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1、高中數(shù)學必修內容復習（15）探索性問題一、選擇題（本題每小題5分，共60分）1集合Aa，b，c，集合B1，0，1，f是A到B的映射，且滿足條件f(a)+f(b)+f(c)=0，這樣的映射共有 （ ）A6個 B7個 C8個 D9個2在ABC中，sinAsinB是AB成立的 （ ）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3直線與橢圓相交于A、B兩點，該橢圓上點P，使得APB的面積等于3，這樣的點P共有 （ ）A1個 B2個 C3個 D4個4設數(shù)集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是 （ ）A B C D5PQ是異面直線a，b的公垂
2、線，ab，Aa，Bb，C在線段PQ上（異于P,Q），則DABC 的形狀是 （ ）A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D三角形不定6用一張鋼板制作一容積為的無蓋長方體水箱，可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長寬的尺寸如各選項所示，單位均為m），若既要夠用，又要所剩最少，則應選鋼板的規(guī)格是 （ ）A25 B25.5 C26.1 D357計算機是將信息轉換成二進制數(shù)進行處理的，二進制即“逢2進1”，如（1101）2表示二進制數(shù),將它轉換成十進制形式是123+122+021+120=13，那么將二進制數(shù)（1111）2（2020個1）轉換成十進制形式是（ ）A220202B220202C220201
3、D2200318數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1000項的值是（ ）A42B45C48 D519在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展開式中，含x4項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n10的（ ）A第2項B第11項C第20項D第24項10已知集合A=x|x22x30,B=x|x2+ax+b0，若AB=R，AB=（3，4則有（ ）Aa=3,b=4Ba=3,b=4Ca=3,b=4Da=3,b=411不等式0)的解集是 （ ）Ax|x0或x aBx| xa Cx|0xaDx|ax a或0xa12橢圓的長軸為A1A2，短軸為B1B2，將坐標平面沿y軸折成一個二
4、面角，使A1點的平面B1A2B2上的射影恰好是該橢圓的右焦點，則此二面角的大小為（ ）A30 B45 C60D75二、填空題（本題每小題4分，共16分）13已知定點A(2，),F是橢圓+=1的右焦點，點M在橢圓上移動，則當|AM|+2|MF|取最小值時，點M的坐標是.14若(x2)n的 展開式中含x的項為第6項，設(1x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,則a1+a2+a3+a2n=.15定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_，這個數(shù)列的前n項和
5、的計算公式為_ .16定義集合A和B的運算：. 試寫出含有集合運算符號“”、“”、“”，并對任意集合A和B都成立的一個等式：_. 三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）：17（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且 （1）求的值； （2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為.若存在，求出這個的值；若不存在，說明理由.18（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=(xa)(xb)(xc)（1）求證：f(x)=(xa)(xb)(xa) (xc)(xb) (xc)；（2）若f(x)是R上的增函數(shù)，是否存在點P，使f(x)的圖像關于點P中心對稱？如果存在，請求出點P坐
6、標，并給出證明；如果不存在，請說明理由19（本小題滿分12分）已知奇函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，且當時，問是否存在這樣的實數(shù)，使得對所有的均成立？若存在，則求出所有適合條件的實數(shù)；若不存在，試說明理由.20（本小題滿分12分）在ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c，且b,a,c成等差數(shù)列，bc，已知B(1,0),C(1,0)。 （1）求頂點A的軌跡L； （2）是否存在直線m，使m過點B并與曲線L交于不同的兩點P、Q，且|PQ|恰好等于原點到直線m的距離的倒數(shù)？若存在，求出m的方程，若不存在，說明理由.21（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐PABC中，ABC=600，PA=AC=a
7、，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）證明PA平面ABCD； （2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大??；DPBACE （3）在棱PC上是否存在一點F，使BF/平面AEC？證明你的結論.22（本小題滿分14分）已知數(shù)列an中，a1=4，an+1=，是否存在這樣的數(shù)列bn，bn=，其中A、B、C為實常數(shù)，使得bn是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你的結論，并求an的取值范圍.答 案一、選擇題（每小題5分，共60分）：(1).B(2).C (3).B (4).C (5).C (6).D (7).C (8).B (9).C (10).D (11).C (12).C二、填空
8、題（每小題4分，共16分）(13). (2,) ； (14). 255； (15). 3 當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時， (16).；三、解答題（共74分，按步驟得分）17.解：（1），即， （2）， 當，即時， 當時，這樣的不存在。 當，即時，這樣的不存在。 綜上得， .18. 解：（1） f(x)=(xa)(xb)(xc)3（a+b +)x2(ab+bc+ac)xabc f (x)=3 x22(a+b +)x(ab+bc+ac)= x2 (a+b)xab x2(a+c)xac x2(b+c)xbc=(xa)(xb)(xa)(xc)(xb)(xc)（2）f(x)是R上的單調函數(shù)，f (x)0
9、，對xR恒成立，即 3x22(a+b+c)x+(ab+bc+ca)0 對xR恒成立0, 4(a+b+c)212(ab+bc+ca) 0， (ab)2(ac）2 (bc)20， a=b=cf(x)=(xa)3 ， f(x)關于點(a，0)對稱 證明如下：設點P(x，y)是f(x)=(xa)3圖像上的任意一點，y=(xa)3，點P關于點(a，0)對稱的點P(2ax，y)，(2axa)3=(2ax)3= (x2a)3=y ，點P在函數(shù)f(x)=(xa)3的圖像上，即函數(shù)f(x)=(xa)3關于點(a，0)對稱19. 解：因為在R上為奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)所以在R上也是增函數(shù)，且 因為所以 故 要使不
10、等式對任意恒成立，只要大于函數(shù)的最大值即可。 令，則求函數(shù)的最大值，方法1（求導）解得：，因當，時，；當時，故 ，因此 方法2（判別式）把函數(shù)變形為 設，即在上有解當時，必須且，矛盾；當時，或 或或 此時；當時，必須且，矛盾；方法3（不等式） ，此時 20. 解：（1）由題設知b+c=2a，|BC|=2, |AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又bc，故由橢圓的定義知，點A的軌跡L是左半個橢圓（去掉左頂點），軌跡方程為：+=1（2x0）。（2）假設存在直線m滿足題意，當m斜率存在時，設m的方程為y=k(x+1)，把它代入橢圓方程，消去y得(4k2+3)x2+8k2x12+4k2=0
11、。設P(x1,y1)Q(x2,y2)，則x1+x2= ，x1x2=，又x10,x20，即x1x20, k23，|PQ|=設原點O到直線m的距離為d，則d=,|PQ|=,=，得k2=3，這與k23矛盾，表明直線m不存在。當斜率不存在時，m的方程為x= 1，此時|PQ|=|y1y2|=3,d=1，|PQ|，所以不滿足題設。綜上，滿足題設的條件不存在。21.證明： 因為底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作G
12、HAC于H，連結EH，則EHAC，EHG即為二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以從而 （）解法一 以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為所以 設點F是棱PC上的點，則 令 得解得 即 時，亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、共面.又 BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF/平面AEC.解法二 當F是棱PC的中點時，BF/平面AEC，證明如下，證法一 取PE的中點M，連結FM，則FM/CE. 由 知E是MD的中點.連結BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點.所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.證法二因為 所以 、共面.又 BF平面ABC，從而BF/平面AEC.22.解：假設這樣的bn存在，則應有bn+1= bn=存在q0,q1,q為常數(shù)，使bn+1=qbn,對nN都成立，于是比較兩邊的分子和分母，有由（1）可解得A=1或2，由（2）、（3）可解得B=C或C=2B。1若代入（2）知q=1（B、C不能為0，否則bn=0，不合題意要求）舍去。2若代入（2）得q=3當時，q=4當時，q=1（舍去）故現(xiàn)只取A=1，B=1，C=2，q=（不必考慮時的情況，因為只證存在性）。得bn=所以滿足題設條件的數(shù)列存在.
廣東省廉江市第三中學2020屆高考數(shù)學必修內容復習 探索性問題
