（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 第六節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 第六節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布講義（含解析） 1．條件概率 定義 設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 性質(zhì) ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2.事件的相互獨(dú)立性 定義 設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立 性質(zhì) ①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)； ②如果事

2、件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)條件概率一定不等于它的非條件概率．(　　) (2)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (3)相互獨(dú)立事件就是互斥事件．(　　) (4)在條件概率中，一定有P(AB)＝P(B|A)P(A)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、填空題 1．將一個(gè)大正方形平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)投擲一點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，

3、則P(A|B)＝________. 答案： 2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A＝{第一枚為正面向上}，B＝{第二枚為正面向上}，則事件C＝{兩枚向上的面為一正一反}的概率為________． 答案： 3．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________． 答案：0.72 考法一　條件概率　 [例1]　(1)(2019·武漢調(diào)研)小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)＝(　　) A.　　　　　　　

4、　　　　 B. C. D. (2)(2019·信豐聯(lián)考)已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　(1)小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4×3×3×3＝108種情況， 即n(B)＝108,4個(gè)人去的景點(diǎn)不同的情況有A＝4×3×2×1＝24種，即n(AB)＝24， ∴P(A|B)＝＝＝. (2)設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”， 則P(A)

5、＝，P(AB)＝×＝. 則所求概率為P(B|A)＝＝＝. [答案]　(1)A　(2)D [方法技巧]　　　條件概率的3種求法 定義法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝ 縮樣法 縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn) 考法二　事件的相互獨(dú)立性　 [例2]　(2019·洛陽模擬)在某中學(xué)籃球體育測(cè)試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項(xiàng)測(cè)試，“立定投籃”

6、與“三步上籃”各有2次投籃機(jī)會(huì)，先進(jìn)行“立定投籃”測(cè)試，如果合格才有機(jī)會(huì)進(jìn)行“三步上籃”測(cè)試，為了節(jié)約時(shí)間，每項(xiàng)只需且必須投中一次即為合格．小明同學(xué)“立定投籃”的命中率為，“三步上籃”的命中率為，假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機(jī)會(huì)且每次投籃是否命中互不影響． (1)求小明同學(xué)一次測(cè)試合格的概率； (2)設(shè)測(cè)試過程中小明投籃的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列． [解]　(1)設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai，第i次“三步上籃”命中為事件Bi(i＝1,2)，依題意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1,2)，“小明同學(xué)一次測(cè)試合格”為事件C. (1)P()＝P(1 2)＋P(1 A2 1 2)＋P(

7、A11 2) ＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2) ＝2＋××2＋×2＝. ∴P(C)＝1－＝. (2)依題意知ξ＝2,3,4， P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12) ＝P(A1)P(B1)＋P(1)P(2)＝， P(ξ＝3)＝P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(A112) ＝P(A1)P(1)P(B2)＋P(1)P(A2)P(B1)＋P(A1)·P(1)P(2)＝， P(ξ＝4)＝P(1A21)＝P(1)P(A2)P(1)＝. 故投籃的次數(shù)ξ的分布列為： ξ 2 3 4 P 相

8、互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的2種求法 (1)直接法：利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式． (2)間接法：從對(duì)立事件入手計(jì)算．　　　　 1.已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　設(shè)“從1號(hào)箱取到紅球”為事件A，“從2號(hào)箱取到紅球”為事件B.由題意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以兩次都取到紅球的概率為. 2.為向國際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，某市今年新建三大

9、類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程．現(xiàn)有3名民工相互獨(dú)立地從這60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)，則這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　記第i名民工選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由題意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互獨(dú)立，則P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝. 3.為備戰(zhàn)2018年瑞典乒乓球世界錦標(biāo)賽，乒乓球

10、隊(duì)舉行公開選拔賽，甲、乙、丙三名選手入圍最終單打比賽名單．現(xiàn)甲、乙、丙三人進(jìn)行隊(duì)內(nèi)單打?qū)贡荣悾績(jī)扇吮荣愐粓?chǎng)，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，丙勝甲的概率為，乙勝丙的概率為p，且各場(chǎng)比賽結(jié)果互不影響．若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為. (1)求p的值； (2)設(shè)在該次對(duì)抗比賽中，丙得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由已知，甲獲第一名且乙獲第三名的概率為.即甲勝乙、甲勝丙且丙勝乙的概率為，∴××(1－p)＝，∴p＝. (2)依題意，丙得分X的所有取值為0,3,6. ∵丙勝甲的概率為，丙勝乙的概率為， ∴P(X＝0)＝×＝， P

11、(X＝3)＝×＋×＝， P(X＝6)＝×＝， ∴X的分布列為 P 0 3 6 X ∴E(X)＝0×＋3×＋6×＝. 突破點(diǎn)二　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2．二項(xiàng)分布 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為

12、P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)小王通過英語聽力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰好第3次測(cè)試獲得通過的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　) (2)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于(a＋b)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　) (3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、填空題 1．設(shè)隨

13、機(jī)變量X～B，則P(X＝3)等于________． 答案： 2．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是________． 答案： 3．若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值為________． 答案：3×2－10 考法一　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率　 [例1]　(1)如果生男孩和生女孩的概率相等，則有3個(gè)小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為(　　) A. B. C. D. (2)投擲一枚圖釘，設(shè)釘尖向上的概率為p，連續(xù)擲一枚圖釘3

14、次，若出現(xiàn)2次釘尖向上的概率小于3次釘尖向上的概率，則p的取值范圍為________． [解析]　(1)設(shè)女孩個(gè)數(shù)為X，女孩多于男孩的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ C2×＋C3＝3×＋＝.故選B. (2)設(shè)P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“連續(xù)投擲一枚圖釘，出現(xiàn)k次釘尖向上”的概率，由題意得P(B2)＜P(B3)，即Cp2(1－p)＜Cp3.∴3p2(1－p)＜p3.由于0＜p＜1，∴＜p＜1. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次可看作是C個(gè)互斥事件的和，其中每一個(gè)事件

15、都可看作是k個(gè)A事件與n－k個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1－p)n－k.　　 考法二　二項(xiàng)分布的應(yīng)用　 [例2]　(2019·順德一模)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列． (1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)； (2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價(jià)格為4

16、元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位) (3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值． [解]　(1)∵前四組頻數(shù)成等差數(shù)列， ∴所對(duì)應(yīng)的也成等差數(shù)列， 設(shè)a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻率為0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100＝25. (2

17、)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7＜0.8， ∴為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米． 應(yīng)規(guī)定w＝2.5＋×0.5≈2.83. (3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量， 可知P(A≤2.5)＝0.7， 由題意，X～B(3,0.7)， P(X＝0)＝C×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189， P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343

18、 ∴E(X)＝np＝2.1. [方法技巧] 某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的特點(diǎn) (1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同． (2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的． (3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生．　　 1.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：選A　由P＝1－n≥，解得n≥4，即n的最小值為4. 2.若同時(shí)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少有5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在3次試驗(yàn)中至少有1次成功的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B.

19、 C. D. 解析：選C　一次試驗(yàn)中，至少有5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)的概率為1－×＝1－＝，設(shè)X為3次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，所以X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×0×3＝，故選C. 3.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示． 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)

20、”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X～B(3,0.6)，X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.

21、 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 E(X)＝3×0.6＝1.8. 突破點(diǎn)三　正態(tài)分布 1．正態(tài)曲線及性質(zhì) (1)正態(tài)曲線的定義 函數(shù)φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線． (2)正態(tài)曲線的特點(diǎn) ①曲線位于x軸上方與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱； ③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值； ④曲線與x軸之間的面積為1； ⑤當(dāng)σ一定時(shí)， 曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移； ⑥當(dāng)μ一定時(shí)，

22、曲線的形狀由σ確定： 2．正態(tài)分布 定義 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，隨機(jī)變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2) 三個(gè)常用數(shù)據(jù) ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)當(dāng)x無窮大時(shí)，正態(tài)曲線可以與x軸相交．(　　) (2)正態(tài)曲線與x軸之間的面積大小不確定．(　　) (3)X服從正態(tài)分布，通常用X～N(μ，σ2)表示，其中參數(shù)μ和σ2分別

23、表示X的均值和方差．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、填空題 1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝·e－，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是________． 答案：10　2 2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.設(shè)ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，則σ＝________. 答案：2 3．(2019·廣州模擬)按照國家規(guī)定，某種大米每袋質(zhì)量(單位：kg)必須服從正態(tài)分布ξ～N(10，σ2)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知P(9

24、.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有2 000名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9 kg以下的職工人數(shù)大約為________． 解析：∵每袋大米質(zhì)量服從正態(tài)分布ξ～N(10，σ2)，∴P(ξ＜9.9)＝[1－P(9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9 kg以下的職工人數(shù)大約為2 000×0.02＝40. 答案：40 [典例]　(2019·石家莊模擬)“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2019年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖

25、如下： (1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率； ②將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為σ＝≈11.95； 若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9

26、54 4. [解]　(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)①∵Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P(14.55＜Z＜38.45)＝P(26.5－11.95＜Z＜26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率是0.682 6. ②根據(jù)題意得X～B，P(X＝0)＝C4＝； P(X＝1)＝C4＝；P(X＝2)＝C4＝； P(X＝3)＝C4＝；P(X＝4)＝C4＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3

27、 4 P ∴E(X)＝4×＝2. [方法技巧] 求正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的關(guān)鍵點(diǎn) (1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1. ①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等． ②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．　　 [針對(duì)訓(xùn)練] 1．(2019·正陽模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，則P(2＜X＜4)＝(　　) A．0.682

28、 6　　　　　　　　 　B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 解析：選A　∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線x＝3，∵P(X≥4)＝0.158 7，∴P(2＜X＜4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故選A. 2．(2018·湘潭二模)某校高三年級(jí)有1 000人，某次數(shù)學(xué)考試不同成績(jī)段的人數(shù)ξ～N(127,72)． (1)求該校此次數(shù)學(xué)考試平均成績(jī)； (2)計(jì)算得分超過141的人數(shù)； (3)甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)考試進(jìn)入年級(jí)前100名的概率是，若本學(xué)期有4次考試，X表示進(jìn)入前100名的次數(shù)，寫出X的分布列，并求期

29、望與方差． (注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.44%) 解：(1)由不同成績(jī)段的人數(shù)ξ服從正態(tài)分布N(127,72)，可知平均成績(jī)?yōu)棣蹋?27. (2)P(ξ＞141)＝P(ξ＞127＋2×7)＝×[1－P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]＝0.022 8， 故得分超過141分的人數(shù)為1 000×0.022 8≈23. (3)由題意知X～B， 故X的所有可能取值為0,1,2,3,4， P(X＝0)＝4＝， P(X＝1)＝C13＝， P(X＝2)＝C22＝， P(X＝3)＝C31＝， P(X＝4)＝4＝， 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 期望E(X)＝np＝4×＝1， 方差D(X)＝np(1－p)＝4××＝.