（全國版）2019版高考數學一輪復習 第4章 平面向量 第2講 平面向量的基本定理及坐標表示學案

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1、 第2講　平面向量的基本定理及坐標表示 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，稱e1，e2為基底．若e1，e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底；若e1，e2分別為與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量，則稱單位正交基底． 考點2　平面向量的坐標表示 在直角坐標系內，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對任一向量a，有唯一一對實數x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐標，記作a＝(

2、x，y)，顯然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 考點3　平面向量的坐標運算 1．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. 2．設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 考點4　平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?x1y2－x2y1＝0； (2)若a≠0，則與a平行的單位向量為±. [必會結論] 1．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.

3、 2．已知＝λ＋μ(λ，μ為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.以上三個條件任取兩兩組合，都可以得出第三個條件且λ＋μ＝1常被當作隱含條件運用． 3．平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底．(　　) (2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為60°.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成

4、＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[2018·鄭州一模]設向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，則實數x的值是(　　) A．0 B．±2 C．2 D．－2 答案　D 解析　由題意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2.故選D. 3．[課本改編]已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點B的坐標為(　　) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 答案　D 解析　設點B的坐標為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)．由＝3a，得解得故選D. 4．[

5、2017·山東高考]已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，則λ＝________. 答案?。? 解析　∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3. 5．[2015·江蘇高考]已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 答案　－3 解析　∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　平面向量基本定理的應用 例　1　[2018·許昌聯考]在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分

6、別為a，b，則＝(　　) A.a－b B.a＋b C．－a＋b D．－a－b 答案　B 解析　如圖，設＝λ， ＝μ. 而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ， ＝μ＝μ. 因此，μ＝－b＋λ. 由于a，b不共線，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝. 故＝λ＝λ＝a＋b.故選B. 觸類旁通 應用平面向量基本定理表示向量的方法 應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數乘運算，基本方法有兩種： (1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止； (2)將向量用含參數的基底表示，然后列方程或

7、方程組，利用基底表示向量的唯一性求解． 【變式訓練1】　如圖，已知?ABCD的邊BC，CD的中點分別是K，L，且＝e1，＝e2，試用e1，e2表示，. 解　設＝x，＝y(tǒng)，則＝x，＝－y. 由＋＝，＋＝，得 ①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，∴＝－e1＋e2. 同理可得y＝(－2e1＋e2)，即 ＝－e1＋e2. 考向　平面向量的坐標表示 例　2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的

8、實數m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設O為坐標原點，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． 觸類旁通 平面向量坐標運算的技巧 (

9、1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標． (2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應用． 【變式訓練2】　[2018·山東日照一中月考]在△ABC中，點P在BC上，點Q是AC的中點，且＝2.若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　) A．(－6,21) B．(－2,7) C．(6，－21) D．(2，－7) 答案　A 解析　由題知，－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)． 又因為點Q是AC的中點，所以＝. 所以＝＋＝(1,5

10、)＋(－3,2)＝(－2,7)． 因為＝2，所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．故選A. 考向　平面向量共線的坐標表示 例　3　[2018·正定檢測]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值． 解　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(

11、8,3)． ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點共線，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. 觸類旁通 利用兩向量共線解題的技巧 (1)一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (2)如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． 【變式訓練3】　平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝

12、mb＋nc的實數m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k； (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標． 解　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， ∴解得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (3)設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標為(3，－1)或(5,3)． 核心規(guī)律 1.平面向量基本定理的本質是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量

13、進行分解． 2.向量的坐標表示的本質是向量的代數表示，其中坐標運算法則是運算的關鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉化為代數問題處理，從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關問題． 3.在向量的運算中要注意待定系數法、方程思想和數形結合思想的運用． 滿分策略 1.要區(qū)分點的坐標和向量的坐標，向量坐標中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況． 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0. 3.使用平面向量基本定理時一定要注意兩個基向量不共線. 板塊

14、三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列4——坐標法求向量中的最值問題 [2017·全國卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解題視點　建立平面直角坐標系，求出A，B，C，D的坐標，用三角函數表示出點P的坐標，最后轉化為三角函數的最值問題． 解析　分別以CB，CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系，則A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)． ∵點P在以C為圓心且與BD相切的圓上， ∴可設P. 則＝(0，－1)，＝(－2,0)， ＝. 又＝λ＋μ， ∴λ

15、＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1， ∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)， 其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3. 答案　A 答題啟示　本題首先通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，然后用三角函數的知識求出λ＋μ的最大值.引入向量的坐標運算使得本題比較容易解決，體現了解析法(坐標法)解決問題的優(yōu)勢，凸顯出了向量的代數特征，為用代數的方法研究向量問題奠定了基礎. 跟蹤訓練 [2018·湖南模擬]給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 解　以O為坐標原點，所在

16、的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示， 則A(1,0)，B. 設∠AOC＝α，則C(cosα，sinα)， 由＝x＋y，得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα， 所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin， 又α∈，所以當α＝時，x＋y取得最大值2. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·東北三校聯考]已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，則P點的坐標為(　　) A．(－8,1) B. C. D．(8，－1) 答案　B 解析　設P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)． 而＝(－8,1)＝， ∴解得 ∴P.故選B.

17、 2．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，則3a＋2b＝(　　) A．(7,2) B．(7，－14) C．(7，－4) D．(7，－8) 答案　B 解析　∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．故選B. 3．若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，＝(3,5)，＝(2,4)，則＝(　　) A．(－1，－1) B．(5,9) C．(1,1) D．(3,5) 答案　A 解析　由題意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．故選A. 4．[2018·福建模

18、擬]在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案　B 解析　若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，則e1∥e2，故a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因為≠，所以e1，e2不共線，根據平面向量基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出來，C，D選項中e1，e2都為共線向量，故a不能由e1，e2表示．故選B. 5．[2018·廣西模擬]若向量a＝(1,1)，

19、b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝(　　) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 答案　B 解析　設c＝λ1a＋λ2b，則(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b.故選B. 6．已知O為坐標原點，且點A(1，)，則與同向的單位向量的坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　與同向的單位向量a＝，又||＝ ＝2，故a＝(1，)＝.故選A. 7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C

20、三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是(　　) A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 答案　C 解析　若點A，B，C不能構成三角形， 則向量，共線， ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故選C. 8．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數a的值為________． 答案?。? 解析?。?a－1,3)，＝(－3,4)，據題意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 9．[2018·延安模擬]已

21、知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________． 答案　(2,4) 解析　因為在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2. 設點D的坐標為(x，y)， 則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， 所以解得故點D的坐標為(2,4)． 10．向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 答案　4 解析　以向

22、量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)， 則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， ∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3. 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4. [B級　知能提升] 1．[2018·廣東七校聯考]已知向量i，j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點共線，則實數m，n應滿足的條件是(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 答案　

23、C 解析　因為A，B，D三點共線，所以∥，存在非零實數λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因為i與j不共線，所以則mn＝1.故選C. 2．[2018·棗莊模擬]在平面直角坐標系中，O為坐標原點，且滿足＝＋，則的值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得，3＝2＋，即－＝2(－)， 即＝2，如圖所示， 故C為BA的靠近A點的三等分點，因而＝.選B. 3.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 答案　 解析　選擇，作為平面向量

24、的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋， 于是得即故λ＋μ＝. 4．[2018·杭州測試]如圖，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 解　∵＝－＝a－b，＝＝a－b， ∴＝＋＝a＋b.∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 5.[2018·衡水中學調研]如圖，已知平面內有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 解　解法一：如圖，作平行四邊形OB1CA1，則＝＋，因為與的夾角為120°，與的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2， 所以|OB1|＝2，|B1C|＝4， 所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則 A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ， 得解得所以λ＋μ＝6. 15