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1、湖南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練05 閱讀理解與新概念題練習(xí)
05
閱讀理解與新概念題
1.[xx·日照] 定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算:①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),F(n)=3n+1;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),F(n)=其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù),…,兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行.例如,取n=24,則運(yùn)算過(guò)程如圖ZT5-1.
圖ZT5-1
若n=13,則第xx次“F”運(yùn)算的結(jié)果是 ( )
A.1 B.4 C.xx D.4xx
2.[xx·永州] 對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)x,y,滿(mǎn)足:log2(x·y)=log2x+log2y,若log22=1,則log216= .?
3.[x
2、x·遂寧] 請(qǐng)閱讀以下材料:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)滿(mǎn)足下列條件:
①=;=;②a?b=×cosα(角α的取值范圍是0°<α<90°),③a?b=x1x2+y1y2.利用上述所給條件,解答下列問(wèn)題:
已知a=(1,),b=(-,3),求角α的大小.
解:∵===2,
====2,
∴a?b=×cosα=2×2cosα=4cosα.
又∵a?b=x1x2+y1y2=1×(-)+×3=2,
∴4cosα=2.
∴cosα=.
∴α=60°.
∴角α的值為60°.
請(qǐng)仿照以上解答過(guò)程,完成下列問(wèn)題:
已知a=(1,0),b=(1,-1),求角α的大小.
3、
4.[xx·北京] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=(x>0)的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1),直線(xiàn)l:y=x+b與圖象G交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求k的值.
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A,B之間的部分與線(xiàn)段OA,OC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.
①當(dāng)b=-1時(shí),直接寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);
②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn),結(jié)合圖象,求b的取值范圍.
5.[xx·荊州] 探究函數(shù)y=x+(x>0)與y=x+(x>0,a>0)的相關(guān)性質(zhì).
(1)小聰同學(xué)對(duì)函數(shù)y=x+(x>0)進(jìn)行了如下列表、描點(diǎn)(
4、圖ZT5-2),請(qǐng)你幫他完成連線(xiàn)的步驟;觀察圖象可得它的最小值為 ,它的另一條性質(zhì)為 .?
x
…
1
2
3
…
y
…
2
…
圖ZT5-2
(2)請(qǐng)用配方法求函數(shù)y=x+(x>0)的最小值.
(3)猜想函數(shù)y=x+(x>0,a>0)的最小值為 .?
6.[xx·江西] 小賢與小杰在探究某類(lèi)二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),經(jīng)歷了如下過(guò)程:
求解體驗(yàn)
(1)已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),則b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱(chēng)的拋
5、物線(xiàn)的表達(dá)式是 .?
抽象感悟
我們定義:對(duì)于拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0),以y軸上的點(diǎn)M(0,m)為中心,作該拋物線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)y',則我們又稱(chēng)拋物線(xiàn)y'為拋物線(xiàn)y的“衍生拋物線(xiàn)”,點(diǎn)M為“衍生中心”.
(2)已知拋物線(xiàn)y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線(xiàn)為y',若這兩條拋物線(xiàn)有交點(diǎn),求m的取值范圍.
問(wèn)題解決
(3)已知拋物線(xiàn)y=ax2+2ax-b(a≠0).
①若拋物線(xiàn)y的衍生拋物線(xiàn)為y'=bx2-2bx+a2(b≠0),兩條拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a,b的值及衍生中心的坐標(biāo);
②若拋物線(xiàn)y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線(xiàn)
6、為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線(xiàn)為y2,其頂點(diǎn)為A2;…;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線(xiàn)為yn,其頂點(diǎn)為An;…(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(zhǎng)(用含n的式子表示).
圖ZT5-3
7.[xx·北京] 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,N,給出如下定義:P為圖形M上任意一點(diǎn),Q為圖形N上任意一點(diǎn),如果P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值,那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M,N間的“閉距離”,記為d(M,N).
已知點(diǎn)A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).
(1)求d(點(diǎn)O,△ABC).
(2)記函數(shù)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的圖象
7、為圖形G.若d(G,△ABC)=1,直接寫(xiě)出k的取值范圍.
(3)☉T的圓心為T(mén)(t,0),半徑為1.若d(☉T,△ABC)=1,直接寫(xiě)出t的取值范圍.
8.[xx·義烏] 定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.
(1)如圖ZT5-4①,在等腰直角四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng);
②若AC⊥BD,求證:AD=CD.
(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn),且BP=2PD,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別交邊AD,BC于
8、點(diǎn)E,F,使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長(zhǎng).
圖ZT5-4
參考答案
1.A [解析] 根據(jù)題意,第1次:當(dāng)n=13時(shí),F①=3×13+1=40;第2次:當(dāng)n=40時(shí),F②==5;第3次:當(dāng)n=5時(shí),F①=3×5+1=16;第4次:當(dāng)n=16時(shí),F②==1;第5次:當(dāng)n=1時(shí),F①=3×1+1=4;第6次:當(dāng)n=4時(shí),F②==1,…,從第4次開(kāi)始,每2次運(yùn)算循環(huán)一次,因?yàn)?xx-3)÷2=1007……1,第xx次“F運(yùn)算”的結(jié)果是1.故選A.
2.4 [解析] 根據(jù)條件中的新定義,可將log216化為log2(
9、2×2×2×2)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4.
3.解:∵a=(1,0),b=(1,-1),∴===1,===,∴a?b=×cosα=1×·cosα=cosα,
又∵a?b=x1x2+y1y2=1×1+0×(-1)=1,
∴cosα=1.∴cosα=.
∴α=45°,即角α的值為45°.
4.解:(1)∵函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1),
∴1=.解得k=4.
(2)①如圖所示,由圖可知區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有3個(gè),分別為(1,0),(2,0),(3,0).
②由①可知,當(dāng)直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)(4,0)時(shí),b=-1;當(dāng)直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)(5,0)
10、時(shí),+b=0,b=-.此時(shí),區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有4個(gè),分別為(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).結(jié)合函數(shù)圖象知-≤b<-1.
當(dāng)直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)(1,2)時(shí),+b=2,b=.
當(dāng)直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí),+b=3,b=.此時(shí),區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有4個(gè),分別為(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).結(jié)合函數(shù)圖象知1時(shí),y隨x的增大而增大.
(2)y=x+=()2+2=-2+2,
令=,解得x=1.
∴當(dāng)x=1時(shí),y取得最小值,最小值為2.
11、(3)類(lèi)比上問(wèn)可得
y=x+=()2+2=-2+2,令=,解得x=.
∴當(dāng)x=時(shí),y取得最小值2.
6.解:(1)-4 (-2,1) y=(x-2)2+1
【提示】把(-1,0)代入y=-x2+bx-3,得0=-1-b-3.∴b=-4.
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2-4x-3,利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1).
點(diǎn)(-2,1)關(guān)于(0,1)成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),
∵中心對(duì)稱(chēng)是繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,∴新拋物線(xiàn)的解析式為y=(x-2)2+1.
(2)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,6).
∵點(diǎn)(-1,6)關(guān)于(0,m)的對(duì)
12、稱(chēng)點(diǎn)為(1,2m-6),
∴衍生拋物線(xiàn)為y'=(x-1)2+2m-6.
則-(x+1)2+6=(x-1)2+2m-6,
化簡(jiǎn),得x2=-m+5.
∵這兩條拋物線(xiàn)有交點(diǎn),
∴-m+5≥0,m≤5.
(3)①y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-b),
y'=bx2-2bx+a2=b(x-1)2-b+a2,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-b+a2),
∵兩交點(diǎn)恰好是頂點(diǎn),
∴
解得
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)和(1,12).
∵(-1,0),(1,12)關(guān)于衍生中心對(duì)稱(chēng),
∴衍生中心為(0,6).
②頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k
13、+1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1(1,2k+2+a+b);
頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2(1,2k+8+a+b);
頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)An(1,2k+2n2+a+b);
頂點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+(n+1)2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)An+1(1,2k+2(n+1)2+a+b);
∴AnAn+1=2(n+1)2-2n2=4n+2.
7.解:(1)如圖①,可知點(diǎn)O到△ABC的最小距離為2,即原點(diǎn)(0,0),(-2,0)(或(0,-2))兩點(diǎn)間的距離,故d(點(diǎn)O,△ABC)=2.
(2)如圖①,直線(xiàn)y=kx(k≠0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn),在-1≤x≤1
14、范圍內(nèi),函數(shù)圖象為線(xiàn)段.
當(dāng)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)經(jīng)過(guò)(1,-1)時(shí),k=-1,此時(shí),d(G,△ABC)=1;
當(dāng)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)經(jīng)過(guò)(-1,-1)時(shí),k=1,此時(shí),d(G,△ABC)=1.
∴-1≤k≤1.
又∵k≠0,
∴-1≤k≤1且k≠0.
(3)如圖②,☉T與△ABC的位置分三種情況討論如下:
①若☉T位于△ABC的左側(cè),易知當(dāng)t=-4時(shí),d(☉T,△ABC)=1.
②若☉T位于△ABC的內(nèi)部,點(diǎn)T與點(diǎn)O重合時(shí),有d(☉T,△ABC)=1;點(diǎn)T與點(diǎn)T3重合時(shí),過(guò)點(diǎn)T3作T3M⊥AC于M,當(dāng)T3M=2時(shí),有d(☉T,△ABC)=1,此時(shí)T3
15、O=4-2.
故0≤t≤4-2.
③若☉T位于△ABC的右側(cè),由②可知,當(dāng)d(☉T,△ABC)=1時(shí),t=4+2.
綜上,符合條件的t的取值范圍是t=-4或0≤t≤4-2或t=4+2.
8.解:(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵AB=BC,
∴平行四邊形ABCD是菱形.
又∵∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
∴BD==.
②證明:如圖①,連接AC,BD.
∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD.
又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD.
∴AD=CD.
(2)若EF與BC垂直,則AE≠EF,BF≠EF,
∴四邊形ABFE不是等腰直角四邊形,故不符合條件.
若EF與BC不垂直,
①當(dāng)AE=AB時(shí),如圖②,此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴AE=AB=5.
②當(dāng)BF=AB時(shí),如圖③,此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴BF=AB=5.
∵DE∥BF,BP=2PD,
∴BF∶DE=2∶1.
∴DE=2.5,∴AE=9-2.5=6.5.
綜上所述,滿(mǎn)足條件的AE的長(zhǎng)為5或6.5.
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