河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學二輪專題《概率、隨機變量及其分布列》訓練

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1、河南省盧氏一中2020屆高考數(shù)學二輪《概率、隨機變量及其分布列》專題訓練 一、選擇題 1．(2020·陜西高考)甲乙兩人一起去游“2020西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6處景點，顯然甲、乙兩人選擇結果為{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36種；其中滿足題意的“同一景點相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6個基本事件，所以所求的概率值為. 答案：D

2、 2．(2020·湖北高考)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 解析：可知K、A1、A2三類元件正常工作相互獨立．所以當A1，A2至少有一個能正常工作的概率為P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系統(tǒng)能正常工作的概率為PK·P＝0.9×0.96＝0.864. 答案：B 3．(2020·廣東高考)甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情

3、形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為 (　　) A. B.[ :21世紀教育網(wǎng)] C. D. 解析：問題等價為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝；第二類，需比賽2局，第一局甲負，第二局甲贏，其概率P2＝×＝.故甲隊獲得冠軍的概率為P1＋P2＝. 答案：A 4．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，則P(X>4)＝(　　) A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 解析：P (X>4)＝

4、[1－P (2≤X≤4)] ＝×(1－0.682 6)＝0.158 7. 答案：B 5．(2020·深圳模擬)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機往圓O內投一個點A，則點A落在區(qū)域M內的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得，區(qū)域M的面積等于2sinxdx＝－2cosx＝4，圓O的面積等于π×π2＝π3，因此點A落在區(qū)域M內的概率是. 答案：B 6．設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，則P(η≥2)的值為(　　) A. B. C.

5、 D. 解析：由P(ξ≥1)＝，得Cp(1－p)＋Cp2＝，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝或p＝(舍去)，∴P(η≥2)＝Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4＝6×()2×()2＋4×()3×＋()4＝. 答案：B 二、填空題 7.(2020·湖南高考)如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”，則 (1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______. 解析：圓的面積是π，正方形的面積是2，扇形的面積是，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得

6、P(A)＝，根據(jù)條件概率的公式得P(B|A)＝＝＝. 答案：　 8．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 解析：依題意得即 由此解得y＝0.4. 答案：0.4 9．某班有50名學生，一次考試后數(shù)學成績ξ(ξ∈N)服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為________． 解析：由題意知，P(ξ＞110)＝＝0.2，∴該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為0.2×50＝10.

7、答案：10 三、解答題 10．(2020·全國高考)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立． (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； (2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)．求X的期望． 解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝

8、A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X～B(100,0.2)，即X服從二項分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 11．(2020·北京西城區(qū)模擬)甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為，，p，且他們是否破譯出密碼互不影響．若三人中只有甲破譯出密碼的概率為. (1)求甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；[ :21世紀教育網(wǎng)] (2)求p的值； (3)設甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望 E(X)． 解：記“甲、乙、丙

9、三人各自破譯出密碼”分別為事件A1，A2，A3，依題意有P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝p，且A1，A2，A3相互獨立． (1)甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為[ : ] 1－P(·)＝1－×＝. (2)設“三人中只有甲破譯出密碼”為事件B，則有 P(B)＝P(A1··)＝××(1－p)＝， 所以＝，p＝. (3)X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝P(··)＝， P(X＝1)＝P(A1··)＋P(·A2·)＋P(··A3)＝＋××＋××＝， P(X＝2)＝P(A1·A2·)＋P(A1··A3)＋P(·A2·A3)＝××＋××＋××＝， P(

10、X＝3)＝P(A1·A2·A3)＝××＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 12．(2020·濰坊模擬)2020年3月，日本發(fā)生了9.0級地震，地震引發(fā)了海嘯及核泄漏．某國際組織計劃派出12名心理專家和18名核專家赴日本工作，臨行前對這30名專家進行了總分為1000分的綜合素質測評，測評成績用莖葉圖進行了記錄，如圖(單位：分)．規(guī)定測評成績在976分以上(包括976分)為“尖端專家”，測評成績在976分以下為“高級專家”，且只有核專家中的“尖端專家”才可以獨立開展工作．這些專家先飛抵日本的城市E，再分

11、乘三輛汽車到達工作地點福島縣．已知從城市E到福島縣有三條公路，因地震破壞了道路，汽車可能受阻．據(jù)了解：汽車走公路Ⅰ或Ⅱ順利到達的概率都為；走公路Ⅲ順利到達的概率為，甲、乙、丙三輛車分別走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三輛汽車是否順利到達相互之間沒有影響． 心理專家 核專家 9 9 8 96 0 1 1 2 4 5 8 9 8 4 0 97 2 3 3 4 4 4 4 7 4 2 1 98 1 6 1 99 0 6[ :21世紀教育網(wǎng)] (1)如果用分層抽樣的方法從“尖端專家”和“高級專家”中選取6人，再從這6人中選2人，那么至少有一人是“尖端專家”的概率是多少？

12、 (2)求至少有兩輛汽車順利到達福島縣的概率； (3)若從所有“尖端專家”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能獨立開展工作的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學期望． 解：(1)根據(jù)莖葉圖，有“尖端專家”10人，“高級專家”20人， 每個人被抽中的概率是＝， 所以用分層抽樣的方法，選出的“尖端專家”有10×＝2人， “高級專家”有20×＝4人． 用事件A表示“至少有一名‘尖端專家’被選中”，則它的對立事件表示 “沒有一名‘尖端專家’被選中”， 則P(A)＝1－＝1－＝. 因此，至少有一人是“尖端專家”的概率是. (2)記“汽車甲走公路Ⅰ順利到達”為事件A，“汽車乙走公路Ⅱ順利到達”為事件B，“汽車丙走公路Ⅲ順利到達”為事件C. 則至少有兩輛汽車順利到達福島縣的概率 P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC) ＝××＋××＋××＋××＝. (3)由莖葉圖知，心理專家中的“尖端專家”為7人，核專家中的“尖端專家”為3人， 依題意，ξ的取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 因此ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.