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1、《線性代數(shù)》復習提綱
第一部分：基本要求（計算方面）
四階行列式的計算；
N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；
矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運算）；
求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；
含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；
齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；
討論一個向量能否用和向量組線性表示；
討論或證明向量組的相關(guān)性；
求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；
將無關(guān)組正交化、單位化；
求方陣的特征值和特征向量；
討論方陣能否對角化，如能，要能
2、寫出相似變換的矩陣及對角陣；
通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；
寫出二次型的矩陣，并將二次型標準化，寫出變換矩陣；
判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。
第二部分：基本知識
?
一、行列式
1．行列式的定義
用n^2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。
?。?）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和；
?。?）展開式共有n!項，其中符號正負各半；
2．行列式的計算
一階|α|=α行列式，二、三階行列式有對角線法則；
N階（n>=3）行列式的計算：降階法
定理：n階行列式的值等于它的任意一
3、行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。
方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。
特殊情況
上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；
（2）行列式值為0的幾種情況：
Ⅰ 行列式某行（列）元素全為0；
Ⅱ 行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；
Ⅲ 行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；
Ⅳ 奇數(shù)階的反對稱行列式。
二．矩陣
1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；
2．矩陣的運算
（1）加減、數(shù)乘、乘法運算的條件
4、、結(jié)果；
（2）關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：
①矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB＝BA，稱A、B是可交換矩陣）；
②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；
③若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；
④|kA|=k^n|A|
3．矩陣的秩
（1）定義 非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；
（2）秩的求法 一般不用定義求，而用下面結(jié)論：
矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。
求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。
4．逆矩陣
5、?。?）定義：A、B為n階方陣，若AB＝BA＝I，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；
?。?）性質(zhì)： (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）
?。?）可逆的條件：
① |A|≠0；?、趓(A)=n; ③A->I;
（4）逆的求解
伴隨矩陣法 A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴隨矩陣~)
②初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:A^-1） ?
5．用逆矩陣求解矩陣方程：
AX=B，則X=（A^-1）B；
XB=A，則X=B(A^-1)；
6、
AXB=C，則X=(A^-1)C(B^-1)
?三、線性方程組
1．線性方程組解的判定
定理：
(1) r(A,b)≠r(A) 無解；
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A)
7、(A)
8、
有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。
四、向量組
1．N維向量的定義
注：向量實際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。
2．向量的運算：
（1）加減、數(shù)乘運算（與矩陣運算相同）；
?。?）向量內(nèi)積 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）向量長度
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根號)
（4）向量單位化 (1/|α|)α；
（5）向量組的正交化（施密特方法）
設(shè)α1，α 2，…，αn線性無關(guān)，則
β1=α1，
β2=α2-（α2’β1/β1’β）*
9、β1，
β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。
3．線性組合
（1）定義 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，則稱β是向量組α1，α 2，…，αn的一個線性組合，或稱β可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個線性表示。
（2）判別方法 將向量組合成矩陣，記
A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)
若 r (A)=r (B)，則β可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個線性表示；
若 r (A)≠r (B)，則β不可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個線性表示。
10、
（3）求線性表示表達式的方法：
將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。
4．向量組的線性相關(guān)性
（1）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義
設(shè) k1α1+k2α2+…+knαn=0，
若k1,k2,…，kn不全為0，稱線性相關(guān)；
若k1,k2,…，kn全為0，稱線性無關(guān)。
（2）判別方法：
① r(α1，α 2，…，αn)
11、大無關(guān)組與向量組的秩
（1）定義 極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩
（2）求法 設(shè)A＝(α1，α 2，…，αn)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。
五、矩陣的特征值和特征向量
1．定義 對方陣A，若存在非零向量X和數(shù)λ使AX＝λX，則稱λ是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量。
2．特征值和特征向量的求解：
求出特征方程|λI-A|=0的根即為特征值，將特征值λ代入對應(yīng)齊次線性方程組(λI-A)X＝0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。
3．重要結(jié)論：
（1
12、）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；
（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；
（3）不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。
六、矩陣的相似
1．定義 對同階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使P^-1AP=B，則稱A與B相似。
2．求A與對角矩陣∧相似的方法與步驟（求P和∧）：
求出所有特征值；
求出所有特征向量；
若所得線性無關(guān)特征向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化（否則不能對角化），將這n個線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為∧。
3．求通過正交變換Q與實對稱矩陣A相似的對角陣：
方法與
13、步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。
七、二次型
n
1．定義 n元二次多項式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj稱為二次型,若aij=0(i≠j)，則稱為二交型的標準型。
i,j=1
2．二次型標準化：
配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由于對正交矩陣Q，Q^-1=Q'，即正交變換既是相似變換又是合同變換。
3．二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：
（1）定義（略）；
（2）正定的充要條件：
①A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0；
②A為正定的充要條件是A的所有順序
14、主子式都大于0；
《線性代數(shù)》復習提綱
第一部分：基本要求（計算方面）
四階行列式的計算；
N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；
矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運算）；
求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；
含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；
齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；
討論一個向量能否用和向量組線性表示；
討論或證明向量組的相關(guān)性；
求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；
將無關(guān)組正交化、單位化；
求方陣的特征值和特征向量；
討
15、論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；
通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；
寫出二次型的矩陣，并將二次型標準化，寫出變換矩陣；
判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。
第二部分：基本知識
一、行列式
1．行列式的定義
用n^2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。
?。?）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和；
?。?）展開式共有n!項，其中符號正負各半；
2．行列式的計算
一階|α|=α行列式，二、三階行列式有對角線法則；
N階（n>=3）行列式的計算：降階法
16、定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。
方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。
特殊情況
上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；
（2）行列式值為0的幾種情況：
Ⅰ 行列式某行（列）元素全為0；
Ⅱ 行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；
Ⅲ 行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；
Ⅳ 奇數(shù)階的反對稱行列式。
二．矩陣
1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；
2．矩陣的運算
17、
（1）加減、數(shù)乘、乘法運算的條件、結(jié)果；
（2）關(guān)于乘法的幾個結(jié)論：
①矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB＝BA，稱A、B是可交換矩陣）；
②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；
③若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；
④|kA|=k^n|A|
3．矩陣的秩
（1）定義 非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；
（2）秩的求法 一般不用定義求，而用下面結(jié)論：
矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。
求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣
18、得秩。
4．逆矩陣
?。?）定義：A、B為n階方陣，若AB＝BA＝I，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；
（2）性質(zhì)： (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）
?。?）可逆的條件：
① |A|≠0；?、趓(A)=n; ③A->I;
（4）逆的求解
伴隨矩陣法 A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴隨矩陣~)
②初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:A^-1） ?
5．用逆矩陣求解矩陣方程：
AX=B，則X=（A^-1）B；
19、
XB=A，則X=B(A^-1)；
AXB=C，則X=(A^-1)C(B^-1)
三、線性方程組
1．線性方程組解的判定
定理：
(1) r(A,b)≠r(A) 無解；
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A)
20、數(shù)行列式D≠0）只有零解；
r(A)
21、相同。
（4）唯一解的解法：
有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。
四、向量組
1．N維向量的定義
注：向量實際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。
2．向量的運算：
（1）加減、數(shù)乘運算（與矩陣運算相同）；
?。?）向量內(nèi)積 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）向量長度
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根號)
（4）向量單位化 (1/|α|)α；
（5）向量組的正交化（施密特方法）
設(shè)α1，α 2，…，αn線性無關(guān)，則
β1=α1，
β
22、2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，
β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。
3．線性組合
（1）定義 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，則稱β是向量組α1，α 2，…，αn的一個線性組合，或稱β可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個線性表示。
（2）判別方法 將向量組合成矩陣，記
A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)
若 r (A)=r (B)，則β可以用向量組α1，α 2，…，αn的一個線性表示；
若 r (A)≠r (B)，則β不可以用向量組α1，α
23、 2，…，αn的一個線性表示。
（3）求線性表示表達式的方法：
將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。
4．向量組的線性相關(guān)性
（1）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義
設(shè) k1α1+k2α2+…+knαn=0，
若k1,k2,…，kn不全為0，稱線性相關(guān)；
若k1,k2,…，kn全為0，稱線性無關(guān)。
（2）判別方法：
① r(α1，α 2，…，αn)
24、 (行列式太不好打了)
5．極大無關(guān)組與向量組的秩
（1）定義 極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩
（2）求法 設(shè)A＝(α1，α 2，…，αn)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。
五、矩陣的特征值和特征向量
1．定義 對方陣A，若存在非零向量X和數(shù)λ使AX＝λX，則稱λ是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量。
2．特征值和特征向量的求解：
求出特征方程|λI-A|=0的根即為特征值，將特征值λ代入對應(yīng)齊次線性方程組(λI-A)X＝0中求出方程組的所有非零解即為特征向量
25、。
3．重要結(jié)論：
（1）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；
（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；
（3）不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。
六、矩陣的相似
1．定義 對同階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使P^-1AP=B，則稱A與B相似。
2．求A與對角矩陣∧相似的方法與步驟（求P和∧）：
求出所有特征值；
求出所有特征向量；
若所得線性無關(guān)特征向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化（否則不能對角化），將這n個線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為∧。
3．求通過正交變換Q與實對稱
26、矩陣A相似的對角陣：
方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。
七、二次型
n
1．定義 n元二次多項式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj稱為二次型,若aij=0(i≠j)，則稱為二交型的標準型。
i,j=1
2．二次型標準化：
配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由于對正交矩陣Q，Q^-1=Q'，即正交變換既是相似變換又是合同變換。
3．二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：
（1）定義（略）；
（2）正定的充要條件：
①A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0；
②A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0；
線性代數(shù)練習題 2012
