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1、高考專題訓練二十 三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、概率與統(tǒng)計型解答題
班級_______ 姓名________ 時間：45分鐘 分值：80分 總得分_______
1．(2020·浙江卷)
已知函數(shù)f(x)＝Asin，x∈R，A>0,0<φ<.y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．
分析：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角運算等基礎知識．
解：(1)由題意得，T＝＝6.
因為P(1，A)在y＝Asin的圖象上，
所以sin
2、＝1.
又因為0<φ<，
所以φ＝.
(2)設點Q的坐標為(x0，－A)，
由題意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)，
如圖，連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得
cos∠PRQ＝＝＝－，
解得A2＝3.
又A>0，所以A＝.
2．(2020·遼寧卷)
如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)證明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值．
分析：本小題主要考查了空間中點、線、面的位置關系，重點是線面垂直的證明，還考查了三棱錐體積的求法．
解：(1)證
3、明：由條件知四邊形PDAQ為直角梯形．
因為AQ⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)設AB＝a.由題設知AQ為棱錐Q－ABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V1＝a3.
由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面積為a2，所以棱錐P－DCQ的體積V2＝a3.
故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1.
3．(2020·天津卷)編號分別為A1，A2，…，
4、A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下：
運動員編號
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
運動員編號
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)將得分在對應區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應的空格：
區(qū)間
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人數(shù)
(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，
(ⅰ)用運動員編號列出所有可能的
5、抽取結(jié)果；
(ⅱ)求這2人得分之和大于50的概率．
分析：本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力．
解：(1)4,6,6.
(2)(ⅰ)得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員編號為A3，A4，A5，A10，A11，A13.從中隨機抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，
6、{A10，A13}，{A11，A13}，共15種．
(ⅱ)“從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5種．
所以P(B)＝＝.
4．(2020·福建卷)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4
7、的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2.現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．
分析：本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及分類與整合思想．
解：(1)由頻率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等級系數(shù)為5的恰有
8、2件，所以c＝＝0.1.
從而a＝0.35－b－c＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)．
設事件A表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包含的基本事件為：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4個．
又基本事件的總數(shù)為10，
故所求的概率為P(A)＝＝0.4.
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