（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第三節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第三節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)講義（含解析） 直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行) l∥a，a?α，l?α?l∥α 性質(zhì)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行) l∥α，l?β， α∩β＝b?l∥b 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平

2、行．(　　) (2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．(　　) (3)空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則EF∥平面BCD.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、填空題 1．若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是________________． 答案：平行、相交或異面 2．若直線a∩直線b＝A，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是____________________． 解析：因為a∥α，∴a與平面α沒有公共點，若b?α，則A∈α， 又A∈a，此種情況不可能．∴b∥α或b與α相交． 答案：b∥α或b與

3、α相交 3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________． 答案：平行 考法一　線面平行的判定　 [例1]　如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點．求證：PQ∥平面ABCD. [證明]　法一：如圖，取AE的中點G，連接PG，QG. 在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA， 又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD， 所以PG∥平面ABCD. 在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD， 又GQ?平面

4、ABCD，AD?平面ABCD， 所以GQ∥平面ABCD. 因為PG∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG， 所以平面PQG∥平面ABCD. 又PQ?平面PQG，所以PQ∥平面ABCD. 法二：如圖，連接EQ并延長，與AD的延長線交于點H，連接BH. 因為EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ， 又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH， 所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH. 在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH. 又PQ?平面ABCD，BH?平面ABCD， 所以PQ∥平面ABCD. 考法二　線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用　 [例2]　如圖所示，四邊形ABC

5、D是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH. 求證：AP∥GH. [證明]　如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點， 又M是PC的中點，∴AP∥MO. 又MO?平面BMD，AP?平面BMD， ∴AP∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且AP?平面PAHG， ∴AP∥GH. 線面平行問題的解題關(guān)鍵 (1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性

6、質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行． (2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線． 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點．證明：C1F∥平面ABE. 證明：取AC的中點M，連接C1M，F(xiàn)M， 在△ABC中，F(xiàn)M∥AB， 而FM?平面ABE，AB?平面ABE， ∴FM∥平面ABE， 在矩形ACC1A1中，E，M都是中點， ∴C1M∥AE， 而C1M?平面ABE，AE?平面ABE， ∴C1M∥平面ABE， ∵C1M∩FM＝M，

7、 ∴平面ABE∥平面FMC1， 又C1F?平面FMC1， 故C1F∥平面ABE. 2.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG. 證明：FG∥平面AA1B1B. 證明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D， 所以CC1∥平面BB1D. 又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG， 所以CC1∥FG. 因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG. 而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B， 所以FG∥平面AA1

8、B1B. 突破點二　平面與平面平行的判定與性質(zhì) 平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行) a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　) (2)若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平

9、面平行．(　　) (3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　　) (4)若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、填空題 1．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件： ①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ. 其中能推出α∥β的條件是________．(填上所有正確的序號) 答案：② 2．已知平面α∥β，直線a?α，有下列命題： ①a與β內(nèi)的所有直線平行； ②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行； ③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直． 其

10、中真命題的序號是________． 解析：由面面平行和線面平行的性質(zhì)可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯誤；②正確；平面β內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故③錯誤． 答案：② 3.如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________. 解析：∵α∥β，∴CD∥AB，則＝， ∴AB＝＝＝. 答案： [典例]　如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3. 證明：平面ABF∥平面DCE. [證明]　法一：應(yīng)用面面平行的判定定理證明

11、因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD， 所以DE∥AF，因為AF?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE， 因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD，因為AB?平面DCE，所以AB∥平面DCE， 因為AB∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE. 法二：利用兩個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明 因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD， 所以DE∥AF， 因為四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD. 又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D， 所以平面ABF∥平面DCE. 法三：利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明 因為D

12、E⊥平面ABCD， 所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC， 又DE∩DC＝D， 所以AD⊥平面DEC. 同理AD⊥平面ABF. 所以平面ABF∥平面DCE. [方法技巧] 判定面面平行的4種方法 (1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)． (4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用)．　　 [針對訓(xùn)練] 1．(2019·南昌模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝

13、60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點． (1)求證：平面CMN∥平面PAB； (2)求三棱錐P-ABM的體積． 解：(1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點， ∴MN∥PA. ∵M(jìn)N?平面PAB，PA?平面PAB， ∴MN∥平面PAB. 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°. 又∠BAC＝60°，∴CN∥AB. ∵CN?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CN∥平面PAB. 又CN∩MN＝N， ∴平面CMN∥平面PAB. (2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB， ∴點M到平面PAB的距離等于點

14、C到平面PAB的距離． 由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°， ∴BC＝， ∴三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝××1××2＝. 2．(2019·西安調(diào)研)如圖，在多面體ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)A∥DE，且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2. (1)若M為線段EF的中點，求證：CM∥平面ABF； (2)求多面體ABCDEF的體積． 解：(1)證明：取AD的中點N，連接CN，MN， ∵AD∥BC且AD＝2BC， ∴AN∥BC且AN＝BC， ∴四邊形ABCN為平行四邊形， ∴CN∥AB. ∵M(jìn)是EF的中點，∴MN∥AF. 又CN∩MN＝N，AB∩AF＝A， ∴平面CMN∥平面ABF. 又CM?平面CMN，∴CM∥平面ABF. (2)∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AB. 又AB⊥AD，且FA∩AD＝A， ∴AB⊥平面ADEF，即CN⊥平面ADEF. 連接AC，則多面體ABCDEF的體積VABCDEF＝VF-ABC＋VC-ADEF＝××2×1×2＋××(1＋2)×2×2＝.