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1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換同步檢測(cè) 文 新人教A版選修4-2
1．已知矩陣A＝，B＝，C＝，求滿足AXB＝C的矩陣X.
解 AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1
而A－1AXB·B－1＝EXBB－1
＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1
因?yàn)锳－1＝，
B－1＝，
所以X＝A－1CB－1
＝
＝
＝.
2．設(shè)圓F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)對(duì)應(yīng)的變換下變換成另一圖形F′，試求變換矩陣M及圖形F′的方程．
解 ∵＝＝，
∴M＝.
∵圓上任意一點(diǎn)(x，y)變換為(x′，y′)＝(x＋2y，y)，
∴，
2、
即.
∵x2＋y2＝1，
∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1.
即F′的方程為(x－2y)2＋y2＝1.
(1)求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值；
(2)求直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程．
解 (1)由題設(shè)得：解得
(2)∵矩陣M對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn))，
∴可取直線y＝3x上的兩點(diǎn)(0，0)，(1，3)，
得點(diǎn)(0，0)，(1，3)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是點(diǎn)(0，0)，(－2，2)．
從而，直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為y＝－x.
4．已知二階矩陣A＝，矩陣A屬于特征值λ1＝－1的一個(gè)特征向量為
3、a1＝，屬于特征值λ2＝4的一個(gè)特征向量為a2＝，求矩陣A.
解 由特征值、特征向量定義可知，Aa1＝λ1a1，
即 ＝－1×，得
同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.
因此矩陣A＝.
5．設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0)．
(1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；
(2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a、b的值．
解 (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝，
則MM－1＝.
又M＝.∴ ＝.
∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
故所求的逆矩陣M－1＝.
4、
(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)，則＝，即又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，
∴＋y′2＝1.則＋b2y2＝1為曲線C的方程．
又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故
又a>0，b>0，∴
6．給定矩陣M＝，N＝，向量α＝.
(1)求證：M和N互為逆矩陣；
(2)求證：向量α同時(shí)是M和N的特征向量；
(3)指出矩陣M和N的一個(gè)公共特征值．
解 (1)證明：因MN＝
＝，
且NM＝＝，
所以M和N互為逆矩陣．
(2)證明：因?yàn)镸α＝＝，
所以α是N的特征向量．
因?yàn)镹α＝＝，
所以α是N的特征向量．
(3)由(2)知，M對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值為1，N對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值也為1，
故1是矩陣M和N的一個(gè)公共特征值．
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