（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 3.1.5　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間向量坐標(biāo)的概念，會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo).2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.3.會(huì)判斷兩向量平行或垂直.4.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式． 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量運(yùn)算 向量表示 坐標(biāo)表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數(shù)乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3) 數(shù)量積 a·b a·b＝a1b

2、1＋a2b2＋a3b3 知識(shí)點(diǎn)二　空間向量的平行、垂直及模、夾角 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 名稱 滿足條件 向量表示形式 坐標(biāo)表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ (1)空間直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)B的坐標(biāo)相同．(×) (2)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，則a∥b?＝＝.(×) (3)四邊形

3、ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標(biāo)相同．(√) (4)設(shè)A(0,1，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝(0,1，－1)．(√) 類型一　空間向量坐標(biāo)的計(jì)算 例1　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(2a＋3b)·(a－2b)＝________. (2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，則cos〈a，b〉等于(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　(1)－244　(2)C 解析　(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.

4、(2)由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)， 故cos〈a，b〉＝＝＝. 反思與感悟　關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問題 (1)直接計(jì)算問題 首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算． (2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo) 首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標(biāo)． 跟蹤訓(xùn)練1　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則 x＝________. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　2 解析　據(jù)題意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,

5、4,2)， 故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 類型二　空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示 例2　已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 解　(1)因?yàn)椋?－2，－1,2)，且c∥， 所以設(shè)c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)因?yàn)閍＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以

6、ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 引申探究 若將本例(2)中改為“若ka－b與ka＋2b互相垂直”，求k的值． 解　由題意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)， ∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0， 即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝， 故所求k的值為－2或. 反思與感悟　(1)平行與垂直的判斷

7、①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線． ②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0. (2)平行與垂直的應(yīng)用 ①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程． ②選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的． 跟蹤訓(xùn)練2　正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 解　如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空

8、間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)， 因?yàn)?＝， 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)， 因?yàn)镻Q⊥AE，所以·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0， 解得b＝，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 因?yàn)椋溅?，所?－1，－1,0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 類型三　空間向量的夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算 例3　棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，

9、G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CF； (2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值； (3)求CE的長(zhǎng)． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (1)證明　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)， F，G. 所以＝，＝，＝，＝. 因?yàn)椤ぃ健粒粒?＝0，所以⊥，即EF⊥CF. (2)解　因?yàn)椤ぃ健?＋×0＋×＝， ||＝＝， ||＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是(0°，90°]，

10、所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為. (3)解　|CE|＝||＝＝. 反思與感悟　通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)便捷．建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問題． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點(diǎn)． (1)求BN的長(zhǎng)； (2)求A1B與B1C所成角的余弦值． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 解　如圖，以C

11、為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz. (1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴||＝＝， ∴線段BN的長(zhǎng)為. (2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)， ∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3. 又||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. 又異面直線所成角為銳角或直角， 故A1B與B1C所成角的余弦值為. 1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝，則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為(　　) A．(－

12、1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　B 解析?。剑剑?，＝＋＝(9,1,1)． 2．若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀 是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　A 解析?。?3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)． 由·＞0，得A為銳角；由·＞0，得C為銳角；由·＞0，得B為

13、銳角．所以△ABC為銳角三角形． 3．已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是(　　) A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5) 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　B 解析　若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b. 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．1B.C.D. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　D 解析　依題意得(ka＋b)·(2a－

14、b)＝0， 所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1， 所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為________． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　 解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. 1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

15、則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)． 2．兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝||＝＝. 3．空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問題，把空間兩條直線所成的角問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對(duì)應(yīng)向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對(duì)應(yīng)向量的夾角的取值范圍． 一、選擇題 1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，則b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－

16、2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　B 2．已知直線l的方向向量為a，平面α內(nèi)兩共點(diǎn)向量，，下列關(guān)系中能表示l∥α的 是(　　) A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＝k C．a(chǎn)＝p＋λ D．以上均不能 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　D 3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，則m的值為(　　) A．0B．6C．－6D．±6 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　B 解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解

17、得m＝6. 4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于(　　) A．3B．2C.D．5 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　A 解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3. 5．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　D 解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(

18、12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　C 解析　∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線， ∴＝＝(y≠0)， ∴x＝，y＝－. 7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n的值為(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空

19、間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　A 解析　因?yàn)椋?m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由題意得∥，所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 二、填空題 8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，則k＝________. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案?。? 解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，∴cos120°＝，∴k＝－. 9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x＋y的值為________． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)

20、算 答案　4 解析　由題意知a∥b， 所以＝＝， 即 把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0， 解得x＝－2或x＝1. 當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－6； 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3. 當(dāng)時(shí)，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 向量a，b反向，不符合題意，所以舍去． 當(dāng)時(shí)，b＝(1,2,3)＝a， a與b同向，所以此時(shí)x＋y＝4. 10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則在上的投影為________． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　－4 解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0

21、)， ＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)， ∴cos〈，〉＝ ＝－， 在上的投影為||cos〈，〉 ＝×＝－4. 11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_____________． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　∪ 解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0， 即3t－<0，所以t<. 若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5,3,1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的取值范圍是∪. 三、

22、解答題 12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°. (1)求四棱錐P-ABCD的體積； (2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 解　(1)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB＝60°， ∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2. 在Rt△POB中，∠PBO＝60°， ∴PO＝OB·tan60°＝. ∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.

23、 (2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)， A(0，－，0)，P(0,0，)． ∴E， ∴＝，＝. ∴·＝0＋0＋×(－)＝－， ||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∵異面直線所成的角為銳角或直角， ∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為. 13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)當(dāng)(λa＋b)∥(a－3b)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值； (2)當(dāng)(a－3b)⊥(λa＋b)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　

24、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 解　∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． (1)∵(λa＋b)∥(a－3b)， ∴＝＝，解得λ＝－. (2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)， ∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0， 即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝. 四、探究與拓展 14．已知三角形的頂點(diǎn)是A(1，－1,

25、1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．則這個(gè)三角形的面積為________． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　 解析　由題意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)， ∴||＝＝3， ∴||＝＝， ∴·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4， ∴cos A＝cos〈，〉＝＝＝， ∴sin A＝＝， S△ABC＝||||·sin A＝. 15．已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證＋＋≤4. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 證明　設(shè)m＝(，，)， n＝(1,1,1)，則|m|＝4，|n|＝， 由題意知m·n≤|m||n|， 即＋＋≤4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即a＝b＝c＝時(shí)，取“＝”號(hào)． 15