2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理 北師大版

《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理 北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) [最新考綱]　1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,3,10，，的指數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 1．有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)； ②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)； ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝

2、ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) y＝ax a＞1 0＜a＜1 圖像 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質(zhì) 過(guò)定點(diǎn)(0,1) 當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1； 當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1 當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1； 當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) 1．指數(shù)函數(shù)圖像的畫法 畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，. 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4

3、)y＝dx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像越高，底數(shù)越大． 3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a＞1與0＜a＜1來(lái)研究． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)＝()n＝a.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函數(shù)y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教

4、材改編 1．函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖像為(　　) A　　　 　B　　　　C　　　　D A　[f(x)＝21－x＝x－1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故選A.] 2．若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則f(－1)＝________. 　[由題意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.] 3．化簡(jiǎn)(x＜0，y＜0)＝________. [答案]?。?x2y 4．已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是________． c＜b＜a　[∵y＝x是減函數(shù)， ∴＞＞0， 則a＞b＞1， 又c＝＜0

5、＝1， ∴c＜b＜a.] 考點(diǎn)1　指數(shù)冪的運(yùn)算 　指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則 (1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算． (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)． (4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答． 　1.化簡(jiǎn)·(a＞0，b＞0)＝________. 　[原式＝2×＝21＋3×10－1＝.] 2．計(jì)算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________. －　[原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.]

6、 3．化簡(jiǎn)：＝________(a＞0)． a2　[原式＝× ＝a2.] 　運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一． 考點(diǎn)2　指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 　(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過(guò)平移、對(duì)稱、翻折變換得到其圖像． (2)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解． 　(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＞1，b＜0　　　 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)若曲線y＝

7、|3x－1|與直線y＝m有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (1)D　(2)(0,1)　[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0＜a＜1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b＜0.故選D. (2)曲線y＝|3x－1|的圖像是由函數(shù)y＝3x的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖像是平行于x軸的一條直線，它的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(0,1)．] [母

8、題探究] 1．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?|x|－1＝m有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (0，＋∞)　[作出函數(shù)y＝3|x|－1與y＝m的圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0，＋∞)． ] 2．(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (－∞，－1]　[作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖像如圖所示． 由圖像知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．] 　應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖像的技巧 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖像是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除．

9、 (2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過(guò)平移、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論． 　1.函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖像大致是(　　) 　 　　　 A　　　 　　　　　　B 　 　　　 C　　　　 　　　　　D A　[f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合條件的圖像只有A.] 2．函數(shù)y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________． (0,1)　[因?yàn)楹瘮?shù)y＝a

10、x－b的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b單調(diào)遞減且其圖像與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0,1)．] 3．已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 019a＝2 020b，下列五個(gè)關(guān)系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的關(guān)系式有________(填序號(hào))． ③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的圖像如圖所示，由圖可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0時(shí)，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立．] 考點(diǎn)3　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用單調(diào)性解決

11、相關(guān)問(wèn)題，而指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按0＜a＜1和a＞1進(jìn)行分類討論． 　比較指數(shù)式的大小 　(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　　　 B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調(diào)性，則M＝(a－1)0.2與N＝0.1的大小關(guān)系是(　　) A．M＝N B．M≤N C．M＜N D．M＞N (1)A　(2)D　[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知0.40.2＞0.40.6，

12、即b＞c.因?yàn)閍＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c. (2)因?yàn)閒(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調(diào)性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝0.1＜1，所以M＞N.故選D.] 　指數(shù)式的大小比較，依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，原則上化為同底的指數(shù)式，并要注意底數(shù)范圍是(0,1)還是(1，＋∞)，若不能化為同底，則可化為同指數(shù)，或利用中間變量比較，如本例(1)． 　解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式 　(1)已知函數(shù)f(x)＝a＋的圖像過(guò)點(diǎn)，若－≤f(x)≤0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________． (2)

13、方程4x＋|1－2x|＝11的解為________． (1)　(2)x＝log23　[(1)∵f(x)＝a＋的圖像過(guò)點(diǎn)， ∴a＋＝－， 即a＝－. ∴f(x)＝－＋. ∵－≤f(x)≤0， ∴－≤－≤0， ∴≤≤，∴2≤4x＋1≤3， 即1≤4x≤2， ∴0≤x≤. (2)當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為4x＋2x－12＝0， 即(2x)2＋2x－12＝0. ∴(2x－3)(2x＋4)＝0， ∴2x＝3，即x＝log23. 當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為4x－2x－10＝0. 令t＝2x，則t2－t－10＝0(0＜t＜1)． 由求根公式得t＝均不符合題意，故x＜0時(shí)，方程無(wú)解．]

14、 　(1)af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．(2)af(x)＞ag(x)，當(dāng)a＞1時(shí)，等價(jià)于f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，等價(jià)于f(x)＜g(x)．(3)有些含參指數(shù)不等式，需要分離變量，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題． 　與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 　(1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋1的單調(diào)減區(qū)間為________． (2)函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是________． (1)(－∞，1]　(2)[0，＋∞)　[(1)設(shè)u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋1的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．

15、又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]， 所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]． (2)設(shè)t＝2x(t＞0)，則y＝t2－2t的單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是[0，＋∞)．] [逆向問(wèn)題]　已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________． (－∞，4]　[令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．而y＝2t在R上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有≤2

16、，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．] 　求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷． 　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 　(1)函數(shù)f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函數(shù)，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) (2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)A　(2)　[(1)函數(shù)f(x)為奇函

17、數(shù)，定義域是R，則f(0)＝a＋＝0①，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，則f(ln 3)＝a＋＝②.結(jié)合①②可得a＝1，b＝－2，則f(x)＝1－.因?yàn)閑x＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜＜2，所以－1＜1－＜1，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)． (2)從已知不等式中分離出實(shí)數(shù)a，得a＞－.因?yàn)楹瘮?shù)y＝x和y＝x在R上都是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，x≥，x≥，所以x＋x≥＋＝，從而得－≤－.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞－.] 　指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問(wèn)題，應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性，注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化． 　

18、1.函數(shù)y＝x2＋2x－1的值域是(　　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) C　[設(shè)t＝x2＋2x－1，則y＝t. 因?yàn)?＜＜1，所以y＝t為關(guān)于t的減函數(shù)． 因?yàn)閠＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝t≤－2＝4，故所求函數(shù)的值域?yàn)?0,4]．] 2．已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________． 　[當(dāng)a＜1時(shí)，41－a＝21，所以a＝；當(dāng)a＞1時(shí)，代入可知不成立，所以a的值為.] 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (－3,1)　[當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f(a)＜1可化為a－7＜1，即a＜8，即a＜－3， ∴a＞－3.又a＜0，∴－3＜a＜0. 當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f(a)＜1可化為＜1. ∴0≤a＜1，綜上，a的取值范圍為(－3,1)．] 9