初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

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1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第五十講生活中的數(shù)學(xué)(三)鏡子中的世界教案1 北師大版在日常生活中，人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的而且我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)人走近鏡面，人在鏡中的像也走進(jìn)鏡面；當(dāng)人遠(yuǎn)離鏡面，人在鏡中的像也遠(yuǎn)離鏡面如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等(圖2-155)，這種現(xiàn)象叫作面對(duì)稱如果我們只取一個(gè)側(cè)面，那么鏡面就可用一條直線來表示，人和人在鏡中的像可用一個(gè)平面圖形來表示，這樣，人、像與鏡就成了軸對(duì)稱，也叫直線對(duì)稱(圖2-155)如果實(shí)物是ABC，那么它在鏡中的像就成了圖形ABC直線l表示鏡，這

2、時(shí)稱l為ABC和ABC的對(duì)稱軸(圖2-156)圖中，A與A，B與B，C與C是對(duì)稱點(diǎn)以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)所連結(jié)的線段AA，BB，CC被對(duì)稱軸l垂直平分，因此，如果以直線l為折痕，把ABC翻折過來，它必與ABC重合，所以成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必全等例1 設(shè)圖形ABCDEF是半個(gè)蝴蝶形(圖2-157(a)，試以直線l為對(duì)稱軸，畫出整個(gè)蝴蝶來解 為了畫出整個(gè)蝴蝶，只需要畫出圖形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形就可以了因?yàn)锳點(diǎn)、F點(diǎn)在直線l上，所以它們的對(duì)稱點(diǎn)分別和A，F(xiàn)是同一點(diǎn)，這樣，只要畫出B，C，D，E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)就行了為此，先分別過B，C，D，E向l作垂線，設(shè)垂足分別為M，N，P，Q，然后在BM，CN

3、，DP，EQ的延長線上取B，C，D和E點(diǎn)，使得BM=MB，CN=NC，DP=PD，EQ=QE，最后連結(jié)AB，BC，CD，DE，EF，于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFEDCB了(圖 2-157(b)例2 設(shè)直線l1和直線l2平行，且l1和l2間的距離為a如果線段AB在l1的右側(cè)，并設(shè)AB關(guān)于l1的對(duì)稱圖形是AB，而AB關(guān)于l2的對(duì)稱圖形是AB(圖2-158)，那么，線段AB和AB有什么關(guān)系？解 因?yàn)閘1平行于l2，并且AAA垂直于l1，當(dāng)然也垂直于l2，同理BBB也垂直于l1和l2我們知道：“在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，所以AAABBB 另一方面，因?yàn)锳P=PA，AP=PA，

4、所以AAA2PP=2a，同理BBB=2a，所以AAA=BBB 通過例2，我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作了兩次軸對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形作了一次平行移動(dòng)，平行移動(dòng)的距離剛好是這兩個(gè)對(duì)稱軸間距離的2倍如果我們反復(fù)利用例2的原理，就可以做成帶形的花邊圖案例如，我們把一張等寬的長紙條像圖2-159那樣折疊起來，并在上面用小刀刻出一個(gè)三角形的洞，然后再展開這張紙條，就會(huì)得到如圖2-160那樣的帶形圖案如果我們把圖2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2，m-3看成鏡子，A0看作實(shí)物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在鏡子中的像了其實(shí)，圖中的

5、A1是A0以m0為對(duì)稱軸作對(duì)稱移動(dòng)的對(duì)稱圖形，也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的圖形由此，怎樣看待A1和A2的關(guān)系以及A2和A0的關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們自己作出回答有了上面的知識(shí)，同學(xué)們不僅可以自己設(shè)計(jì)一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫的花邊圖案的原理了下面的圖2-161和圖2-162是兩個(gè)帶形圖案，你能看出它們是怎樣設(shè)計(jì)的嗎？如果我們把前面圖2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2等看作平行的鏡子，A0看作一個(gè)人，如果這個(gè)人在鏡子中m0和m-1之間反復(fù)映照，那么就會(huì)看到圖2-163的情況可以想象，在鏡子m0中的像A1，A2，A3，以及在鏡子m1中的像A-1，A-2，A-3，

6、是無限多的還可以知道：A0在鏡m0中的像是A1，A1在鏡m-1中的像是A-2，A-2在鏡m0中的像是A3，如此等等因?yàn)锳0和A1，A1和A2是軸對(duì)稱移動(dòng)，所以A0到A2是平行移動(dòng)例3 設(shè)直線l1和直線l2相交，交點(diǎn)為O，其夾角為如果線段AB關(guān)于l1的軸對(duì)稱圖形是AB，而AB關(guān)于l2的軸對(duì)稱圖形是AB試問AB和AB間有什么關(guān)系？(見圖2-164)解 因?yàn)橐阎狝B關(guān)于l1的對(duì)稱圖形是AB，AB關(guān)于l2的對(duì)稱圖形是AB，所以AB=AB，AB=AB，所以AB=AB，由于AOP=AOP，AOP=AOP，所以AOA2POP2同理BOB=2POP=2，所以AOABOB2 由，可知：在平面上，如果兩條直線相交

7、，一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作兩次對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形以這兩條直線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下，圖形的大小不變例4 同學(xué)們小時(shí)候常常玩萬花筒，它是由三塊等寬、等長的玻璃片圍成的為什么在萬花筒中會(huì)出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識(shí)揭開萬花筒的秘密解 萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化、美麗而奇特的圖案，主要是利用了圖形的對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)原理為具體說明，給出的圖2-165為萬花筒中的一個(gè)圖案，它是用一個(gè)小圓、一個(gè)平行四邊形和一段短線在萬花筒中連續(xù)反射而成的圖形為了清楚地說明上圖形成的原理，我們?nèi)〕鰣D形中的一部分(圖2-166)加以分析正AB

8、O以O(shè)B為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到CBO；CBO以O(shè)C為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到CDO經(jīng)過這樣兩個(gè)軸對(duì)稱移動(dòng)，實(shí)際上相當(dāng)于ABO以O(shè)為中心，以120為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)這樣：點(diǎn)A點(diǎn)C，邊AO邊CO，點(diǎn)B點(diǎn)D，邊AB邊CD，點(diǎn)O點(diǎn)O，邊BO邊DO在這樣旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下，ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了120經(jīng)多次反復(fù)，就形成了圖2-165的綺麗景色如果同學(xué)們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬花筒中的世界！ 練習(xí)二十九1設(shè)l1和l2是兩面平行相對(duì)的鏡子，如果把一個(gè)小球放在l1和l2之間(圖2-167)，試問：(1)小球A在鏡l1中的像A在什么位置？(2)小球A在鏡l1中的像A在鏡l2中的

9、像A又在什么位置？分別畫在圖上；(3)小球A和像A之間的距離與l1和l2之間的距離有什么關(guān)系？2圖2-168是萬花筒中的一個(gè)圖案，其中菱形FJKG變成菱形FDAC，如果看成經(jīng)過以F點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角為x的旋轉(zhuǎn)移動(dòng)得到的，那么x等于多少度？請(qǐng)從下面的四個(gè)答案中選出一個(gè)正確的答案來(A)60；(B)120；(C)180；(D)以上答案都不對(duì)3圖2-169是游樂園中的大型旋轉(zhuǎn)車的簡圖，游人坐在旋轉(zhuǎn)車的車斗中，任憑旋轉(zhuǎn)車不停地旋轉(zhuǎn)，但總是頭朝上，絕不會(huì)掉下來試問車斗所作的移動(dòng)是什么移動(dòng)？請(qǐng)?jiān)谙旅娲鸢钢羞x一個(gè)正確的答案(A)旋轉(zhuǎn)； (B)對(duì)稱；(C)平移； (D)以上答案都不對(duì)4圖2-170表示一張長方形球臺(tái)，設(shè)P，Q為兩個(gè)球，若擊P球，使它碰CD邊后，反彈正好擊中Q球試問P應(yīng)碰撞CD邊的哪一點(diǎn)？