（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第3講 幾何概型學(xué)案

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1、 第3講　幾何概型 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1　幾何概型 1．幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個基本特點 考點2　幾何概型的概率公式 P(A)＝. [必會結(jié)論] 幾種常見的幾何概型 (1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)； (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域

2、解決問題； (3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零. (　　) (2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．(　　) (3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) (4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(　　) (5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(　　) (6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝.(　　)

3、 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× 2．[2017·全國卷Ⅰ]如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A.　 B. C. D. 答案　B 解析　不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝.故選B. 3．[2018·重慶一中模擬]在[－2,3]上隨機取一個數(shù)x，則(x＋1)(

4、x－3)≤0的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由幾何概型得所求概率為. 4．[2018·衡水中學(xué)調(diào)研]已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球O內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)正方體棱長為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為×3＝πa3，故M在球O內(nèi)的概率為＝. 5．[2016·全國卷Ⅱ]從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2

5、，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)由，構(gòu)成的正方形的面積為S，x＋y<1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以＝＝，所以π＝.故選C. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　與長度有關(guān)的幾何概型 例　1　(1)[2016·全國卷Ⅱ]某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口，即滿

6、足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P＝＝.故選B. (2)[2017·江蘇高考]記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________． 答案　 解析　由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5，∴P＝. 觸類旁通 求解與長度有關(guān)的幾何概型應(yīng)注意的問題 (1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長度之比、面積之比還是體積之比； (2)求與長度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后求解，應(yīng)特別注

7、意準(zhǔn)確表示所確定的線段的長度． 【變式訓(xùn)練1】　(1)[2018·遼寧模擬]在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)AC＝x cm(00，解得0

8、________． 答案　 解析　本題可以看成向區(qū)間[0,5] 內(nèi)均勻投點，設(shè)A＝{某乘客候車時間不超過3分鐘}，則P(A)＝＝. 考向　與面積有關(guān)的幾何概型 命題角度1　與平面圖形面積有關(guān)的問題 例　2　[2015·陜西高考]設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 答案　C 解析　∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以M(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，該圓的面積為π.易知直線y＝x與圓(x－1)2＋y2＝1相交于O(0,0)，A(1,1)兩點，作圖如右： ∵∠OMA＝90

9、°，∴S陰影＝－×1×1＝－. 故所求的概率P＝＝＝－. 命題角度2　與線性規(guī)劃交匯的問題 例　3　[2018·湖北聯(lián)考]在區(qū)間[0,4]上隨機取兩個實數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示，表示的平面區(qū)域為正方形OBCD及其內(nèi)部，x＋2y≤8(x，y∈[0,4])表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，所以所求概率P＝＝.故選D. 命題角度3　隨機模擬估算 例　4　如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)估計橢圓的面積為(　　) A．7.68 B．8.

10、68 C．16.32 D．17.32 答案　C 解析　由隨機模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為＝0.68.由幾何概型的概率計算公式，可 得＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，則S橢圓＝0.68×24＝16.32. 觸類旁通 利用＝求解． 考向　與體積有關(guān)的幾何概型 例　5　有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機抽取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 答案　 解析　圓柱的體積V柱＝πR2h＝2π， 半球的體積V半球＝×πR3＝π. ∴圓柱內(nèi)一點P到點O的距離小于等于1的概率為.∴點P到點O的距離大于

11、1的概率為1－＝. 觸類旁通 與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求． 【變式訓(xùn)練2】　已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點P，則點P滿足V三棱錐P－ABC

12、＝. 考向　與角度有關(guān)的幾何概型 例　6　[2017·鞍山模擬]過等腰Rt△ABC的直角頂點C在∠ACB內(nèi)部隨機作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點D，求AD

13、圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率． 解　因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝＝. 核心規(guī)律 幾何概型中的轉(zhuǎn)化思想 (1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標(biāo)軸上即可． (2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對

14、來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型． (3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型． 滿分策略 幾何概型求解中的注意事項 (1)計算幾何概型問題的關(guān)鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問題． (2)幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果． (3)幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”“角度”“面積”“體積”等，但要注意求概率時作比的上下“測度”要一致. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學(xué)思想

15、系列11——轉(zhuǎn)化與化歸思想解決幾何概型的應(yīng)用問題 [2018·珠海模擬]某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________．(用數(shù)字作答) 解題視點　先設(shè)出兩人到校的時間，得到兩變量滿足的不等式組，再在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的區(qū)域，最后根據(jù)面積型幾何概型求概率． 解析　設(shè)小張和小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示．則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{(x，y)|

16、y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為×15×15＝，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝＝. 答案　 答題啟示　本題通過設(shè)置小張、小王兩人到校的時間這兩個變量x，y，將已知轉(zhuǎn)化為x，y所滿足的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(x，y)的相關(guān)約束條件，從而把時間這個長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成面積型的幾何概型問題求解.若題中涉及到三個相互獨立的變量，則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問題加以求解. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·?？谡{(diào)研]張先生訂了一份《南昌晚報》，送報人在早上6：30～7：30之間把報紙送到他家，

17、張先生離開家去上班的時間在早上7：00～8：00之間，則張先生在離開家之前能拿到報紙的概率是________． 答案　 解析　以橫坐標(biāo)x表示報紙送到時間，以縱坐標(biāo)y表示張先生離家時間，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．因為隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件．根據(jù)題意只要點落在陰影部分，就表示張先生在離開家之前能拿到報紙，即所求事件A發(fā)生，所以P(A)＝＝. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．在長為6 m的木棒上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2 m的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　將木棒三等分

18、，當(dāng)P位于中間一段時，到兩端A，B的距離都大于2 m，∴P＝＝. 2．如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依題意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活動區(qū)域為與OA，OB構(gòu)成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形圓心角為(90°－30°)＝60°.P(A)＝＝＝. 3．[2018·山東師大附中模擬]設(shè)x∈[0，π]，則sinx<的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由sinx<且x∈[0，

19、π]，借助于正弦曲線可得x∈∪，∴P＝＝. 4．[2018·湖南長沙聯(lián)考]如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是(　　) A．1－ B. C. D．1－ 答案　A 解析　魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.所以“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是1－.故選A. 5．[2018·福建莆田質(zhì)檢]從區(qū)間(0,1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長不大于1的概率

20、是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)，故所求概率P＝＝. 6．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　正方體的體積為：2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：×πr3＝××13＝，則點P到點O的距離大于1的概率為：1－＝1－. 7．[2018·鐵嶺

21、模擬]已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，當(dāng)BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時，∠BAF為直角，則點D在線段CF(不包含F(xiàn)點)上時，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝. 8．[2018·綿陽模擬]在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于的概率是________． 答案　 解析　如圖所示，在邊AB上任取一點P，因為△ABC與△PBC是等高的

22、，所以事件“△PBC的面積大于”等價于事件“|BP|∶|AB|>”．即P＝＝. 9．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 答案　3 解析　由題意知m>0，當(dāng)0

23、 [B級　知能提升] 1．[2018·鄭州模擬]分別以正方形ABCD 的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)AB＝2，則S陰影＝2π－4.∴所求概率P＝＝，故選B項． 2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黑芝麻隨機撒在△ABC內(nèi)，則該粒黑芝麻落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由＋＋2＝0，得＋＝－2，設(shè)BC邊中點為D，連接PD，則2＝－2，P為AD中點，所以所求概率P＝＝，即該粒黑芝麻

24、落在△PBC內(nèi)的概率是.故選D. 3．[2018·山東模擬]在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為________． 答案　 解析　不等式－1≤log≤1可化為log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由幾何概型的概率公式得P＝＝. 4．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． 解　設(shè)事件A為“方程x2＋2ax

25、＋b2＝0有實根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}， 構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如圖． 所以所求的概率為 P(A)＝＝. 5．甲、乙兩艘輪船駛向

26、一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達(dá)是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 解　(1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時間分別為x、y，則0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出區(qū)域 設(shè)“兩船無需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝＝. (2)當(dāng)甲船的停泊時間為4小時，乙船停泊時間為2小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2或y－x>4，設(shè)在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域 P(B)＝＝＝. 15