú)打字要14小時，乙單獨(dú)打字要20小時。如果先由甲打1小時，然后由乙接替甲打1小時；再由甲接替乙打1小時……兩人如此交替工作，打完這部書稿共需用多少小時？ 3、一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成要9小時，乙單獨(dú)完成要12小時。如果按照甲、乙；甲、乙……的順序輪流工作，每

3、人每次工作1小時，完成這項(xiàng)工程的2/3共要多少時間？ 【例題2】一項(xiàng)工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要多少天才能完成？ 由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數(shù)為奇數(shù)，否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙甲 乙甲乙甲……乙甲乙甲 豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，乙做一天等于甲做半天

4、，即甲的工作效率是乙的2倍。 ①甲每天能做這項(xiàng)工程的1÷26×= ②甲單獨(dú)做完成的時間1÷=40（天） 答：這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做需要40天才能完成。 練習(xí)2： 1、一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾天可以完成？ 2、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，恰好也用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多天才能完成。這項(xiàng)工程由甲、乙合作合作幾天可

5、以完成？ 3、一項(xiàng)工程，甲、乙合作12小時可以完成。如果第一小時甲做，第二小時乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)小時完成。如果第一小時乙做，第二小時甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多小時才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾小時可以完成？ 4、蓄水池有一跟進(jìn)水管和一跟排水管。單開進(jìn)水管5小時灌滿一池水，單開排水管3小時排完一池水。現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水、排水；進(jìn)水、排水……的順序輪流依次各開1小時，多少小時后水池的水剛好排完？ 【例題3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天數(shù)完成。如果第一天乙做，第二天甲做

6、，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩60個不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少個？ 由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數(shù)為奇數(shù)，否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙甲 乙甲乙甲……乙甲乙剩60個 豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，剩下的60個零件就是甲、乙工作效率的差。 甲每天做的個數(shù)為：60÷（5-3）×5=150（個） 乙每天做的個數(shù)為：60÷（5-3）×3=90（個） 答：甲每天做150個，乙每

7、天做90個。 練習(xí)3： 1、一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩84個不能完成。已知師、徒工作效率的比是7：4。師、徒二人每天各做多少個？ 2、一項(xiàng)工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數(shù)天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多天才能完成。如果讓甲、乙二人合作，只需2天就可以完成。現(xiàn)在，由乙獨(dú)做需要幾天才能完成？ 3、紅星機(jī)械廠有1080個零件需要加工。如果第一小時讓師傅做，第二小時讓徒弟做，這樣

8、交替輪流，恰好整數(shù)小時可以完成。如果第一小時讓徒弟做，第二小時讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩60個不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時36分就能完成。師、徒每小時各能完成多少個？ 【例題4】打印一部稿件，甲單獨(dú)打要12小時完成，乙單獨(dú)打要15小時完成。現(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時……如此這樣交替下去，打印這部書稿共要多少小時？ 根據(jù)已知條件，我們可以把6小時的工作時間看做一個循環(huán)。在每一個循環(huán)中，甲、乙都工作了3小時。 ①每循環(huán)一次，他們共完成全部工程的

9、（+）×3＝ ②總工作量里包含幾個9/20：1÷=2 ③甲、乙工作兩個循環(huán)后，剩下全工程的1-×2＝ ④由于＞，所以，求甲工作1小時后剩下的工作由乙完成還需的時間為（-）÷＝ ⑤打印這部稿件共需的時間為：6×2+1+=13（小時） 答：打印這部稿件共需13小時。 練習(xí)4： 1、一個水池安裝了甲、乙兩根進(jìn)水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開乙管，18分鐘能把空池灌滿?，F(xiàn)在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分鐘，乙2分鐘……如此交替下去，灌滿一池水共需幾分鐘？ 2、一件工作，甲單獨(dú)做，需12小時完成；乙單獨(dú)做需1

10、5小時完成?，F(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作，甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時……如此交替下去，完成這件工作共需多少小時？ 3、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要50天完工，乙單獨(dú)做需60天完工?，F(xiàn)在，自某年的3月2日兩人一起開工，甲每工作3天則休息1天，乙每工作5天則休息一天，完成全部工程的為幾月幾日？ 4、一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做完要150天，乙工程隊(duì)單獨(dú)做完需180天。兩隊(duì)合作時，甲隊(duì)做5天，休息2天，乙隊(duì)做6天，休息1天。完成這項(xiàng)工程要多少天？ 【例題5】有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個工程隊(duì)每天輪做

11、。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計(jì)劃多用天。已知甲單獨(dú)做13天完成。且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余1或余2。如果是3的倍數(shù)，三種輪流方式完工的天數(shù)，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序輪流做，用的天數(shù)是3的倍數(shù)余1。三種輪流方式做的情況可表示如下： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲 從中可以退出：丙=甲；由于乙=甲－丙=甲－甲×，

12、又推出乙=甲；與題中“三個工程隊(duì)的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序輪做，用的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余2。三種輪流方式用的天數(shù)必定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙甲 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲乙 由此推出：丙=甲，丙=乙 ①丙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的×= ②乙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的÷= ③甲、乙、丙合作完工需要的時間為1÷（++）=5（天） 答：甲、乙、丙合作要5天完工。 練習(xí)5： 1、有一項(xiàng)工程，由三個工程隊(duì)每天輪做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好用整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用天；如果按丙、甲、乙

13、次序做，比原計(jì)劃多用天。已知甲單獨(dú)做7天完成。且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 2、有一項(xiàng)工程，由三個工程隊(duì)每天輪做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計(jì)劃多用天。已知甲單獨(dú)做10天完成。且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 3、有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個工程隊(duì)每天輪做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計(jì)劃多用天。已知這項(xiàng)工程由甲、乙、丙三個工程隊(duì)同時合作，需13天可以完成，且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天才能完成？ 4、蓄水池裝有甲、丙兩根進(jìn)水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管要4小時，單開丁管要6小時?，F(xiàn)知池內(nèi)有池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的順序輪流各開1小時，多長時間后水開始溢出水池？