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1、
【兩年真題重溫】
【2020新課標全國理，20】在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上，點滿足，··，點的軌跡為曲線．
(Ⅰ) 求的方程；
(Ⅱ) 為上的動點，為在點處的切線，求點到距離的最小值．
∴點到的距離===，
當時取等號，∴點到的距離的最小值為．
【2020新課標全國理，20】設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數列。
則.
【2020新課標全國文，20】設,分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦:
, 化簡得
則
因為直線AB的斜率為1，所以即 .
則,解得.
【命題意圖猜想】
2、【最新考綱解讀】
1．圓錐曲線
(1)了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．
(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質．
(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質．
(4)了解圓錐曲線的簡單應用．
(5)理解數形結合的思想．
2．曲線與方程
結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數形結合的基本思想．
【回歸課本整合】
（1）若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設為，則＝。
的距離分別為，
3、焦點的面積為，設,則在橢圓中，有以下結論：
,.
（3） 在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率.
（4）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點,反之亦成立.
5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：
步 驟
含 義
說 明
1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標.
建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標.
(1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設點.
(2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當的坐標系.
2、現(限)：由限制條件，列出幾何等式.
寫出適合條件P的點M的集合P={
4、M|P(M)}
這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確.
3、“代”：代換
用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0
常常用到一些公式.
4、“化”：化簡
化方程f(x,y)=0為最簡形式.
要注意同解變形.
5、證明
證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍).
注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設現(限)代化.
【方法技巧提煉】
線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；
5、
（2）求最值問題：主要把握兩個轉化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉化為到焦點的距離.在解題時要準確把握題設的條件，進行有效的轉化，探求最值問題.
x
F
P
y
A
M
例2 已知P點為拋物線的動點，點P在軸上的射影是M，點A的坐標是，則的最小值是（ ）
A. B.4 C. D.5
答案：C
解析:利用拋物線定義，把可轉化為.
因A在拋物線外，當P、A、F三點共線時，取得最小值.如圖3，焦點F,
當P、A、F三點共線時，取得最小值，此時故選C.
A． B． C． D．
6、答案：B
解析一：采用向量問題坐標化，
設M,
又，代入可得
B
x
A
O
y
M
C
D
解析二：如圖，考慮幾何性質：,
因，可知三點共線,又，則四邊形OCMD為矩形.
如圖所示可知：利用三角形相似可知
又，可得
例4 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經過點(0,1)，離心率e＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)在橢圓C上任取不同兩點A，B，點A關于x軸的對稱點為A′，當A，B變化時，如果直線AB經過x軸上的定點(1,0)，問直線A′B是否也經過x軸上的一個定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，說明理由．
【解答】 (1)依題意可得解得a＝2
7、，b＝1.
所以橢圓C的方程是＋y2＝1.
．
【解答】 (1)點A坐標代入圓C方程，得(3－m)2＋1＝5.
∵m＜3，∴m＝1.
圓C：(x－1)2＋y2＝5.
設直線PF1的斜率為k，
則PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.
∵直線PF1與圓C相切，∴＝.
4．直線和拋物線若有一個公共點，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行．
5．曲線與方程
(1)“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”，闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有點適合這個條件而毫無例外(純粹性)．
(2)“以方程的解為坐標的點都在曲線上
8、”，闡明適合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏(完備性)．
(3)由(1)(2)兩個條件可知，曲線的點集與方程的解集之間是一一對應的．
6．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點“不多不少”．
【新題預測演練】
1.【2020年河北省普通高考模擬考試】
已知圓C的方程為，過點作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，，
∴
=
當且僅當時取等號，則面積的最大值為1. ………..12分
依題意，直線與橢圓必相交于
9、兩點，設，，
則，. ……………………7分
又，，
所以 ………………………8分
解：（1）由題意可設拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即，
所以拋物線的方程為 . ……………4分
（I）求動點軌跡的方程;
（II）過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)，求證：直線過定點.
解一：（1）由題知： …………2分
化簡得：……………………………4分
解三：由對稱性可知，若過定點，則定點一定在軸上，
設，:，
代入整理得…………
10、6分
,，…………8分
（II）設直線：，，，，，
由得.…………6分
所以，. ……………………8分
而
，，…………10分
∴三點共線 ……………………………………12分
，又.
.……………………………………………………………8分
（Ⅱ）設的坐標分別為、、
則直線的方程為：………………………………………………6分
令得，同理得………………………………………8分
在橢圓上，所以………………………………10分
所以
所以為定值0. ………………………………………………………………12分
而
……………
11、…………11分
由代入化簡得：
即；當且僅當時，取到最大值?！?3分
，
由韋達定理，代入上式，
化簡整理得，即，故所求范圍是.
2分
（ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，.
由，. 2分
而
.
所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補，
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形． 3分
8.【唐山市2020學年度高三年級第一次模擬考試】
中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經
12、過點C(2, 2),且·＝2
(I )求橢圓E的方程；
(II)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.
解：
9.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質量預測】
在△ABC中，頂點A，B，動點D，E滿足：①；②，③共線.
（Ⅰ）求△ABC頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，只要該圓的切線與頂點C的軌跡有兩個不同交點M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請說明理由.
解：(I)設C（x,y）,由得，動點的坐標為；
由得，動點E在y軸上，再結合與共線，
得，動點E的坐標為;
13、 …………2分
由的，，
整理得，.
當直線MN的斜率不存在時，可得，滿足.
綜上所述：存在圓滿足題意. …………12分
10.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質量檢測(二)】
，求的取值范圍.
（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距是.依題意，得 . ………………1分
因為橢圓的離心率為，
所以，. ………………3分
故橢圓的方程為 . ………………4分
（Ⅱ）解：當軸時，顯然.
14、 ………………5分
12.【北京市東城區(qū)2020學年度高三數第一學期期末檢測】
已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故橢圓方程為． …………5分
13.【河北省石家莊市2020屆高三上學期教學質量檢測(一)】
已知焦點在軸上的橢圓C1：=1經過A(1，0)點，且離心率為．
(
15、I)求橢圓C1的方程；
(Ⅱ)過拋物線C2：(h∈R)上P點的切線與橢圓C1交于兩點M、N，記線段MN與PA的中點分別為G、H，當GH與軸平行時，求h的最小值．
解：（Ⅰ）由題意可得，……………2分
解得，
當時，，當且僅當時取得等號，此時，滿足①式。
綜上，的最小值為1.………………12分
14.【唐山市2020學年度高三年級第一學期期末考試】
解：
（Ⅰ）由橢圓方程，a＝，b＝1，c＝1，則點F為(－1，0)．
直線AB方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程，得
(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ①
設A(x1，y1)，B(x2，y
16、2)，M(x0，y0)，則
x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
由點M在直線x＋2y＝0上，知－2k2＋2k＝0，
∵k≠0，∴k＝1． …6分
（Ⅱ）將k＝1代入①式，得3x2＋4x＝0，
不妨設x1＞x2，則x1＝0，x2＝－， …8分
記α＝∠ACF，β＝∠BCF，則
tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝，
∴α＝β，
∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．…12分
15.【山東省德州市2020屆高三上學期期末考試數學試題】
而
故恒成立
（Ⅲ）時,曲線方程為，假設存在直線與直線垂直,設直線的方程為 ………………………………………………8分
設直線與橢圓交點
解析：（Ⅰ）因為滿足， ，…………2分
2020高考數學熱點集中營 熱點20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 新課標
