（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（六十二）離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（六十二）離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差（含解析） 1．(2019·嘉興一中質(zhì)檢)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p A.2　　　　　　　　　　　 　B．3 C．4 D．5 解析：選C　因?yàn)閜＝1－－＝， 所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3， 所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故選C. 2．(2019·廣雅中學(xué)期中)口袋中有5個形狀和大小完全相同的小球，編號

2、分別為0,1,2,3,4，從中任取3個球，以X表示取出球的最小號碼，則E(X)＝(　　) A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 解析：選B　易知隨機(jī)變量X的取值為0,1,2，由古典概型的概率計(jì)算公式得P(X＝0)＝＝0.6，P(X＝1)＝＝0.3，P(X＝2)＝＝0.1.所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故選B. 3．(2019·衡水中學(xué)月考)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則E(ξ)＝(　　) A．3 B. C. D．4 解析：選B　由題意知，ξ的所有可能取值為2,3,4，其概率分

3、別為P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.故選B. 4．某學(xué)校為了給運(yùn)動會選拔志愿者，組委會舉辦了一個趣味答題活動．參選的志愿者回答三個問題，其中兩個是判斷題，另一個是有三個選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題，設(shè)ξ為回答正確的題數(shù)，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：選B　由已知得ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 5．(2019·天津一中月考)甲、乙兩人進(jìn)行乒

4、乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)ξ的期望E(ξ)為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為2＋2＝. 若該輪結(jié)束時比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響． 所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故選B. 6．(2019·南安一中期中)設(shè)10≤x

5、1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.隨機(jī)變量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量ξ2取值，，，，的概率也為0.2.若記D(ξ1)，D(ξ2)分別為ξ1，ξ2的方差，則(　　) A．D(ξ1)＞D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)＜D(ξ2) D．D(ξ1)與D(ξ2)的大小關(guān)系與x1，x2，x3，x4的取值有關(guān) 解析：選A　由題意可知E(ξ1)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)， E(ξ2)＝＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，都設(shè)為m， ∴D(ξ1)＝[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]， D(ξ2)＝， ∵1

6、0≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105， ∴D(ξ1)＞D(ξ2)．故選A. 7．(2019·湖南名校聯(lián)考)體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　根據(jù)題意，發(fā)球次數(shù)為1即第一次發(fā)球成功，故P(X＝1)＝p，發(fā)球次數(shù)為2即第一次發(fā)球失敗，第二次發(fā)球成功，故P(X＝2)＝p(1－p)， 發(fā)球次數(shù)為3即第一次、第二次發(fā)球失敗，故P(X＝3)＝(1－p)2，則E(X)

7、＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3， 依題意有E(X)＞1.75，則p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜， 結(jié)合p的實(shí)際意義，可得0＜p＜，即p∈，故選C. 8．(2018·浙江高考)設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，(　　) A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小 解析：選D　由題意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋， D(ξ)＝2×＋2×＋2× ＝2×＋2×＋2× ＝－p2＋p＋＝－2＋， ∴D(ξ)在上遞增，在上遞

8、減，即當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，D(ξ)先增大后減?。? 9．(2019·鄂南高中期中)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X－3|＝1)＝________. 解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案： 10．為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以

9、上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時． (1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ)． 解：(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，兩人都付0元的概率為P1＝×＝， 兩人都付40元的概率為P2＝×＝， 兩人都付80元的概率為 P3＝×＝×＝， 故兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則： P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×

10、＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝. ξ的分布列為： ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 11．(2019·大連期中)某工廠為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的單價(jià)進(jìn)行試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示. 試銷單價(jià)x/元 4 5 6 7 a 9

11、 產(chǎn)品銷量y/件 b 84 83 80 75 68 已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且i＝39，i＝480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得其回歸方程分別為：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的． (1)試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確，并求出a，b的值； (2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，i)中的i與檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi差的絕對值不超過1，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故

12、甲的計(jì)算結(jié)果不對，由題意得，＝＝6.5，＝＝80， 將＝6.5，＝80分別代入乙、丙的回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知乙的計(jì)算結(jié)果正確， 故回歸方程為y＝－4x＋106. 由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8， 由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90. (2)列出估計(jì)數(shù)據(jù)(xi，yi)與檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)如表. x 4 5 6 7 8 9 y 90 84 83 80 75 68 90 86 82 78 74 70 易知有3個“理想數(shù)據(jù)”，故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(

13、ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 12．甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元．假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10

14、5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 (1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率． (2)若將頻率視為概率，回答下列兩個問題： ①記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)； ②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由． 解：(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M， 則P(M＝＝. (2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a， 當(dāng)

15、a＝38時，X＝38×6＝228， 當(dāng)a＝39時，X＝39×6＝234， 當(dāng)a＝40時，X＝40×6＝240， 當(dāng)a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247， 當(dāng)a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254. 所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254. 故X的分布列為： X 228 234 240 247 254 P 所以E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8. ②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 所以甲公司送餐員的日平均工資為80＋4×39.7＝238.8元． 由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元． 因?yàn)?38.8＜241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘.