（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：8+6分項(xiàng)練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 文

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1、（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：8+6分項(xiàng)練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 文 1．(2018·貴陽(yáng)模擬)如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　∵在△ABC中，BE是AC邊上的中線， ∴＝， ∵O是BE邊的中點(diǎn)， ∴＝(＋)， ∴＝＋， ∵＝a，＝b， ∴＝a＋b. 2．(2018·上饒模擬)設(shè)D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且BC＝2，則·等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖， ||＝

2、||＝2，〈，〉＝60°， ∵D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ∴·＝·＝· ＝||2＋·＋||2 ＝×4＋×2×2×＋×4＝. 3．(2018·昆明模擬)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言．務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 答案　D 解析　根據(jù)題意可得每個(gè)孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}

3、，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 4．八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA＝1，則給出下列結(jié)論： ①·＝0；②·＝－； ③＋＝－ ；④|－|＝. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　正八邊形ABCDEFGH中，HD⊥BF， ∴·＝0，故①正確； ·＝1×1×cos＝－，故②正確； ＋＝ ＝－ ，故③正確； |－|

4、＝||＝|－|， 則||2＝1＋1－2×1×1×cos＝2＋， ∴||＝，故④錯(cuò)誤． 綜上，正確的結(jié)論為①②③，故選B. 5．(2018·聊城模擬)在△ABC中，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，則·＋·的最小值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)D在原點(diǎn)處，點(diǎn)A在y軸上，則A(0,2)． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝，＝(－x，－y)， 故·＋·＝·＝2·＝2 ＝2－2≥－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)等號(hào)成立． 所以·＋·的最小值為－2. 6．(2018·石家

5、莊模擬)三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了一副“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明，如圖所示“勾股圓方圖”中由四個(gè)全等的直角三角形(直角邊長(zhǎng)之比為1∶)圍成的一個(gè)大正方形，中間部分是一個(gè)小正方形，如果在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自中間的小正方形部分的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ 答案　C 解析　由題意可知，設(shè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為k，k(k>0)， 則大正方形的邊長(zhǎng)為2k，小正方形的邊長(zhǎng)為(－1)k， 所以大正方形的面積為4k2，小正方形的面積為(－1)2k2， 故所求概率為＝1－. 7．(2018·南平質(zhì)檢)我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)

6、著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算機(jī)》等10部算書，被稱為“算經(jīng)十書”．某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對(duì)古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣．一天，他們根據(jù)最近對(duì)這十部書的閱讀本數(shù)情況說(shuō)了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他們說(shuō)的這些話中，只有一個(gè)人說(shuō)的是真實(shí)的，而這個(gè)人正是他們四個(gè)人中讀書本數(shù)最少的一個(gè)(他們四個(gè)人對(duì)這十部書閱讀本數(shù)各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是(　　) A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙

7、 C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁 答案　D 解析　由題意可列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲說(shuō) 丁>乙 乙說(shuō) 甲>丙 丙說(shuō) 丙>丁 丁說(shuō) 丙>乙 對(duì)于選項(xiàng)A，甲，丁說(shuō)的都對(duì)，不符合只有一個(gè)人對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，丙，丁說(shuō)的都對(duì)，也不符合只有一個(gè)人對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，乙說(shuō)的對(duì)，但乙不是最少的，不符合；對(duì)于選項(xiàng)D，甲說(shuō)的對(duì)，也正好是最少的，符合，選D. 8．(2018·河北省衡水中學(xué)模擬)已知＝＝2，點(diǎn)C在線段AB上，且的最小值為1，則(t∈R)的最小值為(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　∵

8、＝＝2， ∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上． ∵點(diǎn)C在線段AB上，且的最小值為1， ∴當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)最小，此時(shí)＝1， ∴此時(shí)與的夾角為60°， ∴，的夾角為120°. 又2＝2＋t22－2t· ＝4＋4t2－2t·2·2·cos 120° ＝4t2＋4t＋4 ＝42＋3≥3， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝－時(shí)等號(hào)成立． ∴2的最小值為3， ∴的最小值為. 9．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，則a在a＋b方向上的投影為________． 答案　 解析　由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝＝2， (a－2b)2＝a2＋4b2－4a

9、·b＝64， 則a·b＝－7， 所以a在a＋b方向上的投影為 ＝ ＝＝. 10．(2018·煙臺(tái)模擬)如果＝2，＝3，a·b＝4，則的值是________． 答案　2 解析　由＝2，＝3，a·b＝4， 得＝＝ ＝＝2. 11．(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是，|a|＝1，|b|＝，則向量a－2b與a的夾角為________． 答案　 解析　a·b＝cos ＝， a·(a－2b)＝a2－2a·b＝， |a－2b|＝ ＝＝＝1. 設(shè)向量a－2b與a的夾角為θ，cos θ＝＝， 又因?yàn)棣取蔥0，π]， 所以θ＝. 12．(2018·寧德質(zhì)檢)我國(guó)南

10、北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家張丘建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人，他在《張丘建算經(jīng)》中給出一個(gè)解不定方程的百雞問(wèn)題，問(wèn)題如下：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一．百錢買百雞，問(wèn)雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為：設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x，y，z，則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解．其解題過(guò)程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數(shù)m的值為________． 答案　4 解析　由 得y＝25－x，故x必為4的倍數(shù)， 當(dāng)x＝4t時(shí)，y＝25－7t， 由y＝25－7t>0得，t的最大值為3， 故判斷框應(yīng)填入的是t<4？， 即m＝4. 13．若非零向量a，b滿足|

11、b|＝|a|，若(a＋2b)⊥(3a－tb)，a與b的夾角等于，則實(shí)數(shù)t的值為________． 答案　 解析　由a與b的夾角等于可得 cos＝＝，故a·b＝|a|2. 由(a＋2b)⊥(3a－tb)可得 3a2－ta·b＋6a·b－2tb2＝0， 即3|a|2＋(6－t)|a|2－4t|a|2＝0， 又a為非零向量， 所以|a|2≠0，則有3＋6－t－4t＝0，解得t＝. 14．(2018·咸陽(yáng)模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個(gè)點(diǎn)，且＋＝，則△ABC面積的最大值為________． 答案　1 解析　如圖所示，由＋＝知，四邊形ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D 四點(diǎn)共圓， ∴四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑， △ABC的面積S＝AB·AC≤·＝AD2， ∴當(dāng)AD是圓的直徑時(shí)，△ABC的面積最大． ∴當(dāng)AB＝AC 時(shí)， △ABC的面積取得最大值×4＝1.