（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 第三節(jié) 隨機(jī)事件的概率講義（含解析）

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1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 第三節(jié) 隨機(jī)事件的概率講義（含解析） 1．事件的分類 2．頻率和概率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率． 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)“下周六會(huì)下雨”是隨機(jī)事件．(　　) (2)事件發(fā)

2、生的頻率與概率是相同的．(　　) (3)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(　　) (4)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、填空題 1．在投擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，共投擲了100次，“正面朝上”的頻數(shù)為51，則“正面朝上”的頻率為_(kāi)_______． 答案：0.51 2．某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶．假設(shè)此人射擊1次，則其中靶的概率約為_(kāi)_______；中10環(huán)的概率約為_(kāi)_______． 答案：0.9　0.2 3．給出下列三個(gè)說(shuō)法，其中正確的有________

3、個(gè)． ①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品； ②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是； ③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率． 解析：①錯(cuò)，不一定是10件次品；②錯(cuò)，是頻率而非概率；③錯(cuò)，頻率不等于概率，這是兩個(gè)不同的概念． 答案：0 [典例]　(2018·北京高考)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.

4、25 0.2 0.1 好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． (1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率； (2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率； (3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論) [解]　(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2

5、000， 獲得好評(píng)的第四類電影的部數(shù)是200×0.25＝50， 故所求概率為＝0.025. (2)由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372， 故所求概率估計(jì)為1－＝0.814. (3)增加第五類電影的好評(píng)率，減少第二類電影的好評(píng)率． 1．計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件頻率或概率的解題思路 (1)計(jì)算所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)． (2)由頻率公式得所求，由頻率估計(jì)概率． 2．求解以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)事件的頻率或概率問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn) 求解該

6、類問(wèn)題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計(jì)算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)．　　　　 [針對(duì)訓(xùn)練] 1．從某校高二年級(jí)的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取20人，測(cè)得他們的身高(單位：cm)分別為： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175. 根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布的原理，在該校高二年級(jí)的所有學(xué)生中任抽一人，估計(jì)該生的身高在155.5～170.5 cm 之間的概率約為(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選A　從已知數(shù)據(jù)可

7、以看出，在隨機(jī)抽取的這20位學(xué)生中，身高在155.5～170.5 cm之間的學(xué)生有8人，頻率為，故可估計(jì)在該校高二年級(jí)的所有學(xué)生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之間的概率約為. 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最

8、高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． 解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這

9、種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)， 則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高氣溫低于20， 則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. 突破點(diǎn)二　互斥事件與對(duì)立事件 1．概率的基本性質(zhì)

10、 (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. 不可能事件的概率：P(A)＝0. 2．互斥事件和對(duì)立事件 事件 定義 概率公式 互斥事件 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 對(duì)立事件 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，兩個(gè)試驗(yàn)不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)發(fā)生的事件A和稱為對(duì)立事件 P()＝1－P(A) 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”) (1)若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A

11、)≤1.(　　) (2)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生．(　　) (3)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．(　　) (4)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、填空題 1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是____________． 答案：兩次都不中靶 2．設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為_(kāi)_______事件． 答案：互斥 考法一　事件關(guān)系的判斷　 [例1]　(1)從1,2,3,4,5中有放回地依

12、次取出兩個(gè)數(shù)，則下列各對(duì)事件是互斥而不是對(duì)立事件的是(　　) A．恰有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù) B．恰有1個(gè)是偶數(shù)和至少有1個(gè)是偶數(shù) C．至少有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù) D．至少有1個(gè)是偶數(shù)和全是偶數(shù) (2)已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)E表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”，F(xiàn)表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品”，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．F與G互斥 B．E與G互斥但不對(duì)立 C．E，F(xiàn)，G任意兩個(gè)事件均互斥 D．E與G對(duì)立 [解析]　(1)從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，共有三種情況：A＝{兩個(gè)奇數(shù)

13、}，B＝{一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)}，C＝{兩個(gè)偶數(shù)}，且兩兩互斥， A：是互斥事件；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥．故選A. (2)由題意得事件E與事件F不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件；事件E與事件G不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件；當(dāng)事件F發(fā)生時(shí)，事件G一定發(fā)生，所以事件F與事件G不是互斥事件，故A、C錯(cuò)．事件E與事件G中必有一個(gè)發(fā)生，所以事件E與事件G對(duì)立，所以B錯(cuò)誤，D正確． [答案]　(1)A　(2)D [方法技巧]　判斷互斥、對(duì)立事件的2種方法 定義法 判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事

14、件一定是互斥事件 集合法 ①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥． ②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集 考法二　互斥事件、對(duì)立事件的概率　 [例2]　某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%. 一次購(gòu)物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)/人 x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間/ (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5

15、3 (1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值； (2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率．(將頻率視為概率) [解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20. 該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體， 所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)， 其估計(jì)值為＝1.9分鐘． (2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)

16、間為1.5分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”，將頻率視為概率得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝. 因?yàn)锳＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為. [方法技巧]　　求復(fù)雜互斥事件概率的2種方法 直接法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和 間接法 先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問(wèn)題時(shí)，多考慮間接法 1.如果事件A與B是互斥事件，則(

17、　　) A．A∪B是必然事件 B.與一定是互斥事件 C.與一定不是互斥事件 D.∪是必然事件 解析：選D　事件A與B互斥即A∩B為不可能事件，所以∪＝∩是必然事件，故選項(xiàng)D正確；在拋擲骰子試驗(yàn)中，A表示向上的數(shù)字為1，B表示向上的數(shù)字為2，A∪B不是必然事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；與不一定是互斥事件，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；A表示向上的數(shù)字為奇數(shù)，B表示向上的數(shù)字為偶數(shù)，與是互斥事件，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選D. 2.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A．0.3　　　　　　　　 　B．0.4 C

18、．0.6 D．0.7 解析：選B　由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1－0.45－0.15＝0.4.故選B. 3.某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)． 據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5. 已知近20年X的值為 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表 降雨量 70 110 140 160 20

19、0 220 頻率 (2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率． 解：(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)由已知可得Y＝＋425， 故P(“發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530萬(wàn)千瓦時(shí)”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) ＝＋＋＝.