2020年高考數(shù)學 考前查缺補漏系列 熱點01 橫眉冷對千夫指如何處理高考中冷點問題？新課標

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1、橫眉冷對千夫指，如何處理高考中冷點問題？ 在高考試題中，常常出現(xiàn)一些冷點問題，這類問題一般難度不大，但是因為受到了冷遇，平時訓(xùn)練不多，故同學們一看到就發(fā)蒙，信心不足。現(xiàn)結(jié)合實際，總結(jié)一下可能出現(xiàn)的冷點，供同學們參考： 冷點1 函數(shù)的定義 【必備基礎(chǔ)】1．映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，記為f：A→B. 2.函數(shù)：定義在非空數(shù)集A，B上的映射，就稱f：A→B為從集合A到集合B的函數(shù)，記作：，此時稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為函數(shù)的值域. 注意： (1)

2、函數(shù): 是特殊的映射.特殊在集合和集合都是非空數(shù)集； (2)由定義可知：函數(shù)圖象與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個； (3)函數(shù)的值域； (4)函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則.研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則. 【解題方法】判斷方法有： (1)利用對應(yīng)關(guān)系：可以是“一對一、多對一”，但不能“一對多”； (2)利用圖象與（為函數(shù)的定義域）的交點個數(shù)：只能1個，不能多個. 【答案】C 【解析】函數(shù)的定義：設(shè)是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于 冷點2 函數(shù)的值域 【必備基礎(chǔ)】 1.函數(shù)的值域：函數(shù)值的集合叫做函

3、數(shù)的值域.函數(shù)的值域取決于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，無論采用什么方法求函數(shù)的值域，均必須在其定義域內(nèi)進行. 2.常見的函數(shù)的值域： (1)函數(shù)的值域為R; (2)二次函數(shù) 當時值域是,當時值域是； 【解題方法】求函數(shù)值域（最值）的方法： (1)配方法：求二次函數(shù)型的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.結(jié)構(gòu)類型：、、等. （4）單調(diào)性法：通過分析函數(shù)單調(diào)性，能夠確定函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或遞減，從而確定函數(shù)的值域. 結(jié)構(gòu)類型：、、等 （5）數(shù)形結(jié)合法：當函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可考慮利用此法.一般需要對式子結(jié)構(gòu)通過變形之

4、后才能發(fā)現(xiàn)其明顯的幾何含義. 結(jié)構(gòu)類型：表示與的斜率，表示與的距離. （6）判別式法：此法對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但是要注意化簡后的二次項系數(shù)為零的情形.但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過分離常數(shù)后，再利用均值不等式. 結(jié)構(gòu)類型：. （7）不等式法：利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧. 結(jié)構(gòu)類型：、、等. 結(jié)構(gòu)類型： 【典型例題】【唐山市2020學年度高三年級第一次模擬考試】 （理）函數(shù)的值域是______. [答案]

5、 [解析] 函數(shù)的值域. （文）函數(shù)的值域是______. [答案] [解析] 函數(shù)的值域. 冷點3 變量間的相關(guān)關(guān)系 【典型例題】【2020新課標全國理，3】對變量x, y 有觀測數(shù)據(jù)（，）（i=1,2,…，10），得散點圖1；對變量u ，v 有觀測數(shù)據(jù)（，）（i=1,2,…，10）,得散點圖2. 由這兩個散點圖可以判斷（ ） （A）變量x 與y 正相關(guān)，u 與v 正相關(guān) （B）變量x 與y 正相關(guān)，u 與v 負相關(guān) （C）變量x 與y 負相關(guān)，u 與v 正相關(guān) （D）變量x 與y 負相關(guān)，u 與v 負相關(guān) 【必備基礎(chǔ)】 (1)回歸直線：觀察散點圖的

6、特征，如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． (2)回歸直線方程的求法——最小二乘法． 設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y的一組觀察值為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，則回歸直線方程＝＋x的系數(shù)為： 其中＝i，＝i，(，)稱作樣本點的中心．，表示由觀察值用最小二乘法求得的a，b的估計值，叫回歸系數(shù)． 0＝x0＋. (4)線性相關(guān)強度的檢驗： 對于變量x與y隨機取到的n對數(shù)據(jù)(xi，yi)，用y與x間的相關(guān)系數(shù)r＝＝來檢驗x與y是否線性相關(guān)． r具有以下性質(zhì)：|r|≤1，并且|r|越接近1，線性相關(guān)

7、程度越強；|r|越接近0，線性相關(guān)程度越弱． 【答案】185　 【解析】 因為兒子身高與父親身高有關(guān)，所以設(shè)兒子身高為Y，父親身高為X，根據(jù)數(shù)據(jù)列表：X,173,170,176Y,170,176,182得回歸系數(shù)：＝1，＝3，于是兒子身高與父親身高的關(guān)系式為：Y＝X＋3，當X＝182時，該老師的孫子身高為185 cm. （文）[2020·廣東卷] 為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關(guān)系： 時間x,1,2,3,4,5命中率y,0.4,0.5,0.6,0.6,0.4小李這5天的平均投籃命

8、中率為________；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________． 【答案】0.5　0.53　 [2020·陜西卷] 設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖1－5)，以下結(jié)論中正確的是(　　) 圖1－5 A．直線l過點(，) B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關(guān)系在0到1之間 D．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 【答案】A　 【解題方法】一般制作莖葉圖的方法是：將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作“莖”，個位數(shù)

9、字作“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大順序由上到下列出，共莖的葉按從大到小(或 【典型例題】【2020海淀區(qū)高三年級第一學期期末試題】 甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫（單位：）用莖葉圖記錄如下，根據(jù)莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是_______，氣溫波動較大的城市是____________. 甲城市 乙城市 9 0 8 7 7 3 1 2 4 7 2 2 0 4 7 【答案】 乙；乙 【解析】根據(jù)莖葉圖可知，甲城市

10、的平均溫度為乙城市的平均溫度為故平均溫度高的乙城市，由莖葉圖觀察可知，甲城市的溫度更加集中在峰值附件，故甲城市比乙城市溫度波動較小，乙城市溫度波動大。 冷點6 獨立性檢驗 【必備基礎(chǔ)】(1)若變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，則這些變量稱為分類變量． (2)兩個分類變量X與Y的頻數(shù)表，稱作2×2列聯(lián)表. 在2×2列聯(lián)表中，隨機變量χ2＝，其中n為樣本容量，χ2的取值范圍可以判斷“X與Y有關(guān)系“的可信度如表．(其中頻數(shù)n11、n12、n21、n22都不小于5) P(χ2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01

11、0 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ①當χ2>6.635時，有99%的把握認為“X與Y有關(guān)系”． ②當χ2>3.841時，有95%的把握認為“X與Y有關(guān)系”． ③當χ2≤3.841時，沒有充分理由認為X與Y是相關(guān)的． 【解題方法】(1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及有關(guān)值的確定，避免混亂． (2)若要求判斷X與Y無關(guān)，應(yīng)先假設(shè)X與Y有關(guān)系． 【典型例題】 [2020·湖南卷] 通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)

12、表： 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由算得， 附表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結(jié)論是( )． A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)” B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)” C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)” D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)” 【答案】C　 【典

13、型例題】[2020·江西卷文] 為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖1－1所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾為m0，平均值為，則(　　) 圖1－1 A．me＝m0＝ B．me＝m0< C．me

14、理）正態(tài)分布 【必備基礎(chǔ)】正態(tài)曲線的性質(zhì)： ，（），其相應(yīng)的曲線稱為標準正態(tài)曲線.標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布的概率問題. 【解題方法】關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱，也可以推廣到 【典型例題】[2020·湖北卷] 已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6 B．

15、0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】C　 【解析】 因為P＝0.8，所以P＝0.2.由圖象的對稱性知，P＝P＝0.2，所以P＝1－P－P＝0.6.所以P＝P＝0.3.　 【最新模擬試題訓(xùn)練】 1. [2020·江西卷] 為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子身高據(jù)如下：父親身高x(cm),174,176,176,176,178兒子身高y(cm),175,175,176,177,177則y對x的線性回歸方程為(　　) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 【答案】C　 【答案】0.254　 【解析】 由題意得2－1＝[0.25

16、4(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254，即家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元． 3.[2020·山東卷] 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元),4,2,3,5銷售額y(萬元),49,26,39,54根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 【答案】 B　 【答案】 D　 【解析】 A選項說法錯誤，相關(guān)系數(shù)不是直線l的斜率；B選項說法錯誤，x和y的相關(guān)系在－1和1之間，當相關(guān)系

17、數(shù)大于0時，叫正相關(guān)，當相關(guān)系數(shù)小于0時，叫負相關(guān)；當相關(guān)系數(shù)等于0時，叫不相關(guān)．C選項說法錯誤，不管n是偶還是奇數(shù)，分布在直線兩側(cè)的點是根據(jù)最小二乘法得出的；D選項說法正確． 5.(文)(2020·福州市期末)如圖是歌手大獎賽中，七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則一定有(　　) A．a(chǎn)1>a2 B．a(chǎn)2>a1 C．a(chǎn)1＝a2 D．a(chǎn)1、a2的大小不確定 [答案]　B [解析]　∵甲、乙分數(shù)在70、80、90各分數(shù)段的打分評委人數(shù)一樣多，故只須看個位數(shù)的和，

18、乙的個位數(shù)總和37，甲的個位數(shù)字和為20＋m<37，∴a2>a1，故選B. (理)(2020·巢湖質(zhì)檢)在如圖所示的莖葉圖中，若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為λ1，λ2，平均數(shù)分別為μ1，μ2，則下列判斷正確的是(　　) A.λ1>λ2，μ1<μ2 B．λ1>λ2，μ1>μ2 C．λ1<λ2，μ1<μ2 D．λ1<λ2，μ1>μ2 [答案]　B [解析]　由莖葉圖知λ1＝20.5，λ2＝18.5，μ1＝19.9，μ2＝18.9，∴λ1>λ2，μ1>μ2，故選B. 6．(2020·江西吉安質(zhì)檢)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)品x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗

19、y(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為(　　) X 3 4 5 6 y 25 t 4 45 A.4.5 B．3.5 C．3.15 D．3 [答案]　D [解析]　線性回歸直線過樣本點的中心(，)， ∵＝4.5，＝，∴＝0.7×4.5＋0.35，∴t＝3，故選D. 7．【唐山市2020學年度高三年級第一學期期末考試】 考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現(xiàn)，其股骨長度（cm）與肱骨長度y(cm)線性回歸 方程為，由此估計，當肌骨長度為50cm時，肱骨長度的估計值為 cm

20、. 【答案】56.19 【解析】根據(jù)回歸方程將代入求解得 【解析】 9.【山西大學附中2020學年第二學期高三月考】 某賽季甲、乙兩名籃球運動員各13場比賽得分情況用莖葉圖表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根據(jù)上圖，對這兩名運動員的成績進行比較，下列四個結(jié)論中，不正確的是 答案：

21、D 解析：結(jié)合莖葉圖可知A,B,C均正確，故選D 10.（2020哈三中高三10月月考）下列各數(shù)集及對應(yīng)法則，不能構(gòu)成映射的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】故選C. 11.（2020屆無錫一中高三第一學期期初試卷）4．從某小學隨機抽取100名同學，這些同學身高都不低于100厘米，將他們身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如右圖）．現(xiàn)用分層抽樣的方法從身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三組學生中，選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應(yīng)為 ．

22、 答案:3 【解析】該題考查抽樣方法、總體分布的估計、總體特征數(shù)的估計.由得,因此, [120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三組學生人數(shù)分別為:所以, 從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應(yīng)為 12.【2020年河南省豫東、豫北十所名校高中畢業(yè)班階段性測試(三）】 2020年的NBA全明星賽，于美國當?shù)貢r間2020年2月26日在佛羅里達州奧蘭多市舉行.如圖是參加此次比賽的甲、乙兩名籃球運動員以往幾場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是. 【答案】64 【解析】甲的得分情況為13 15 23 26 28 34 3

23、7 39 41，乙的得分情況24 25 32 33 36 37 38 45 47，故甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36,28+36=64. 13.[2020·福建卷] 設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射f：V→R滿足： 對任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)． 則稱映射f具有性質(zhì)P. 現(xiàn)給出如下映射： ①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(

24、x，y)∈V. 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________．(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號) 【答案】 ①③ 【解析】 設(shè)a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，則 λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)， ∴ 映射f3具有性質(zhì)P. 故具有性質(zhì)P的映射的序號為①③. 14.[2020·湖南卷] 給定k∈N*，設(shè)函數(shù)f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數(shù)n，f(n)＝n－k. (1)設(shè)k＝1，則其中一個函f在n＝1處的函數(shù)值為________________； (2)設(shè)k＝4，且當

25、n≤4時，2≤f(n)≤3，則不同的函數(shù)f的個數(shù)為________． 【答案】(1)a(a為正整數(shù))　(2)16　 15.【北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習】 85 80 90 100 95 分數(shù) 75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 某次有1000人參加的數(shù)學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀. （Ⅰ）下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a, b的值； 區(qū)間 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 人數(shù) 50 a

26、350 300 b （II）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成 績進行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)； （Ⅲ）在（II）中抽取的40名學生中，要隨機選取2名學生參 加座談會，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的 分布列與數(shù)學期望. 解：（Ⅰ）依題意，. ……………4分 （Ⅱ）設(shè)其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)為x，則，解得：x=30， 即其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)為30名. ……………7分 （Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2， ，，， 所以X的分布列為 X 0 1

27、2 P ，所以X的數(shù)學期望為. ……………13分 （文）某企業(yè)員工500人參加“學雷鋒”志愿活動，按年齡分組：第1組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如右圖所示． 25 30 35 40 45 50 0.02 年齡 0.08 0.06 0.04 O (Ⅰ)下表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)的值； 區(qū)間 [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50] 人數(shù) 50 50 150

28、 (Ⅱ)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少？ (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求至少有1人年齡在第3組的概率． 解：(Ⅰ)由題設(shè)可知，， . ……………2分 (Ⅱ) 因為第1，2，3組共有50+50+200=300人， 利用分層抽樣在300名學生中抽取名學生，每組抽取的人數(shù)分別為： 所以第1，2，3組分別抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)設(shè)第1組的1位同學為，第2組的1位同學為，第3組的4位同學為，則從六位同學中抽兩位同學有： 其中2人年齡都不在第3組的有：共1種可能， ……… ………12分 所以至少有1人年齡在第3組的概率為． ………………13分