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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導數(shù) 第一講 集合與常用邏輯用語 理
一、集合的含義與表示
1．集合的含義．
(1)集合中元素的性質(zhì)．
集合中的元素具有確定性、互異性、無序性三個特征．
(2)元素與集合的關系．
元素與集合的關系有屬于、不屬于兩種．
2．集合的表示法
二、集合間的關系
1．包含關系．
若任意元素x∈A，則x∈B，那么集合A與B的關系是A?B．
(1)相等關系：若A?B且A?B，則A＝B.
三、集合的運算
1．集合的三種運算．
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，
2、且x∈B}；
(3)補集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}其中U為全集，A?U．
2．運算性質(zhì)及重要結論．
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；
(3)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U；
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
1．四種命題．
(1)四種命題之間的相互關系．
(2)四種命題的真假關系．
①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．
②兩個命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關系．
2．充分條件、必要條件與充要條件．
(1)定義：對于“若p，則q”形式的命題，如果已知p?q，那么
3、p是q的充分條件；如果q?p，那么p是q的必要條件；如果既有p?q，又有q?p，則記作p?q，就是說p是q的充要條件．
(2)若p?q但q?/p，則p是q的充分不必要條件；若q?p但p?/ q，則p是q的必要不充分條件．
2.全稱量詞與全稱命題．
(1)全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．
(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．
3．特稱量詞(存在量詞)與特稱命題(存在性命題)．
(1)特稱量詞(存在量詞)：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做特稱量詞(存在量詞)，用符號“?”表示．
(2)特稱命題(
4、存在性命題)：含有特稱量詞(存在量詞)的命題叫做特稱命題(存在性命題)．
判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)
(2)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.(×)
(3)對于任意兩個集合A，B，關系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√)
(4)若一個命題是真命題，則其逆否命題是真命題．(√)
(5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(×)
(6)(xx·上海卷改編)設a，b∈R，則“a＋b>4”是“a>2且b>2”的充分條件．(×)
5、1．已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}關系的韋恩(Venn)圖是(B)
2．(xx·湛江一模)“α＝”是“sin α＝”的(B)
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．(xx·湖南卷)設A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的(C)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：∵ A∩B＝A?A?B，∴ “A∩B＝A”是“A?B”的充要條件．
4．(xx·安徽卷)設全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1
6、，2}，B＝{2，3，4}，則A∩(?UB)＝(B)
A．{1，2，5，6} B．{1}
C．{2} D．{1，2，3，4}
解析：∵ U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，∴ ?UB＝{1，5，6}，∴ A∩(?UB)＝{1}．
一、選擇題
1．(xx·北京卷)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，則A∩B＝(A)
A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}
C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－
7、5＜x＜3}
解析：如圖所示，易知A∩B＝{x|－3
8、∪N＝[0，1]，故選A.
4．(xx·湖南卷)設A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的(C)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：∵ A∩B＝A?A?B，∴ “A∩B＝A”是“A?B”的充要條件．
5．(xx·安徽卷)命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)
A．?x∈R，|x|＋x2＜0
B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x0∈R，|x0|＋x＜0
D．?x0∈R，|x0|＋x≥0
二、填空題
6．下列命題中，②④(填序號)為真命題．
①“A∩B＝A”成立的必要條件是“”
9、；
②“若x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；
④“圓內(nèi)接四邊形對角互補”的逆否命題．
解析：①A∩B＝A?A?B但不能得出，∴①不正確；②否命題為：“若x2＋y2≠0，則x，y不全為0”，是真命題；③逆命題為：“若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形全等”，是假命題；④原命題為真，而逆否命題與原命題是兩個等價命題，所以逆否命題也為真命題．
7．(xx·山東卷)若“?x∈，tan x≤m”是真命題，則實數(shù)m的最小值為1．
解析：由題意，原命題等價于tan x≤m在區(qū)間上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x
10、在上的最大值為1，所以m≥1，即m的最小值為1.
三、解答題
8．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．
解析：∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，
①若B＝?，則m＋1＞2m－1，
即m＜2，∴m＜2時，A∪B＝A.
②若B≠?，如圖所示，
則m＋1≤2m－1，即m≥2.
由B?A得
解得－3≤m≤3.
又∵m≥2，∴2≤m≤3.
由①②知，當m≤3時，A∪B＝A.
因此，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，3]．
9．設p：方程x2＋mx＋1＝0
11、有兩個不等的負根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．
解析：若方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，
則
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根，
則Δ＝16(m－2)2－16＜0，
即1＜m＜3，∴q：1＜m＜3.
∵p∨q為真，則p，q至少一個為真，又p∧q為假，則p，q至少一個為假，
∴p，q一真一假，即p真q假或p假q真．
∴或
∴m≥3或1＜m≤2.
故實數(shù)m的取值范圍為(1，2]∪[3，＋∞)．
10．設a，b∈R，集合＝{a2，a＋b，0}，求a2 016＋b2 016的值．
思路點撥：因為a為分母，所以a≠0，從而＝0，故b＝0，進而知a2＝1，可求a，b.
解析：由已知，得a≠0，∴＝0，即b＝0.
則在集合{a2，a＋b，0}中，a2＝1.∴a＝±1.
又a＝1時，不合題意，∴a＝－1.
∴axx＋bxx＝(－1)xx＝1.
2022年高考數(shù)學二輪復習 專題1 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導數(shù) 第一講 集合與常用邏輯用語 理
