九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 命題與證明 第2章綜合 名師教案 湘教版

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 命題與證明 第2章綜合 名師教案 湘教版 ? 【教學(xué)目標(biāo)】 ? 1. 了解命題的概念，知道什么是命題，真命題、假命題、逆命題，能區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論，會(huì)把一個(gè)命題寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式。 ? 2. 了解定義、公理、定理的概念以及公理與定理的區(qū)別，能舉例將所學(xué)過(guò)的定理、公理進(jìn)行說(shuō)明，能較準(zhǔn)確地表達(dá)學(xué)過(guò)的定義、定理等。 ? 3. 了解證明的必要性、公理的方法，綜合證明的格式，理解推理中要步步有據(jù)，會(huì)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證，并完成一個(gè)簡(jiǎn)單命題的證明。 ? 4. 通過(guò)舉反例判定一個(gè)命題是假命題，能掌握用反證法證明的思想方法。 ? 二. 重點(diǎn)、

2、難點(diǎn)： ? 1. 教學(xué)重點(diǎn)： ??? 理解證明的必要性；了解定義、命題的概念并會(huì)判斷真假命題，理解本節(jié)所給出的公理及相關(guān)定理。 ? 2. 教學(xué)難點(diǎn)： ??? 對(duì)證明的邏輯推理過(guò)程要熟練掌握，并能較嚴(yán)密地寫(xiě)出證明過(guò)程。 ? 3. 思想方法： ??? 經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，體會(huì)證明的必要性，發(fā)展學(xué)生初步的演繹推理能力；分析、解決問(wèn)題時(shí)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想、化難為易、轉(zhuǎn)化的方式有代換轉(zhuǎn)化，已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化等。 ? 三. 主要內(nèi)容： （一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 ??? ? （二）基本內(nèi)容 ? 1. 理解推理證明的必要性 ? 2. 定義： ??? 對(duì)一個(gè)概念的

3、特征本質(zhì)的描述，稱為它的定義。 ? 3. 命題： ??? （1）定義：判斷一件事情的句子，叫做命題。 ??? （2）結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。 ??? 命題一般可以寫(xiě)作“如果……，那么……”或“若……，則……”的形式。 ??? （3）分類：命題包括真命題和假命題兩類。 ? 4. 公理、定理、證明： ??? 人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的公認(rèn)的真命題，稱為公理。 ??? 通過(guò)推理論證、判斷其為真命題，稱為定理。 ??? 推理的過(guò)程叫做證明。 ? 5. 命題與逆命題： ??? 兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命

4、題。 ??? 其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。 ??? 任何一個(gè)命題都有其逆命題，但一個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題，所以，不是所有的定理都有其逆定理。 ? 6. 證明的一般步驟： ??? （1）弄清題意，能正確畫(huà)出圖形。 ??? （2）根據(jù)題意和圖形，寫(xiě)出“已知”和“求證”。 ??? （3）條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程。 ??? （4）檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善。 ? 【典型例題】 ? 例1. 請(qǐng)寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷是真命題還是假命題。 ??? （1）直角都相等。 ??? （2）如果兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)之和是正數(shù)。 ??? （3）對(duì)角相等的平行

5、四邊形是矩形。 ??? 分析：寫(xiě)逆命題應(yīng)先弄清命題的條件和結(jié)論。 ?? ?解：（1）相等的角是直角。（假命題） ??? （2）如果兩個(gè)數(shù)之和是正數(shù)，那么兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是正數(shù)。（真命題） ??? （3）矩形是對(duì)角相等的平行四邊形。（假命題） ?? ?說(shuō)明：一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。 ? ? 例2. 有一次四人游泳比賽，比賽前，四名選手A、B、C、D進(jìn)行預(yù)測(cè)性會(huì)談，A說(shuō)：“我肯定得第一名”，B說(shuō)：“我絕對(duì)不會(huì)得最末名”，C說(shuō)：“我不可能是第一名，也不會(huì)得最后一名”，D說(shuō)：“那只有我是最末的！”。經(jīng)過(guò)比賽成績(jī)揭曉，發(fā)現(xiàn)他們之中只有一位預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，請(qǐng)指出是哪一位選手？

6、 ??? 分析：我們先將四人談話內(nèi)容列出表格，再來(lái)討論。 ??? ??? 解：從表中可看出D沒(méi)有估計(jì)錯(cuò)誤。 ??? 如果D預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，那么自然另有一個(gè)選手預(yù)測(cè)錯(cuò)了，否則就不會(huì)出現(xiàn)最末名；如果C預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則他在這次比賽中應(yīng)得第一名或第四名，但在此情況下，第一名和第四名已分別由A和D占據(jù)；如果B預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則他只能是第四名，這里D也成了預(yù)測(cè)者，但按條件，預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的只有一人。 ??? 因此預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的只能是A，他應(yīng)是第二名或第三名。 ??? 這樣，名次可能是： ??? （1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D； ??? （2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。

7、??? 這類題型主要是訓(xùn)練同學(xué)們的邏輯推理能力，讓同學(xué)們看到邏輯推理在解決問(wèn)題的價(jià)值，同時(shí)體驗(yàn)到用邏輯思維方法成功的快樂(lè)。 ? ? 例3. 有一矩形鋼板ABNM，現(xiàn)加工成零件形狀，如圖，按規(guī)定∠ADE、∠BCE應(yīng)分別是45°和55°，檢驗(yàn)工人量得∠DEC＝95°，就非?？隙ǖ嘏卸ㄟ@個(gè)零件不合格，你能說(shuō)明這是為什么嗎？ ?? ?分析：這也是一道訓(xùn)練邏輯思維的題目，零件是否合格、取決于角度之間是否相等。 ??? 即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，則零件合格，否則零件不合格。 ? ??解：過(guò)E作EF∥AD ??? ∴∠ADE＝∠FED ??? 又AM∥BN，∴EF∥BC ???

8、∴∠FEC＝∠ECB ??? ??? 現(xiàn)量得∠DEC＝95° ??? ∴這個(gè)零件不合格 ? ? 例4. 如圖，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足為G，若∠GHE＝125°，求∠FEG的度數(shù)。 ??? 分析：略 ??? 解：∵AB∥CD，∠CHE＝125°（已知） ??? ∴∠AIE＝∠CHE＝120° ??? 又EG⊥AB（已知） ??? ∴∠EGI＝90°（垂直定義） ??? 又∠AIE是△EIG的一個(gè)外角 ??? ∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI ??? ? ? 例5. 證明：順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是

9、矩形。 ??? 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC⊥BD。 ??? 求證：四邊形EFGH是矩形。 ? ??分析：要證四邊形EFGH是矩形，先需證明它是平行四邊形。 ??? 由于E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)。 ??? 由三角形中位線定理易證EFGH是平行四邊形，再根據(jù)AC⊥BD去證明EFGH中有一個(gè)角為直角即可。 ??? 證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（已知） ??? ??? ??? ∴四邊形EFGH是平行四邊形 ??? 又∵AC⊥BD，EF∥AC ??? ∴∠1＝90° ??? 又

10、EH∥BD（三角形中位線定理） ??? ∴∠2＋∠1＝180° ??? 即∠2＝90° ??? ∴四邊形EFGH是矩形 ? ? 例6. 先閱讀第（1）問(wèn)的題目及證明過(guò)程，然后完成（2）問(wèn)的問(wèn)題。 ??? （1）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E為CD中點(diǎn)。 ??? 求證：AE⊥BE ??? 證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F ??? ∵E是CD的中點(diǎn) ??? ∴F是AB的中點(diǎn) ??? ∴EF是梯形ABCD的中位線 ??? ??? ??? ??? ??? ? ??? （2）在第（1）題的證明過(guò)程中，第_________步（填

11、寫(xiě)（1）題中證明步驟中的序號(hào)），我們用到了定理：“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！? ??? 現(xiàn)在請(qǐng)你證明這個(gè)定理（要求寫(xiě)出已知、求證和證明）。 ?? ?解：本題（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！?，證明如下： ??? ??? 求證：△ACB是直角三角形。 ? ??分析：略 ? ??證明：∵CD是AB邊上的中線 ??? ??? ??? ??? ??? ??? 即∠ACB＝90° ??? ∴△ACB是直角三角形 ?? ?說(shuō)明：這類閱讀理解題近年來(lái)越來(lái)越常見(jiàn)，主要考查同學(xué)們閱讀理解和自學(xué)能力，希望同學(xué)們加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。 ?