（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4.4 平擺線與圓的漸開線學(xué)案 蘇教版選修4-4

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1、 4.4.4　平擺線與圓的漸開線 1．了解平擺線、圓的漸開線的生成過(guò)程，能導(dǎo)出它們的參數(shù)方程． 2．在欣賞曲線美的同時(shí)，體會(huì)參數(shù)方程在曲線研究中的地位． 3．體會(huì)“參數(shù)”思想在處理較為復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性． [基礎(chǔ)·初探] 1．平擺線 (1)如圖4-4-7所示，假設(shè)A為圓心，圓周上的定點(diǎn)為P，開始時(shí)位于O處，圓(半徑為r)在直線上滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P繞圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)θ(弧度)角后，圓與直線相切于B，線段OB的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)，即OB＝rθ.這就是圓周上的定點(diǎn)P在圓A沿直線滾動(dòng)過(guò)程中滿足的幾何條件．我們把點(diǎn)P的軌跡叫做平擺線，簡(jiǎn)稱擺線，又叫旋輪線． 圖4-4-7 (2)以

2、定直線為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則定點(diǎn)P(x，y)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 2．圓的漸開線 有一條鋼絲緊箍在一個(gè)半徑為r的圓盤上，在鋼絲的外端系上一支鉛筆，逐漸撒開鋼絲，并使撒開的部分成為圓盤的切線，我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓． [思考·探究] 1．用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的步驟是什么？ 【提示】　用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，其步驟主要有三步：選參、用參、消參．其中關(guān)鍵是選參，若題目沒(méi)有明確要求化為普通方程(或需判斷曲線的形狀和位置)，則可以用曲線的參數(shù)方程作為答案． 2．圓的漸開線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是什么？ 【提示】　根據(jù)漸

3、開線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)，半徑OB相對(duì)于Ox轉(zhuǎn)過(guò)的角度，如圖，其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)P由參數(shù)φ惟一確定．在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單． [質(zhì)疑·手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

4、疑問(wèn)2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問(wèn)3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 擺線 　已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(1,0)，請(qǐng)寫出該擺線的參數(shù)方程． 【自主解答】　根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式(

5、φ為參數(shù))可知，只需求出其中的r，也就是說(shuō)，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一來(lái)確定，因此只需把點(diǎn)(1,0)代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式． 令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1， 所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 所以r＝. 又根據(jù)實(shí)際情況可知r是圓的半徑，故r>0. 所以，應(yīng)有k>0且k∈Z， 即k∈N＋. 所以，所求擺線的參數(shù)方程是 (其中φ為參數(shù)，k∈N＋)． [再練一題] 1．已知一個(gè)圓的平擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該平擺線的參數(shù)方程． 【解】　令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r

6、＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)． 又因?yàn)閤＝2，所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2， 即得r＝(k∈N＋)． 易知，當(dāng)k＝1時(shí)，r取最大值為. 代入即可得圓的平擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)). 圓的漸開線 　已知圓的漸開線的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)) 求出該漸開線的基圓的方程，當(dāng)參數(shù)φ取時(shí)，求對(duì)應(yīng)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)． 【思路探究】　由圓的漸開線的參數(shù)方程形式可得r＝3，把φ＝代入即得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)． 【自主解答】　∵，∴半徑為3. 此漸開線的基圓方程為x2＋y2＝9. 把φ＝代入?yún)?/p>

7、數(shù)方程得 即 ∴曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(，3)． 圓的漸開線參數(shù)方程 其中φ為參數(shù)． [再練一題] 2．已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A、B兩點(diǎn)的距離． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990038】 【解】　根據(jù)條件可知圓的半徑是1， 所以對(duì)應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，分別把φ＝和φ＝代入， 可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，)，B(，1)． 那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A、B兩點(diǎn)的距離為 AB＝ ＝. 即A、B兩點(diǎn)之間的距離為 . 1．若某圓的漸開線方程是(φ為參數(shù))，則此圓的方程是_______，對(duì)應(yīng)φ

8、＝0的點(diǎn)的坐標(biāo)是________，對(duì)應(yīng)φ＝的點(diǎn)是________． 【解析】　圓的方程為x2＋y2＝1，φ＝0的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)，對(duì)應(yīng)φ＝的點(diǎn)的坐標(biāo)是(，1)． 【答案】　x2＋y2＝1　(1,0)　(，1) 2．?dāng)[線(0≤θ≤2π)與直線y＝1交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990039】 【解析】　當(dāng)y＝1時(shí)，有2(1－cos θ)＝1， ∴cos θ＝，又∵0≤θ≤2π，∴θ＝或， 當(dāng)θ＝時(shí)，x＝－；當(dāng)θ＝時(shí)，x＝＋. 【答案】　(－，1)，(＋，1) 3．如圖4-4-8，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中弧A

9、E、EF、FG、GH的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長(zhǎng)是________． 圖4-4-8 【解析】?。?π ， 相加得5π. 【答案】　5π 4．已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．那么圓的平擺線方程中與參數(shù)φ＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為________． 【解析】　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的平擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))， 把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A(3(－1)，3)， ∴AB＝＝. 【答案】　 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 5