（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第3講 幾何概型學(xué)案

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1、 第3講　幾何概型 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　幾何概型 1．幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) 考點(diǎn)2　幾何概型的概率公式 P(A)＝. [必會(huì)結(jié)論] 幾種常見(jiàn)的幾何概型 (1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)； (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域

2、解決問(wèn)題； (3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問(wèn)題． [考點(diǎn)自測(cè)] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零. (　　) (2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(　　) (3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) (4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　　) (5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(　　) (6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝.(　　)

3、 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× 2．[2017·全國(guó)卷Ⅰ]如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A.　 B. C. D. 答案　B 解析　不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝.故選B. 3．[2018·重慶一中模擬]在[－2,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則(x＋1)(

4、x－3)≤0的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由幾何概型得所求概率為. 4．[2018·衡水中學(xué)調(diào)研]已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為×3＝πa3，故M在球O內(nèi)的概率為＝. 5．[2016·全國(guó)卷Ⅱ]從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2

5、，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)由，構(gòu)成的正方形的面積為S，x＋y<1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以＝＝，所以π＝.故選C. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 例　1　(1)[2016·全國(guó)卷Ⅱ]某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口，即滿

6、足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P＝＝.故選B. (2)[2017·江蘇高考]記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________． 答案　 解析　由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，∴P＝. 觸類旁通 求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)求解幾何概型問(wèn)題，解題的突破口為弄清是長(zhǎng)度之比、面積之比還是體積之比； (2)求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，然后求解，應(yīng)特別注

7、意準(zhǔn)確表示所確定的線段的長(zhǎng)度． 【變式訓(xùn)練1】　(1)[2018·遼寧模擬]在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32 cm2的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)AC＝x cm(00，解得0

8、________． 答案　 解析　本題可以看成向區(qū)間[0,5] 內(nèi)均勻投點(diǎn)，設(shè)A＝{某乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘}，則P(A)＝＝. 考向　與面積有關(guān)的幾何概型 命題角度1　與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題 例　2　[2015·陜西高考]設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 答案　C 解析　∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以M(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，該圓的面積為π.易知直線y＝x與圓(x－1)2＋y2＝1相交于O(0,0)，A(1,1)兩點(diǎn)，作圖如右： ∵∠OMA＝90

9、°，∴S陰影＝－×1×1＝－. 故所求的概率P＝＝＝－. 命題角度2　與線性規(guī)劃交匯的問(wèn)題 例　3　[2018·湖北聯(lián)考]在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖所示，表示的平面區(qū)域?yàn)檎叫蜲BCD及其內(nèi)部，x＋2y≤8(x，y∈[0,4])表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，所以所求概率P＝＝.故選D. 命題角度3　隨機(jī)模擬估算 例　4　如圖，矩形長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)估計(jì)橢圓的面積為(　　) A．7.68 B．8.

10、68 C．16.32 D．17.32 答案　C 解析　由隨機(jī)模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為＝0.68.由幾何概型的概率計(jì)算公式，可 得＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，則S橢圓＝0.68×24＝16.32. 觸類旁通 利用＝求解． 考向　與體積有關(guān)的幾何概型 例　5　有一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)抽取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　圓柱的體積V柱＝πR2h＝2π， 半球的體積V半球＝×πR3＝π. ∴圓柱內(nèi)一點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為.∴點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于

11、1的概率為1－＝. 觸類旁通 與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn) 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求． 【變式訓(xùn)練2】　已知正三棱錐S－ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足V三棱錐P－ABC

12、＝. 考向　與角度有關(guān)的幾何概型 例　6　[2017·鞍山模擬]過(guò)等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部隨機(jī)作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點(diǎn)D，求AD

13、圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率． 解　因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝＝. 核心規(guī)律 幾何概型中的轉(zhuǎn)化思想 (1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可． (2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)

14、來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型． (3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型． 滿分策略 幾何概型求解中的注意事項(xiàng) (1)計(jì)算幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是怎樣把具體問(wèn)題(如時(shí)間問(wèn)題等)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問(wèn)題． (2)幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果． (3)幾何概型適用于解決一切均勻分布的問(wèn)題，包括“長(zhǎng)度”“角度”“面積”“體積”等，但要注意求概率時(shí)作比的上下“測(cè)度”要一致. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學(xué)思想

15、系列11——轉(zhuǎn)化與化歸思想解決幾何概型的應(yīng)用問(wèn)題 [2018·珠海模擬]某校早上8：00開(kāi)始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi)_______．(用數(shù)字作答) 解題視點(diǎn)　先設(shè)出兩人到校的時(shí)間，得到兩變量滿足的不等式組，再在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的區(qū)域，最后根據(jù)面積型幾何概型求概率． 解析　設(shè)小張和小王的到校時(shí)間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示．則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{(x，y)|

16、y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為×15×15＝，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝＝. 答案　 答題啟示　本題通過(guò)設(shè)置小張、小王兩人到校的時(shí)間這兩個(gè)變量x，y，將已知轉(zhuǎn)化為x，y所滿足的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的相關(guān)約束條件，從而把時(shí)間這個(gè)長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成面積型的幾何概型問(wèn)題求解.若題中涉及到三個(gè)相互獨(dú)立的變量，則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問(wèn)題加以求解. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·?？谡{(diào)研]張先生訂了一份《南昌晚報(bào)》，送報(bào)人在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到他家，

17、張先生離開(kāi)家去上班的時(shí)間在早上7：00～8：00之間，則張先生在離開(kāi)家之前能拿到報(bào)紙的概率是________． 答案　 解析　以橫坐標(biāo)x表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)y表示張先生離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件．根據(jù)題意只要點(diǎn)落在陰影部分，就表示張先生在離開(kāi)家之前能拿到報(bào)紙，即所求事件A發(fā)生，所以P(A)＝＝. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．在長(zhǎng)為6 m的木棒上任取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到木棒兩端點(diǎn)的距離都大于2 m的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　將木棒三等分

18、，當(dāng)P位于中間一段時(shí)，到兩端A，B的距離都大于2 m，∴P＝＝. 2．如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依題意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活動(dòng)區(qū)域?yàn)榕cOA，OB構(gòu)成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形圓心角為(90°－30°)＝60°.P(A)＝＝＝. 3．[2018·山東師大附中模擬]設(shè)x∈[0，π]，則sinx<的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由sinx<且x∈[0，

19、π]，借助于正弦曲線可得x∈∪，∴P＝＝. 4．[2018·湖南長(zhǎng)沙聯(lián)考]如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是(　　) A．1－ B. C. D．1－ 答案　A 解析　魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.所以“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是1－.故選A. 5．[2018·福建莆田質(zhì)檢]從區(qū)間(0,1)中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長(zhǎng)不大于1的概率

20、是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸)，故所求概率P＝＝. 6．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　正方體的體積為：2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：×πr3＝××13＝，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－＝1－. 7．[2018·鐵嶺

21、模擬]已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含F(xiàn)點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝. 8．[2018·綿陽(yáng)模擬]在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是________． 答案　 解析　如圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC與△PBC是等高的

22、，所以事件“△PBC的面積大于”等價(jià)于事件“|BP|∶|AB|>”．即P＝＝. 9．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 答案　3 解析　由題意知m>0，當(dāng)0

23、 [B級(jí)　知能提升] 1．[2018·鄭州模擬]分別以正方形ABCD 的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)AB＝2，則S陰影＝2π－4.∴所求概率P＝＝，故選B項(xiàng)． 2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黑芝麻隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則該粒黑芝麻落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由＋＋2＝0，得＋＝－2，設(shè)BC邊中點(diǎn)為D，連接PD，則2＝－2，P為AD中點(diǎn)，所以所求概率P＝＝，即該粒黑芝麻

24、落在△PBC內(nèi)的概率是.故選D. 3．[2018·山東模擬]在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　不等式－1≤log≤1可化為log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由幾何概型的概率公式得P＝＝. 4．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． 解　設(shè)事件A為“方程x2＋2ax

25、＋b2＝0有實(shí)根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}， 構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如圖． 所以所求的概率為 P(A)＝＝. 5．甲、乙兩艘輪船駛向

26、一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 解　(1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x、y，則0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出區(qū)域 設(shè)“兩船無(wú)需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝＝. (2)當(dāng)甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船停泊時(shí)間為2小時(shí)，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2或y－x>4，設(shè)在上述條件時(shí)“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域 P(B)＝＝＝. 15