（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第四節(jié) 數(shù)列求和講義（含解析）

《（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第四節(jié) 數(shù)列求和講義（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第四節(jié) 數(shù)列求和講義（含解析）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（新課改省份專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第四節(jié) 數(shù)列求和講義（含解析） 若數(shù)列的通項為分段函數(shù)或幾個特殊數(shù)列通項的和或差的組合等形式，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，就是對原數(shù)列的通項進(jìn)行分解，分別對每個新的數(shù)列進(jìn)行求和后再相加減． [典例]　(2019·吉林調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝8，{bn}是等差數(shù)列，b1＝3，b4＝12. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a4＝a1q3得8＝1×q3，所以q＝2，所以an＝2n－1. 設(shè){bn}

2、的公差為d，由b4＝b1＋3d得12＝3＋3d，所以d＝3，所以bn＝3n. (2)因為數(shù)列{an}的前n項和為＝＝2n－1，數(shù)列{bn}的前n項和為b1n＋d＝3n＋×3＝n2＋n， 所以Sn＝2n－1＋n2＋n. [方法技巧] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 [提醒]　某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．　　 [針對訓(xùn)練] (2018·焦作四模)已知{an}為等差數(shù)列，且a2＝3，{an}前4項的和為16，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝88，且數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}和

3、{bn－an}的通項公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)設(shè){an}的公差為d，因為a2＝3，{an}前4項的和為16， 所以解得 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 設(shè){bn－an}的公比為q， 則b4－a4＝(b1－a1)q3， 因為b1＝4，b4＝88， 所以q3＝＝＝27，解得q＝3， 所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n. (2)由(1)得bn＝3n＋2n－1， 所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1) ＝＋＝(3n－1)＋n2 ＝＋n2－. 題型二　錯位相減法求和 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差

4、數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的. [典例]　(2019·南昌模擬)已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)∵＋＋＋…＋＝n2＋n， ∴當(dāng)n≥2時，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1， 兩式相減得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)． 又∵當(dāng)n＝1時，＝1＋1， ∴a1＝4，滿足an＝n·2n＋1.∴an＝n·2n＋1. (2)∵bn＝＝n(－2)n， ∴Sn＝1×(－2)1＋

5、2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n. －2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1， ∴兩式相減得3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－， ∴Sn＝－. [方法技巧] 錯位相減法求和的策略 (1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對

6、齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式． (3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．　　 [針對訓(xùn)練] 1．?dāng)?shù)列，，，，…的前10項之和為________． 解析：因為S10＝＋＋＋…＋，① 所以S10＝＋＋…＋＋. ② ①－②得S10＝＋－＝＋－ ＝－－＝， 所以S10＝＝. 答案： 2．(2019·臨川一中質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，其前6項和為36，等比數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝2－(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.

7、 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得解得 所以an＝2n－1(n∈N*)． 對于數(shù)列{bn}，因為Sn＝2－，所以當(dāng)n＝1時，b1＝S1＝2－1＝1， 當(dāng)n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝－＝， 綜上所述，bn＝(n∈N*)． (2)由(1)得anbn＝， 所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋， ② ①－②得，Tn＝1＋1＋＋＋…＋－＝3－， 所以Tn＝6－＝6－. 題型三　裂項相消法求和 如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負(fù)項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前n項和. [典

8、例]　(2019·湖南十三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－n. (1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝＋，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1， 由n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－n)－(2an－1－n＋1)， 即an＝2an－1＋1， 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，又a1＋1＝2， 所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝2n，an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝＋＝ ＝＝－， 則Tn＝＋＋…＋

9、－ ＝1－. [方法技巧] 1．用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律 (1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止． (2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項． 2．幾種常見的裂項方式 數(shù)列(n為正整數(shù)) 裂項方式 (k為非零常數(shù)) ＝ ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [針對訓(xùn)練] 1．(2019·成都檢測)在遞減的等差數(shù)列{an}中，a1a3＝a－4.若a1＝13，則數(shù)列的前n項和的最大值為(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D．

10、 解析：選D　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d<0，因為a1a3＝a－4，a1＝13，所以13(13＋2d)＝(13＋d)2－4，解得d＝－2或d＝2(舍去)，所以an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n，則＝＝－，所以數(shù)列的前n項和Sn＝－＋－＋…＋－＝－－，易知當(dāng)n＝6時，Sn取得最大值，最大值為×＝，故選D. 2．(2018·濰坊二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，an>0(n∈N*)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中項． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝loga2n－1，數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn. 解：(1)因為S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中項， 所以2(S6＋a6)＝S4＋a4＋S5＋a5， 所以2S6－S4－S5＝a4＋a5－2a6， 化簡得4a6＝a4， 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝＝， 因為an>0，所以q＝， 又a1＝2，所以an＝2·n－1＝n－2. (2)bn＝loga2n－1＝log2n－3＝2n－3， ＝＝－， 則Tn＝－1－1＋1－＋…＋－＝－.