2020高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第三部分專題四 數(shù)列

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1、 2020考前沖刺數(shù)學(xué)第三部分 【高考預(yù)測(cè)】 1.數(shù)列的概念 2.等差數(shù)列 3.等比數(shù)列 4.差與等比數(shù)列的綜合 5.數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合 6.數(shù)列的應(yīng)用 7.數(shù)列的概念 8.等差數(shù)列與等比數(shù)列 9.數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

2、 10.遞推數(shù)列與不等式的證明 11.有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題 12.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 13.數(shù)列與圖形 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn) 1 數(shù)列的概念 1．(2020模擬題精選)已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2)，則｛an｝的通項(xiàng)an=_________. 【錯(cuò)誤答案】 ∵an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，∴an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-

3、2，兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，∴an=nan-1.由此類推： an-1=(n-1)an-2，…a2=2a1，由疊乘法可得an= 【錯(cuò)解分析】 在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)向前遞推一項(xiàng)時(shí)應(yīng)考慮n的范圍．當(dāng)n=1時(shí)，a1=與已知a1=1，矛盾． 【正確解答】 ∵n≥2時(shí)，an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1① 當(dāng)n≥3時(shí)， an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2② ①-②得 an-an-1=(n-1)·an-1∴當(dāng)n≥3時(shí)，=n，∵an=··．．．·=n·…·4·3×a2=a2，∵a2=a1=1 ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an= . 當(dāng)n=1時(shí)，a1

4、=1故an= 2．(2020模擬題精選)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(對(duì)于所有n≥1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是________. 【錯(cuò)誤答案】∵Sn==,∴此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是a1，公比是3，由a4=a1·34-1，∴a1=2． 【錯(cuò)解分析】 此題不知數(shù)列｛an｝的類型，并不能套用等比數(shù)列的公式．而答案一致是巧合． 【正確解答】∵a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2． 3.(2020模擬題精選)已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)求通項(xiàng)an的表達(dá)式． 【錯(cuò)誤答案】

5、 (1)∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13． (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1．故an=1+(n-1)·3n-1． 【錯(cuò)解分析】 (2)問(wèn)中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個(gè)變量，故不符合等差數(shù)列的定義． 【正確解答】 (1)∵a1=1，∴a2=4，a3=32+4=13． (2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=. 4．(典型例題Ⅲ)等差數(shù)列｛an｝中，a1+a2+

6、a3=-24，a18+a19+a20=78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于 ( ) A.160 B．180 C. 200 D．220 則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 ( ) A.4005 B．4006 C.4007 D.4008 【錯(cuò)誤答案】 ∵a2020+a2020>0，即2a1+2002d+2020d>0，(a1+2002d)(a1+2020d)<0，要使 Sn>0．即使na1+d＞0．這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a2020>0，a2020<0，所以前2020項(xiàng)為正，從第2020項(xiàng)起為負(fù)，由

7、等差數(shù)列的n項(xiàng)和的對(duì)稱性使Sn＞0．故而取n=4005使Sn>0． 【錯(cuò)解分析】 此題運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)及圖象中應(yīng)注意．a(chǎn)2020>0，a2020<0． 且忽視了這兩項(xiàng)的大?。? 3．(2020模擬題精選)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn. (Ⅰ)若首項(xiàng)a1=，公差d=1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; (Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝；使得對(duì)于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立． 【錯(cuò)誤答案】 (1)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4． ∴k≠0．故k=4． (Ⅱ)由對(duì)一切正整數(shù)k都有Sk2

8、=(Sk)2成立． 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對(duì)—切正整數(shù)k恒成立． 故 求得a1=0或1，d=0 ∴等差數(shù)列an=｛0,0,0,…｝，或an=｛1，1，1，…｝． 【錯(cuò)解分析】 (Ⅱ)中解法定對(duì)一切正整數(shù)k都成立．而不是一切實(shí)數(shù)．故而考慮取k的特值也均成立． 【正確解答】 (Ⅰ)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k≠0，所以k=4． (Ⅱ)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得 由（1）得a1=

9、0或a1=1. 當(dāng)a1=0時(shí)，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9≠(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)a1=1時(shí),代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+…+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列:①{an}：an=0,即0，0，0，…；②{an}:an

10、=1,即1，1，1，…；③{an}:an=2n-1,即1，3，5，…. 4.(2020模擬題精選)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an·(4-an),nN. (1)證明an＜an+1＜2,n∈N. (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. 【錯(cuò)誤答案】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1°當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0（4-a0）=,∴a0＜a1＜2,命題正確. 2°假設(shè)n=k時(shí)有ak-1＜ak＜2.則n=k+1時(shí)， ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-a

11、k-1-ak).而ak-1-ak＜0. 4-ak-1-ak＞0,∴ak-ak-1＜0.又ak-1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]＜2.∴n=k+1時(shí)命題正確.由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有an＜an+1＜2. (2)an+1=an(4-an)=[-(an-2)2+4].∴2(an+1-2)=-(an-2)2∴an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,∴bn=-()1+2+…+2n-1·又∵b1=a1-2=-.∴bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1. 【錯(cuò)解分析】 在（Ⅱ）問(wèn)中求bn的通項(xiàng)時(shí)，運(yùn)用疊代法.最后到b0而不是b1. 【特別提醒】 1.要

12、善于運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項(xiàng)和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn) 行數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列問(wèn)題. 2.會(huì)運(yùn)用一般與特殊的邏輯思維,利用滿足條件的特值求相關(guān)參數(shù)的值,學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 【變式探究】 1 在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案： C分析：略。 2 等差數(shù)列{an}中,若其前n項(xiàng)的和Sn=,前m項(xiàng)的和Sm=(m≠n,m,n∈N*),則 ( ) A.Sm+n＞4 B.Sm+n

13、＜ C.Sm+n=4 D.-4＜Sm+n＜-2 答案： B分析：略。 (Ⅲ)將Sn表示成關(guān)于an的函數(shù). 答案： 由a 4在數(shù)列{an}中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)…log(3an+1-an),是公差為-1的等差數(shù)列，又 2a2-a1,2a3-a2,…，2an+1-an,…是等比數(shù)列，公比為q，|q|＜1,這個(gè)等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和等于. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; 答案：設(shè)bn=log2(3an+1-an),因?yàn)閧 bn}是等差數(shù)列， d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2 即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-

14、an=2-n??????① 設(shè)cn=2an+1-an,{cn}是等比數(shù)列，公比為q,|q|<1,c1=2a2-a1=2 由 ????????? ????????????????????????② 由①,②解得 (2)計(jì)算(a1+a2+…+an). (2)過(guò)點(diǎn)Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直線l1、l2,設(shè)l1與l2的夾角為θ，求證：tanθ≤ 答案：直線l2的方程為y-a1=d(x-),直線l2的斜率為d. tanθ= 當(dāng)且僅當(dāng) 易錯(cuò)點(diǎn)3 等比數(shù)列 1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3…).證明: (Ⅰ)數(shù)列{}

15、是等比數(shù)列； (Ⅱ)Sn+1=4an. 【錯(cuò)誤答案】 (Ⅰ)已知a1=1,an+1=,∴a2=3S1=3,∴S2=4 a3=·S2=2×4=8.∴S3=1+3+8=12. 即.故{}是公比為2的等比數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知=4·于是Sn+1=4(n+1)·=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1,都有Sn+1=4an. 【錯(cuò)解分析】 (Ⅰ)中利用有限項(xiàng)判斷數(shù)列類型是運(yùn)用不完全歸納法,應(yīng)給予證明. (Ⅱ)中運(yùn)用前推一項(xiàng)必須使 n≥2. 【錯(cuò)誤答案】 (Ⅰ)S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. (

16、Ⅱ)an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以{an}是首項(xiàng)為-，公比為-的等比數(shù)列. 【錯(cuò)解分析】 在利用an=Sn-Sn-1公式時(shí),應(yīng)考慮n≥2時(shí)才能成立. 【正確解答】(Ⅰ)由S1=(a1-1),?得a1=(a1-1),∴a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. (Ⅱ)當(dāng)?n＞1時(shí),an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以{an}是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列. 3.(2020模擬題精選)等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為16,中間兩個(gè)數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( ) A. 或4 B. 或

17、 C. 4或- D. 4或或或 【錯(cuò)誤答案】 設(shè)這四個(gè)數(shù)為,aq,aq3.由題意得由①得a=,代入②得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應(yīng)選A. 【錯(cuò)解分析】 上述解答設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當(dāng)于增加了四個(gè)數(shù)同號(hào)這個(gè)條件,而題設(shè)中的四個(gè)數(shù)不一定同號(hào).因此,產(chǎn)生了漏解現(xiàn)象. (Ⅱ)bn+1=a2n+1-. (Ⅲ)求(b1+b2+b3+…+bn)= =. 【錯(cuò)解分析】在求證bn是等比數(shù)列是時(shí)，式子中，an中n為偶數(shù)時(shí)， 是連續(xù)兩項(xiàng)，并不能得出. 【正確解答】(Ⅰ)a2=a1+=a+,a3=a2=a+; (Ⅱ)∵a4=a3+=a+,所以

18、a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:{bn}是公比為的等比數(shù)列. 證明如下:因?yàn)閎n+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首項(xiàng)為a-,公比為的等比數(shù)列. (Ⅲ)求(b1+b2+b3+…+bn)= 【特別提醒】 1.證明等比數(shù)列時(shí)應(yīng)運(yùn)用定義證為非0常數(shù),而不能(此時(shí)n≥2). 2.等比數(shù)列中q可以取負(fù)值.不能設(shè)公比為q2. 3.會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì),“若m+n=p+k,則am·an=ap·ak”. 【變式探究】 1 試在無(wú)窮等比數(shù)列,, ,…中找出一個(gè)無(wú)窮等比的子數(shù)列(由原數(shù)列中

19、部分項(xiàng)按原來(lái)次序排列的數(shù)列),使它所有項(xiàng)的和為 ,則此子數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______. 答案： an=分析：略。 2 已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為8,Sn是其前n項(xiàng)的和,某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S2=20,S3=36,S4=65,后來(lái)該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則該數(shù)為（ ） A．S1 B. S2 C.S3 D.S4 答案： C分析：略。 3 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠-1),用表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)到第m項(xiàng)共m-n+1項(xiàng)的和.(Ⅰ)計(jì)算,并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列; 答案： S1→3=a1(1+q+q2),S4→6=a1q3(1+q+q2)， S7→9=a1

20、q6 (1+q+q2),因?yàn)? (Ⅱ)受上面(Ⅰ)的啟發(fā),你能發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律嗎?寫出你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律,并證明. 答案：一般地 4 已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1(n∈N*),數(shù)列{bn}對(duì)任何 n∈N*都有 bn=an+1- an. (1)求證{bn}為等比數(shù)列; 答案： bn+1=an+2 若bn=0,則an+1= b1=a2- (2)求{bn}的通項(xiàng)公式; (3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求. 答案： an+1 又an+1= SN=3 = =Sn=2 ??????????????????x→∞ 5 已知數(shù)

21、列{an}的首項(xiàng)為a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的正整數(shù)n,an都是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項(xiàng)(n≥2).(1)求證:數(shù)列{an}是 等比數(shù)列,并求通項(xiàng)an; 使得Tn＞Rn,若存在，請(qǐng)求出所有n的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由. 答案： 當(dāng)n=1、2、3時(shí)，TnRn. 即 易錯(cuò)點(diǎn) 4 等差與等比數(shù)列的綜合 1.(2020模擬題精選)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a[2-()n-1]-b[2-(n+1)()n-1](n=1,2,…),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列{xn}、{yn}使得（ ） A.an=xn+yn,其中{xn}為等差

22、數(shù)列，{yn}為等比數(shù)列 B．a(chǎn)n=xn+yn,其中{xn}和{yn}都為等差數(shù)列 C．a(chǎn)n=xn·yn,其中{xn}為等差數(shù)列，{yn}為等比數(shù)列 D．a(chǎn)n=xn·yn,其中{xn}和{yn}都為等比數(shù)列 【錯(cuò)誤答案】∵a[2-()n-1]=xn， b[2-(n-1)()n-1]=yn,又∵xn,yn成等比數(shù)列，故選D. 【錯(cuò)解分析】應(yīng)從數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式入手，而不能從形式上主觀判斷. 【正確解答】C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a[2+()n-1]-b[2-(n+1)·()n+1]-a[2+()n-2]+b[2-n()n-2]=(bn-b-

23、a)·()n-1 ∵{()n-1}為等比數(shù)列,{bn-a-b}為等差數(shù)列. 2.(2020模擬題精選)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1,2a7,3a4成等差數(shù)列. (Ⅰ) 證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列; (Ⅱ)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2. 【錯(cuò)誤答案】 (Ⅰ)由a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.從而可求q3=-,或q3=1.當(dāng)q3=-時(shí)，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.當(dāng)q3=1時(shí),=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成

24、等比數(shù)列. 【錯(cuò)解分析】本題條件中已規(guī)定q≠1.故應(yīng)將q=1時(shí)舍去. 【正確解答】(Ⅰ)證明:由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.變形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由 ==1+q6-1=q6=, 得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. (Ⅱ)解法 :Tn=a1+2a4+3a7+…+na3a-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3(n-2), 即Tn=a+2·(-)a+3·(-)2a+…+n·(-)n-1a. ① ①×(-)3a得:-Tn=-a+2·(-)2a+3·(-)3a+

25、…+n·(-)na ② ①-②有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+…(-)n-1a-n·(-)na=-n·(-)na=a-(+n)·(-)na.所以Tn=·(-)na. 3.(2020模擬題精選)如圖，△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn)，P2為線段CO的中點(diǎn)，P3為線段OP1的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn)，令Pn的坐標(biāo)為（xn,yn） ,an=yn+yn+1+yn+2. (Ⅰ)求a1,a2,a3及an; (Ⅱ)證明yn+4=1-,n∈N*, (Ⅲ)若記bn=y4n+4-y4n

26、,n∈N*,證明{bn}是等比數(shù)列. 【錯(cuò)誤答案】（1）∵y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類推可求得an=2 (Ⅱ)將yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=∴yn+4=1-. (Ⅲ)bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.∴=-.故{bn}是等比數(shù)列. 【錯(cuò)解分析】第(Ⅰ)問(wèn)題運(yùn)用不完全歸納法求出an的通項(xiàng).理由不充分,第(Ⅲ)問(wèn)中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整. 【正確解答】(Ⅰ)因?yàn)閥1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=. ∴an+1=y

27、n+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,∴{an}為常數(shù)列.∴an=a1=2,n∈N*. (Ⅱ)將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2,得yn+=1,又∵yn+4=,∴yn+4=1-. (Ⅲ)∵bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又∵b1=y8-y4=-≠0,∴{bn}是公比為- 的等比數(shù)列. 4.(2020模擬題精選)在等差數(shù)列{an}中,公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,,…,akn,…成等比數(shù)列,求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn. 【錯(cuò)誤答案】∵an=a1+(n-1)d,=a

28、1·a4 ∴(a1+d)2=a1(a1+3d).∴d=a1,∴an=nd.a1=d.a3=3d.∴=3=q.∴. ∴=q=3.∴{kn}是公比為3的等比數(shù)列.∴kn=1·3n-1=3n-1. 【錯(cuò)解分析】錯(cuò)因在把k1當(dāng)作數(shù)列{an}的首項(xiàng).k1=1.而實(shí)際上k1=9. 【正確解答】依題設(shè)得an=a1+(n-1)d,=a1a4,∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d, ∵d≠0,∴d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,…kndn…是等比數(shù)列.由d≠0,所A．5 B.6 C.7 D.8 答案： C 設(shè) 2 已知等差數(shù)列{a

29、n}的首項(xiàng)為a,公差為b;等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b,公比為a,其中a,b∈N+,且a1＜b1＜a2＜b2＜a3. (Ⅰ)求a的值; 答案： (Ⅱ)若對(duì)于任意n∈N+,總存在m∈N+，使am+3=bn,求b的值； 答案： 即b(2n-1-m+1)=5,∴b=5. (Ⅲ)在(Ⅱ)中，記{cn}是所有{an}中滿足am+3=b,m∈N+的項(xiàng)從小到大依次組成的數(shù)列，又記Sn為{cn}的前n項(xiàng)和，Sn≥Tn(n∈N+). 答案：由(2)知an=5n-3,bn=5.2n-1, 3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像是以（2，0）為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（1，1）的拋物線；數(shù)列{an} 數(shù)

30、. (1)令bn=aa+1-an(n∈N+),證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；? 答案：證明:由 (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； 答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(n∈N) 當(dāng)k≠1時(shí),b1+b2+?+bn-1=(a2-a1) 當(dāng)k=1時(shí),b1+b2+?+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n≥2). 而b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ ?+(an-an-1)=an-a1 (n≥2) 所以,當(dāng)k≠1時(shí)an-a1=(a2-a1). 上式對(duì)n=1也成立.所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 上式對(duì)n=

31、1也成立,所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a+(n+1)(f(a)-a) (n∈N?) (3)當(dāng)|k|＜1時(shí)，求 答案：解:當(dāng)|k|<1時(shí) liman=lim n→∞n→∞ 5設(shè)實(shí)數(shù)a≠0，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公比為-a的等比數(shù)列，記 ∴(1+a)S= 易錯(cuò)點(diǎn)5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合 1．（典型例題）已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,…),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).

32、 (Ⅰ)令bn=aa+1-an(n∈N*),證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (Ⅲ)當(dāng)|k|＜1時(shí)，求 【錯(cuò)誤答案】(Ⅰ)證明:由b1=a2-a1≠0,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bn=an+1-an≠0(n∈N*).由題設(shè)條件，當(dāng)n≥2時(shí)=k 故數(shù)列{bn}是公比為k的等比數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=kn-1(a2-a1)(n∈N*)b1+b2+…+bn-1=(a2-a1). (n≥2) 而b1+b2+…+bn-1=a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1(n≥2) ∴an

33、-a1=(a2-a1)(n≥2) 故an=a[f(a)-a] (n∈N*)∴an=a+(n-1)[f(a)-a](n∈N*) (Ⅲ)當(dāng)|k|＜1時(shí) ==a+ 2.如圖，直線l1:y=kx+1-k(k≠0，k≠)與l2相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作x軸的垂線交于直線l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，…這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1，Q1，P2，Q2，…點(diǎn)Pn(n=1,2,…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}. (Ⅰ)證明xn+1-1=(xn-1)，(n∈N*); （Ⅱ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

34、 （Ⅲ）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小. 【錯(cuò)誤答案】證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（xn,yn）,由已知條件得點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：.由Pn+1在直線l1上，得=?kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,n∈N*. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，故{xn-1}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2×()n,n∈N*. 【錯(cuò)解分析】 （Ⅱ）問(wèn)中對(duì)于xn+1-1=(xn-1)先應(yīng)考慮xn-1能否為0，繼而可求. 【正確解答】（Ⅰ）同錯(cuò)解中（Ⅰ）. （Ⅱ）解法：由題設(shè)知x1=1-,x1-1=-≠0,又由（Ⅰ）知x

35、n+1-1=(xn-1),?所以數(shù)列{xn-1}是首項(xiàng)為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-×()n-1,即xn=1-2×()n,n∈N*. （Ⅲ）解法：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.所以 2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8×()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|2＋5＝ 4k2[(1--1)2(0-1)2]+5=4k2+9. （i）當(dāng)|k|＞，即k＜-或k＞時(shí)，4k2?|PP1|2+5＞1+9=10.D而此時(shí)0＜||＜1，所以2|PPn|2＜8×1+2=10,故2|PPn|2＜4k2|PP1|2+5. (ii)當(dāng)0＜|k|＜，即k∈（-，0

36、）∪（0，）時(shí)，4k2|PP1|2+5＜1+9=10.而此時(shí)||＞1，所以2|PPN|2＞8×1+2=10.故2|PPn|2＞4k2|PP1|2+5. 3.已知函數(shù)f(x)=設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列{bn}滿足bn=|an-|，Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*). （Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn≤； （Ⅱ）證明Sn＜. 【錯(cuò)誤答案】(Ⅰ)bn=|an-|,又∵an=1+， an+1=(n≥2),∴a2=2,a3=,a4=2.…∴an≥1.bn==…由疊代法.bn≤. （Ⅱ）Sn=b1+b2+…+bn＜(-1)+＜. 【錯(cuò)解分析】運(yùn)用疊代法時(shí)并不能化簡(jiǎn)

37、成. Sn=b1+b2+…+bn≤(-1)+＜（-1）·.故對(duì)任意n∈N*,Sn＜ 【特別提醒】 函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知識(shí)的交匯性，方法的靈活性.因此解此類題目應(yīng)充分運(yùn)用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關(guān)系來(lái)解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問(wèn)題的綜合性. 【變式探究】 1 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖像上兩點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為. （1）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)值； 答案： （2）若Sn=f()+f()+f()+…+f(1),n∈N*，求Sn; 答案：由(1)知 而Sn

38、 兩式相加，得 所以Sn (3)記Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若Tn＜a·(Sn+2+)對(duì)一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍. 答案： 由(2)有 , 2已知一次函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱的圖像為C，且f(-1)=0,若點(diǎn)（n+1,（n∈N*）在曲線C上，并有a1=a2=1. （1）求曲線C的方程； 答案： 3過(guò)P（1，0）做曲線C:y=yk(x∈)(0,∞)，k∈N+k＞1）的切線，切點(diǎn)為Q1，設(shè)Q1在x軸上的投影為P1，又過(guò)P1做曲線C的切線，切點(diǎn)為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影為P2，…依次下去得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，Q3，…Qn的橫坐標(biāo)為an.

39、求證： （Ⅰ）數(shù)列{an}是等比數(shù)列； 答案： y′=kxk-1,若切點(diǎn)是Qn(an,a 當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P(1,0) （Ⅱ）an≥1+ 答案： （Ⅲ） （Ⅲ） 答案：記 4 在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),…Pn(xn,yn),…對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖象上。以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此相外切。若x1=1,且xn+1

40、rn,由條件知，yn= 所以 5.f(x)=ln(2-x)+ax在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 答案： f′(x)=- 由于f′(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù) 若數(shù)列|an|滿足a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nN+),證明0

41、稱軸都垂直于x軸，第n條拋物 線cn的頂點(diǎn)為Pn,且過(guò)點(diǎn)Dn(0,n2+1),記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn求： 易錯(cuò)點(diǎn)6 數(shù)列的應(yīng)用 1.某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________. 【錯(cuò)誤答案】 ∵（n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+λx圖象上的點(diǎn)，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需-≤1，即λ≥-2，∴λ的取值范圍是[-2，+∞]． 【錯(cuò)解分析】 忽視了數(shù)列的離散型特征．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，只要求滿足a1

42、其對(duì)稱軸x=-既可以不超過(guò)直線x=1，也可以在 1-3． ∴λ的取值范圍是(-3，+∞)．(答案不唯一，λ>-3的所有實(shí)數(shù)均可)． 4．(2020模擬題精選)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響．用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N+,且x1>0．不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C， (Ⅰ)求xn+1與xn的關(guān)系式； (Ⅱ)猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1,a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變?(不要求

43、證明) (Ⅲ)設(shè)a=2，c=1，為保證對(duì)任意x1∈(0，2)，都有xn>0，n∈N+，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論． 【錯(cuò)誤答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) (Ⅱ)xn=x1(n∈N+)．由(Ⅰ)式得xn(a-b-cxn)=0． ∴x1= (Ⅲ)∵x1 ∈(0，2)．a(chǎn)=2．c=1．∴0<2-b<2 0

44、任意x1∈(0，2)，都有xn>0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1． 5．(2020模擬題精選)假設(shè)某市：2020年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房．預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8％．另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米．那么，到哪一年底， (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2020年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米? (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％? 【錯(cuò)誤答案】 (1){an}是等差數(shù)列 an是中低價(jià)房面積．a(chǎn)1=250，d=50．∴S

45、n=25n2+225n由25n2+ 225n≥4750． 即n≥10． (2)設(shè)幾年后新建住房面積S為：400(1+8％)n． 85％<25n2+225n． 【錯(cuò)解分析】 (2)問(wèn)中應(yīng)是第幾年的中低價(jià)房的面積而不是累計(jì)面積． 【正確解答】 (1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中【變式探究】 1. 將正整數(shù)排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l 12 13 14 15 16 其中排在第i行第j列的數(shù)若記為aji，則數(shù)表中的2020應(yīng)記為_(kāi)_____

46、_____. 答案： 解析：略. 2.用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，…，依次類推，每一層都用去了上層剩下的磚塊的一半多一塊，如果到第九層恰好磚塊用完，那么一共用了_______塊磚． 答案：1022 解析：由題意知第九層為 3. 已知一列非零向量an滿足： a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)==(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2) (1)證明：{|an|}是等比數(shù)列； 答案： (2)求向量an-1與an的夾角；(n≥2) 答案： (3)設(shè)a1=(1，2)，把a(bǔ)1，a2，…

47、an，…中所有與a1共線的向量按原來(lái)的順序排成一列，月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元：B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5％。設(shè)某人年初被A，B兩家公司同時(shí)錄取，試問(wèn)： 若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少? 答案：此人在A、B公司第n年的工資分別為： an=1 500+230×(n-1)(n∈N+)．； bn=2000(1+5％)n-1(n∈N+) (2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)(不計(jì)其他因素)，該人應(yīng)該選擇哪家公司，

48、為什么? 答案：若該在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(a1+a2+…+an)≈304 200元．若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(b1+b2+…+bn)≈301 869元．因?yàn)樵贏公司收入的總量高些，因此該人應(yīng)該選擇A公司． (3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元?(精確到1元)并說(shuō)明理由 (已知數(shù)據(jù)1．0510=1．629，log1.05 2．3≈17．1，1．0518=2．407) 答案：?jiǎn)栴}等價(jià)于求cn=an-bn=1 270+230n-2000×1．05n-1(n∈N+)的最大值，當(dāng)≥2時(shí)，cn-cn-1=230-1

49、00×1．05n-2當(dāng)cn-cn-1>0，即230-100×1．05n-1> 0時(shí)，1．05n-2<2．3得n<19．1因此，當(dāng)2≤n≤19時(shí)，cn-1

50、項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為_(kāi)_______，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_(kāi)_______. 【解析】 由等和數(shù)列的定義可求得a2、a3、a4…由此類推可求出a18，以及Sn. 【答案】 由已知得：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，…易得a18=3,sn= 2．已知數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=an+2n，那么a2020的值是 ( ) A．2020×2020 B．2020×2020 C．20202 D．2

51、020×2020 【解析】 由遞推公式an+1，=an+2n，可變形為an+1-an=2n.且a1=0．采用疊加法即可求出an的通項(xiàng)公式． 【答案】 ∵an+1=an+2n，an+1-an=2n．∴an-an-1=2(n—1)，…a3-a2=4，a2-a1=2，由疊加法可得an=n(n-1)，故a2020=2020×2020．故選B． 3．已知數(shù)列{an}中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中k=1，2，3，…… (Ⅰ)求a3，a5； (Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)公式． 難點(diǎn)2 等差數(shù)列與等比數(shù)列 1．已知數(shù)列{an}是遞減等

52、差數(shù)列，前三項(xiàng)之和為6，前三項(xiàng)之積為—24，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ( ) A．-4n+4 B．-4n+10 C. -4n—2 D．-4n-4 【解析】 根據(jù)已知條件建立方程(組)求解． 【答案】 由a1+a2+a3=3a2=6 ∴a2=2． 即a1+ a3=4，由a1a2a3=2a1a3=-24 ∴a1a3=-12． ∴a1， a3，是一元二次方程 x2-4x-12=0的兩個(gè)根，∴a1=6或-2，∵{an}是遞減的等差數(shù)列．∴a1=6，則an=-4n +10． 故選B． 2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an-3n(n∈N*) (1

53、)若數(shù)列{an+c}引成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (3)數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】 (1)利用an=Sn-Sn-1推出；(2)問(wèn)運(yùn)用疊代法求出通項(xiàng)；(3)問(wèn)假設(shè)存在，再證明之． 【答案】 (1)由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1)得an+1=2an+3，∴=2，∴c=3． (2)∵a1=S1=2a1-3，∴a1=3． 由(1)知：an+3=(a1+3)·2n-1，∴an=3·2n-3，n∈N*．(3)設(shè)存在s、p、r∈N*，且s

54、

55、求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和． (3)因?yàn)閏n=,又cn=n-,所以，an=(3n—1)·2n-2．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an-1+2=2n-1 (3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1也適合上式．綜上可知，所求的求和公式為Sn=2n-1(3n-4)+2． 難點(diǎn)3 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和 1．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于任意的n≥2，3Sn-4、an、2-總成等差數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn求Tn． 【解析】 (1)利用等差數(shù)列的等差中項(xiàng)性質(zhì)求出 Sn與an的關(guān)系式，再利用an=Sn-Sn-

56、1求解．(2)運(yùn)用分組求和與等比數(shù)列求出公式． 【答案】 (1)當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-4、an、2-成等差數(shù)列，∴2an=3sn-4+2-，又n≥2時(shí)，sn=sn-1+ an,∴an=3Sn-4(n≥2)，① ∴an+1=3Sn+1-4，② ②-①得aa+1-an=3·an+1即(常數(shù))，∴a2，a3，a4，…，an，…成等比數(shù)列，公比q=-由a2 =3(a1+a2)-4，a1=1得a2=,∴n≥2時(shí)，an=a2· qn-2=·(-)n-2=-(-)n-1， ∴an= (2)由(1)知：當(dāng)n=1時(shí)，Tl=S1=a1=1;n≥2時(shí)， Sn=∴Tn=S1+S2+S3+…+Sn=1+(

57、n-1)-[(-)+(-)2+…+(-)n-1]× 2．設(shè)不等式組，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為an(n∈N*)，(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)) (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Tn=，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 3．對(duì)數(shù)列{an}規(guī)定{Δan}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Δan=an+1-an(n∈N*)，對(duì)正整數(shù)k，規(guī)定{Δkan}為{an}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中Δkan=Δk-1an+1-Δk-1an=Δ(Δk-1an)． (1)已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an=n2+n(n∈

58、N*)，試判斷{Δan}是否為等差或等比數(shù)列，為什么? (2)若數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1，且滿足Δ2an-Δan+1+an=-2n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)對(duì)(2)中數(shù)列{an},是否存在等差數(shù)列{bn},使得b1c1n+b2c2n+…+bncnn=an對(duì)一切正整數(shù)n∈N*都成立?若存在，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】 (1)利用Δan的定義代入an與an+1即可判斷．(2)用歸納、猜想、證明方法求an. 【答案】 (1)Δan=aa+1-an=(n+1)2+(n+1)- (n2+n)=2n+2，∴{Δan}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列

59、． (2)Δ2an-Δan+1+an=-2n，即Δan+1-Δan-Δan+1+ an=-2n，即Δan-an=2n,∴an+1=2an+2n.∴a1=1， ∴a2=4=2×21，a3=12=3×22，a4=32=4×23． 猜想：an=n·2n-1. 證明：i)當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=l×20，結(jié)論成立;ⅱ)假設(shè)n=k時(shí)，ak=k·2k-1．當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2ak +2k=k·2k+2k=(k+1)·2(k+1)-1，結(jié)論也成立．∴由ⅰ)、ⅱ)可知，an=n·2n-1． (3)b1c1n+b2c2n+…+bncnn=an,即b1c1n+b2c2n+…++存在等差數(shù)列 {bn

60、}, bn=n，使得對(duì)一切正整數(shù)n∈N*都成立． 難點(diǎn)4 遞推數(shù)列與不等式的證明 1．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+(n=1，2，…) (1)證明an>對(duì)一切正整數(shù)n成立； (Ⅱ)令bn=(n=1，2，…)，判定bn與bn+1的大小，并說(shuō)明理由． 而這等價(jià)于 顯然成立．所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．因此，an>對(duì)一切正整數(shù)n均成立． 證法三：由遞推公式得.上述各式相加并化簡(jiǎn)得2n+2>2n+1 (n≥2)．又n=1時(shí)，an>了明顯成立，故an> (n=1，2，…)． (Ⅱ)解法一： 解法二： 解法三： 故 2．已知數(shù)列

61、{an}滿足遞推關(guān)系：an+1=（n∈N*)，又a1=1． (1)在α=1時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an; (2)問(wèn)α在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，能使數(shù)列{an}滿足不等式an+1≥an恒成立? (3)在-3≤α<1時(shí)，證明： 【解析】 (1)求出an+1與an的關(guān)系式再求出通項(xiàng)an.(2)由an可知an是一個(gè)遞增數(shù)列．(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【答案】 (1)在α=1時(shí)，an+1=可化為要使an+1=2an+1,則an+1+1=2(an+1),疊代可得an+1=2n-1(a1+1)=2n,即 an=2n-1.(2)an+1-an≥0恒成立，至少需使a2-a1≥0成立，即需a

62、2-a1=≥0成立，則α≥-3．下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：在α≥-3時(shí)，an+1≥an 3．已知數(shù)列{xn}滿足：xn+1=,x1=1． (1)問(wèn)是否存在m∈N*，使xm=2，并證明你的結(jié)論; (2)試比較xn與2的大小關(guān)系； (3)設(shè)an=|xn-2|，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，≤2-21-n． 【解析】 (1)由“是否存在”常用反證法假設(shè)存在．(2)作差法比較．(3)放縮法． 【答案】 （1）假設(shè)存在=2，同理xm-2=2，由此類推有x1=2這與 x1=1矛盾，故不存在m∈N*，使xm=2． (2)當(dāng)n≥2時(shí)，xn+1-2=∴xn+1-2與 xn-2符號(hào)相反，而x1=

63、1<2，則x2>2，以此類推有： x2n-1<2，x2n>2． (3)∵xn+1=，則xn>1， 難點(diǎn)5 有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題 1．設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn) (n≥3，n∈N)是二次曲線C上的點(diǎn)，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…an=|OPn|2構(gòu)成了一個(gè)公差為d(d≠(0)的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記Sn=a1+a2+…+an． (1)若C的方程為點(diǎn)P1(10，0)且S3=255，求點(diǎn)P3的坐標(biāo)；(只需寫出一個(gè)) (2)若C的方程為(a>b>0)，點(diǎn)P1(a，0)，對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時(shí)，求Sn

64、的最小值； (3)請(qǐng)選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上一點(diǎn)P1,對(duì)于給定的自然數(shù)n，寫出符合條件的點(diǎn)P1，P2，…，Pn存在的充要條件，并說(shuō)明理由． 【解析】 (1)由已知設(shè)P3坐標(biāo)再結(jié)合已知列出P3坐標(biāo)方程，用方程思想求解． (2)先將Sn列出表達(dá)式，其中Sn必定是以d為自變量的一次函數(shù)，再由點(diǎn)Pn在拋物線上，求出d的取值范圍，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定函數(shù)在某區(qū)間上的最小值問(wèn)題． (3)屬開(kāi)放性命題．我們可選雙曲線、拋物線、圓．而P1點(diǎn)也是任取的．但如果取值不當(dāng)會(huì)使問(wèn)題很難處理，所以P1通常取最值點(diǎn)． 解法二：對(duì)每個(gè)自然數(shù)k(2≤k≤n)．由∵0< 以下與解法一相同. (3)解

65、法一：若雙曲線，點(diǎn)P1(a，0)．則對(duì)于給定的n，點(diǎn)P1，P2，…，Pn存在的充要條件是d>0. ∵原點(diǎn)O到雙曲線C上各點(diǎn)的距離h∈[|a|，+∞]，且.∴點(diǎn)P1,P2…，Pn存在當(dāng)且僅當(dāng)|OPn|2,即d>0． 解法二：若拋物線C：y2=2px，點(diǎn)P1(0，0，)則對(duì)于給定的n.點(diǎn)P1，P2，…，Pn存在的棄要條件是d>0．理由同上． 解法三：若圓C：(x-a)2+y2=a2 (a≠0)，點(diǎn)P1 (0，0)．則對(duì)于給定的n，點(diǎn)P1，P2，…，Pn存在的充要條件是00且|OPn|2= (n-1)

66、d≤4a2．即0