（江蘇專版）2019版高考數學一輪復習 第五章 平面向量學案 文

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1、 第五章 平面向量 第一節(jié)　向量的概念及線性運算 本節(jié)主要包括2個知識點： 1.向量的有關概念； 2.向量的線性運算. 突破點(一)　向量的有關概念 基礎聯通 抓主干知識的“源”與“流” 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩

2、向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 向量的有關概念 [典例]　(1)設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使＝成立的充分條件的序號為________． ①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|. (2)設a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數是________． [解析]　(1)因為向量的方向與向量a相同，向量的方向與向量b相同，且

3、＝，所以向量a與向量b方向相同，故可排除①②④.當a＝2b時，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分條件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3. [答案]　(1)③　(2)3 [易錯提醒] (1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小； (2)大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數特征與幾何特征； (3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上．　　 能

4、力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1．給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號是________． 解析：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝.③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方

5、向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③. 答案：②③ 2．給出下列命題： ①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量； ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③λa＝0(λ為實數)，則λ必為零； ④λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯誤的命題的個數為________． 解析：①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點．②正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的

6、模均為實數，故可以比較大?。坼e誤，當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.④錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量．錯誤的命題有3個． 答案：3 3．如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與相等的向量有________． 答案：，， 4．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則 (1)與向量相等的向量有________； (2)與向量共線，且模相等的向量有________； (3)與向量共線，且模相等的向量有________． 解析：向量相等?向量方向

7、相同且模相等． 向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合． 答案：(1) ， (2) ，，，， (3) ，，，， 突破點(二)　向量的線性運算 基礎聯通 抓主干知識的“源”與“流” 1．向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b) 數乘 求實數λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|， 當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λ

8、a＝0 λ(μ a) ＝(λ μ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 2.向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa. 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 向量的線性運算 [例1]　(1)在△ABC中，＝c，＝b.若點D滿足＝2，則＝________.(用b，c表示) (2)在△ABC中，N是AC邊上一點且＝，P是BN上一點，若＝m＋，則實數m的值是________． [解析]　(1)由題可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，則＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c. (2)如圖，因為＝，所以＝，所以＝m＋

9、＝m＋.因為B，P，N三點共線，所以m＋＝1，則m＝. [答案]　(1)b＋c　(2) [方法技巧] 1．向量的線性運算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解． 2．利用向量的線性運算求參數的一般思路 (1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置． (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式． (3)比較，觀察可知所求．　　 向量共線定理的應用 [例2]　設兩個非零向量a和b不共線．

10、(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線． (2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：因為＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共線． 又與有公共點B，所以A，B，D三點共線． (2)因為ka＋b與a＋kb共線， 所以存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即解得k＝±1. 即k＝1或－1時，ka＋b與a＋kb共線． [方法技巧] 向量共線定理的三個應用 (1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三

11、點共線：若存在實數λ，使＝λ，與有公共點A，則A，B，C三點共線． (3)求參數的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值． [提醒]　證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．　　 能力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1.如圖所示，下列結論正確的是________．(填序號) ①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b. 解析：根據向量的加法法則，得＝a＋b，故①正確；根據向量的減法法則，得＝a－b，故②錯誤；＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正確；＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④錯誤． 答案：①③ 2.已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝

12、a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點共線的充要條件為λμ＝________. 解析：∵A，B，C三點共線，∴∥，設＝m(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1. 答案：1 3.在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝________.(用a，b表示) 解析：如圖，過點F作BC的平行線交DE于G， 則G是DE的中點，且＝＝，∴＝，則△AHD∽△FHG，從而HF―→＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b. 答案：a＋b 4.已知a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同．若a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一

13、直線上，則t＝________. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同．∴a－tb與a－(a＋b)共線，即a－tb與a－b共線，∴存在實數λ，使a－tb＝λ，∴解得λ＝，t＝，若a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上，則t＝. 答案： [課時達標檢測] 　　 重點保分課時——一練小題夯雙基，二練題點過高考 [練基礎小題——強化運算能力] 1．設D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝________.(用一個向量表示) 解析：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝. 答案： 2．設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2

14、b平行，則實數λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： 3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是________． 解析：由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因為與不平行，所以四邊形ABCD是梯形． 答案：梯形 4．已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析：由＋＋＝0知，點M為△ABC的重心，設點D為底邊BC的中點，則＝＝×(＋)＝(＋)

15、，所以＋＝3，故m＝3. 答案：3 [練常考題點——檢驗高考能力] 一、填空題 1．設M是△ABC所在平面上的一點，且＋＋＝0，D是AC的中點，則的值為________． 解析：∵D是AC的中點，如圖，延長MD至E，使得DE＝MD，∴四邊形MAEC為平行四邊形，∴＝＝(＋)，∴＋＝2.∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝3，∴＝＝. 答案： 2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，則λ1λ2的值為________． 解析：由題意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝. 答案： 3．設O是△ABC內部一點，且＋＝－2，則△AOB與△AOC的面積之比為___

16、_____． 解析：設D為AC的中點，連結OD，則＋＝2.又＋＝－2，所以＝－，即O為BD的中點，從而容易得△AOB與△AOC的面積之比為. 答案： 4．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內角A等于________． 解析：由＋＋＝0，得＋＝，由O為△ABC外接圓 的圓心，可得||＝||＝||.設OC與AB交于點D，如圖，由＋＝可知D為AB的中點，所以＝2，D為OC的中點．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四邊形OACB為菱形，所以△OAC為等邊三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°. 答案：30° 5．已知點G是△ABC的重心，過點G作

17、一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為________． 解析：由已知得M，G，N三點共線，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵點G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝. 答案： 6．(2018·如皋中學期末)若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積的比值為________． 解析：設AB的中點為D，如圖，連結MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三點共線，又＝＋ ②，①②聯立，得5＝3，即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為，所

18、以△ABM與△ABC的面積的比值為. 答案： 7．已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題： ①＝a－b；②＝a＋b； ③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正確命題的個數為________． 解析：由＝a，＝b可得＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，＋＋＝－a－b＋a＋b－a＋b＝0，所以①錯，②③④正確．所以正確命題的個數為3. 答案：3 8．若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________. 解析：∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是邊長為2的正三角形，∴|＋|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|＋|

19、＝2×2sin＝2. 答案：2 9．若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 解析：因為＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC為直角三角形． 答案：直角三角形 10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________． 解析：由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵點E 在線段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范圍是. 答案：

20、二、解答題 11.如圖，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 解：∵＝－＝a－b，＝＝a－b， ∴＝＋＝b＋＝a＋b. 又∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 12.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F三點共線． 解： (1)延長AD到G，使＝， 連結BG，CG，得到?ABGC，如圖， 所以＝＋＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)，＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a

21、＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝， 又因為，有公共點B，所以B，E，F三點共線． 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示 本節(jié)主要包括2個知識點： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐標表示. 突破點(一)　平面向量基本定理　 基礎聯通 抓主干知識的“源”與“流” 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底． 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 基底

22、的概念 [例1]　如果e1，e2是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是________．(填序號) ①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e1＋2e2； ③e1＋e2與e1－e2；④e1＋3e2與6e2＋2e1. [解析]?、僦校Oe1＋e2＝λe1，則無解； ②中，設e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無解； ③中，設e1＋e2＝λ(e1－e2)，則無解； ④中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量，不能作為平面內所有向量的一組基底． [答案]?、? [易錯提醒] 某平面內所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，

23、不能含有零向量．　　 平面向量基本定理的應用 [例2]　(2017·江蘇南通二模)如圖，在△ABC中，設＝a，＝b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P，則＝________.(用a，b表示) [解析]　如圖， 連結BP，則＝＋＝b＋，① ＝＋＝a＋－，② ①＋②，得2＝a＋b－，③ 又＝＝(－)＝，④ 將④代入③，得2＝a＋b－， 解得＝a＋b. [答案]　a＋b [方法技巧] 平面向量基本定理的實質及解題思路 (1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一

24、般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．　　 能力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1.(2018·宜興月考)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，則＝________.(用a，b表示) 解析：由題意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：a＋b 2.(2018·泉州調研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是________．(填序號) ①a－2b與－a＋2b；②3a－5b與6a－10b； ③a－2b與5a＋7b；④2a－3b與a－b. 解析：不共線的兩

25、個向量可以作為一組基底．因為a－2b與5a＋7b不共線，故a－2b與5a＋7b可以作為一組基底． 答案：③ 3.(2018·常州月考)如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且BD＝2DC，若＝m＋n (m，n∈R)，則m－n＝________. 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，則m＝－，n＝，所以m－n＝－2. 答案：－2 4.(2018·鎮(zhèn)江月考)在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝5e1，＝3e2，則＝________.(用e1，e2表示) 解析：在矩形ABCD中，因為O是對角線的交點，所以＝＝(＋)＝(＋)＝e1＋e2. 答案：e1＋e2 5.(2018·無錫診

26、斷)在△ABC中，＝，P是BN上一點，若＝m＋，則實數m的值為________． 解析：∵B，P，N三點共線，∴＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，又∵＝m＋，∴解得m＝t＝. 答案： 突破點(二)　平面向量的坐標表示 基礎聯通 抓主干知識的“源”與“流” 1．平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數乘的坐標運算及向量的模 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法 ①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標． ②設A

27、(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)． 2．向量平行的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 平面向量的坐標運算 [例1]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標． [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－

28、3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 即所求實數m的值為－1，n的值為－1. (3)設O為坐標原點， ∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 即M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 即N(9,2)． ∴＝(9，－18)． [方法技巧] 平面向量坐標運算的技巧 (1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標． (

29、2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．　　 向量平行的坐標表示 [例2]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值． [解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－. (2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝

30、(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點共線， ∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0， ∴m＝. [方法技巧] 向量平行的坐標表示中的乘積式和比例式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這是代數運算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入參數“λ”，從而減少了未知數的個數，而且它使問題的解決具有代數化的特點和程序化的特征． (2)當x2y2≠0時，a∥b?＝，即兩個向量的相應坐標成比例，這種形式不易出現搭配錯誤． (3)公式x1y2－x2y1＝0無條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式＝有條件x2y2≠0的限

31、制，但不易出錯．所以我們可以記比例式，但在解題時改寫成乘積的形式．　　 能力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為________． 解析：設c＝xa＋yb，則＝(2x－y，x＋2y)，所以解得則c＝a＋b. 答案：a＋b 2.已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點N的坐標為________． 解析：＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 設N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以解得即N(2,0)． 答案：(2,0) 3.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)

32、，＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則k的值是________． 解析：＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點共線，∴，共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 答案：－ 4.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________． 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.設點D的坐標為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點D的坐標為(2,

33、4)． 答案：(2,4) 5.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點共線？ 解：由題設知，＝－＝d－c＝2b－3a， ＝－＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb. C，D，E三點共線的充要條件是存在實數k， 使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. (1)若a，b共線，則t可為任意實數； (2)若a，b不共線，則有解得t＝. 綜上，可知a，b共線時，t可為任意實數；a，b不共線時，t＝. [課時達標檢測] 　　 重點保分課時—

34、—一練小題夯雙基，二練題點過高考 [練基礎小題——強化運算能力] 1．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共線，則＋的值為________． 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案： 2．(2018·太湖高級中學模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足＝＋，則＝________. 解析：∵＝＋，∴－＝－＋＝(－)，∴＝，∴＝. 答案： 3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝________.

35、解析：由題意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)． 答案：(－23，－12) 4．若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，＝(3,5)，＝(2,4)，則＝________. 解析：由題意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 5．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數a的值為________． 解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，據題意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 答案：－ [練?？?/p>

36、題點——檢驗高考能力] 一、填空題 1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 2．設向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是________． 解析：因為a與b方向相反，所以b＝ma，m＜0，則有(4，x)＝m(x,1)，∴解得m＝±2.又m＜0， ∴m＝－2，x＝m＝－2. 答案：－2 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 解析：

37、∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 4．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d＝________. 解析：設d＝(x，y)，由題意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝

38、－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)． 答案：(－2，－6) 5．△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________. 解析：因為p∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cos C＝＝＝，又0°＜C＜180°，∴C＝60°. 答案：60° 6．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內第一象限內一點且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 解析：因為||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ

39、，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2. 答案：2 7．在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. 解析：＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴＝2＝2(－3,2)＝(－6,4)．＝＋＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 8．設＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是________． 解析：由題意得∥，∵＝(a－1,1)，＝(－

40、b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，當且僅當＝，即a＝，b＝時取等號，∴＋的最小值是8. 答案：8 9．(2018·金陵中學模擬)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q＝________. 解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．則得此時a＝b＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)} 10．(2018·常熟中學月考)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，B

41、C的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 解析：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，則＋＋＋ ＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因為，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝. 答案： 二、解答題 11.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 解：以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1，0)，B－，，設∠AOC＝αα∈0，，則C(cos α，sin α)， 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝co

42、s α＋sin α＝2sin， 又α∈，則α＋∈. 所以當α＋＝，即α＝時，x＋y取得最大值2. 12．已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數，A，B，M三點都共線； (3)若t1＝a2，求當⊥且△ABM的面積為12時a的值． 解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當點M在第二或第三象限時，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當t1＝1時，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4

43、,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4，4)＝t2，∴A，B，M三點共線． (3)當t1＝a2時，由(1)知＝(4t2,4t2＋2a2)． 又＝(4,4)，⊥， ∴·＝0，即4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0， ∴t2＝－a2， 故＝(－a2，a2)． 又||＝4，點M到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12， 解得a＝±2，故所求a的值為±2. 第三節(jié) 向量的數量積及其應用 本節(jié)主要包括3個知識點： 1.向量的數量積； 2.向量數量積的應用； 3.平面向量與其他知識的綜合問題.

44、 突破點(一)　向量的數量積 基礎聯通 抓主干知識的“源”與“流” 1．向量的夾角 (1)定義：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角． (2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°. (3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直． 2．向量的數量積 (1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0. (2)幾何意義：數量積

45、a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． (3)坐標表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 3．向量數量積的運算律 (1)a·b＝b·a(交換律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 向量數量積的運算 1.利用坐標計算數量積的步驟 第一步，根據共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用； 第二步，根據數量積的坐標公式進行運算即可． 2．根據定義計算數量積的兩種

46、思路 (1)若兩個向量共起點，則兩向量的夾角直接可得，根據定義即可求得數量積；若兩向量的起點不同，需要通過平移使它們的起點重合，然后再計算． (2)根據圖形之間的關系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數量積的兩個向量，然后再根據平面向量數量積的定義和性質進行計算求解． [典例]　(1)設向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數量積等于________． (2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為________． (3)(2017·浙

47、江高考改編)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O.記I1＝·，I2＝·，I3＝·，則I1、I2、I3的大小關系是________．(用“＜”連結) [解析]　(1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－，所以b＝，所以a·b＝－1×＋2×1＝. (2)取，為一組基底，則＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，∴·＝·＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝. (3)如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F為正方形的

48、對角線的交點，易得AO＜AF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB與∠COD為鈍角，∠AOD與∠BOC為銳角．根據題意，I1－I2＝·－·＝·(－)＝·＝||·||cos∠AOB＜0，∴I1＜I2， 同理得，I2＞I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD， ∴OB＜BG＝GD＜OD，而OA＜AF＝FC＜OC， ∴||·||＜||·||， 而cos∠AOB＝cos∠COD＜0， ∴·＞·，即I1＞I3， ∴I3＜I1＜I2. [答案]　(1)　(2)　(3)I3＜I1＜I2 [易錯提醒] (1)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補．

49、 (2)兩向量a，b的數量積a·b與代數中a，b的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“·”．　　 能力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1．已知＝(2,1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為________． 解析：因為點C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝＝＝. 答案： 2．在邊長為1的等邊△ABC中，設＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析：依題意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝＋

50、＋＝－. 答案：－ 3．(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是________． 解析：如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設P(x，y)，則＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，當x＝0，y＝時，·(＋)取得最小值，為－. 答案：－ 4．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2

51、＋y2＝50上．若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是________． 解析：設P(x，y)，則·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20. 又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0， 所以點P在直線2x－y＋5＝0的上方(包括直線上)． 又點P在圓x2＋y2＝50上， 由解得x＝－5或x＝1， 結合圖象，可得－5≤x≤1， 故點P的橫坐標的取值范圍是[－5，1]． 答案：[－5，1] 5.如圖所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，則·(－)＝________. 解析：由已知得||＝，||＝，則·(－)＝(＋)·

52、＝·＋·＝1×cos ＋×＝－. 答案：－ 突破點(二)　向量數量積的應用 基礎聯通 抓主干知識的“源”與“流” 向量數量積的性質及其坐標表示 設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 平面向量的垂直問題 1.利用坐標運算證明或判斷兩個向量的垂直問題 第一，計

53、算出這兩個向量的坐標； 第二，根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可． 2．已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數的值 根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數． [例1]　(1)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論正確的序號是________． ①|b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥. (2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數k＝________. [解析]　(1)在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，①錯誤．又＝2

54、a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，②③錯誤．所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，④正確． (2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b＝(2k－3，－6)．∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.∴k＝3. [答案]　(1)④　(2)3 [易錯提醒] x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的

55、充要條件．　　 平面向量模的相關問題 利用數量積求解長度問題是數量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2； (2)|a±b|＝＝. [例2]　(1)(2018·揚州模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，那么|4a－b|＝________. (2)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________. (3)(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． [解析]　(1)|4a－

56、b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝2. (2)∵e1·e2＝， ∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°. 又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝. (3)法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4. 又≤ ＝＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值為2. 法二：設a，b的夾角為θ. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令

57、y＝＋， 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值為4，最大值為2. [答案]　(1)2　(2)　(3)4　2 [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐標形式出現的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝. (2)若向量a，b是以非坐標形式出現的，求向量a的模可應用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數量積的運算求解．　　 平面向量的夾角問題 求解兩個非零向量之間的夾角的步驟 第一步

58、由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數量積 第二步 分別求出這兩個向量的模 第三步 根據公式cos〈a，b〉＝＝求解出這兩個向量夾角的余弦值 第四步 根據兩個向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角 [例3]　(1)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為________． (2)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. (3)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為6

59、0°，則實數λ的值是________． [解析]　(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)， 得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝|b|，設〈a，b〉＝θ， 即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0. ∴cos θ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. (2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9， b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝. (3)因為＝， 故

60、＝，解得λ＝. [答案]　(1)　(2)　(3) [易錯提醒] (1)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且向量a，b不共線． (2)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且向量a，b不共線．　　 能力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1.(2018·泰州期初測試)在平面內，若A(1,7)，B(5,1)，M(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，且·＝－8，則cos∠APB＝________. 解析：設點P坐標為(2m，m)，則·＝－8?(1－2m,7－m)·(5－2m,1－m)＝－8?m2－4m＋4＝0. ∴m＝2.因此＝(－3,5)，＝(1，－1)，cos∠APB＝＝＝－.

61、答案：－ 2.(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. 解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2. 法二(數形結合法)：由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. 答案：2 3.(2017·蘭州一模)設x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝________. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝. 答案： 4.(2018

62、·泰興八校聯考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，則向量a與向量c的夾角的余弦值是________． 解析：由已知得a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)－3＝0，∴k＝2，即c＝(2，－2)，∴cos〈a，c〉＝＝＝. 答案： 5.已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 解析：∵a與b為兩個不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1，又a＋b與ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0，∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋

63、kcos θ－cos θ＝0(θ為a與b的夾角)，∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a與b不共線，∴cos θ≠－1，∴k＝1. 答案：1 6.(2018·淮安模擬)已知平面向量a，b滿足|b|＝1，且a與b－a的夾角為120°，則a的模的取值范圍為________． 解析：在△ABC中，設＝a，＝b，則b－a＝－＝，∵a與b－a的夾角為120°，∴B＝60°，由正弦定理得＝，∴|a|＝＝sin C，∵C∈，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈. 答案： 突破點(三)　平面向量與其他知識的綜合問題　 平面向量集數與形于一體，是溝通代數、幾何與三角函數的一種非常重要的工具.常將

64、它與三角函數問題、解三角形問題、幾何問題等結合起來考查. 考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 平面向量與三角函數的綜合問題 [例1]　(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值． [解]　(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 則tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos

65、x－sin x＝2cos. 因為x∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤. 于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取到最大值3； 當x＋＝π，即x＝時，f(x)取到最小值－2. [方法技巧] 平面向量與三角函數綜合問題的類型及求解思路 (1)向量平行、垂直與三角函數綜合 此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關系得到三角函數式，再利用三角恒等變換對三角函數式進行化簡，結合三角函數的圖象與性質進行求解． (2)向量的模與三角函數綜合 此類題型主要是利用向量模的性質|a|2＝a2，如果涉及向量的坐標，解答時可利用兩種方法：一是先進行向量的運算，再代入向量的坐標進行

66、求解；二是先將向量的坐標代入，再利用向量的坐標運算求解．此類題型主要表現為兩種形式：①利用三角函數與向量的數量積直接聯系；②利用三角函數與向量的夾角交匯，達到與數量積的綜合．　　 平面向量與幾何的綜合問題 [例2]　(1)在平行四邊形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1, 則AB的長為________． (2)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F 分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，則 λ的值為________． [解析]　(1)設||＝x，x＞0，則·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的長為. (2)由題意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×＝－2， 在菱形ABCD中，易知＝，＝， 所以＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2. [答案]　(1)　(2)2 [方法技巧] 平面向量與幾何綜合問題的求解方法 (1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得