《（浙江專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第6節(jié) 數(shù)學歸納法學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第6節(jié) 數(shù)學歸納法學案 理（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第6節(jié)數(shù)學歸納法最新考綱1.了解數(shù)學歸納法的原理；2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題知 識 梳 理1數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學歸納法的框圖表示常用結(jié)論與微點提醒1數(shù)學歸納法證題時初始值n0不一定是1.2推證nk1時一定要用上nk時的假設，否則不是數(shù)學歸納法診 斷 自 測1思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n2
2、2n31”，驗證n1時，左邊式子應為122223.()(2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明()(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項()解析對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學歸納法必須用歸納假設；對于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一項答案(1)(2)(3)(4)2(選修22P99B1改編)在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步檢驗n等于()A1 B2 C3 D4解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應檢驗n3.答案C3已知f(n)，則
3、()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當n2時，f(2)解析f(n)共有n2n1項，當n2時，故f(2).答案D4(2018臺州月考)用數(shù)學歸納法證明11)，第一步要證的不等式是_解析當n2時，式子為12.答案10，且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn2(log2an1)(nN*)證明：對任意的nN*，不等式成立(1)解由題意，Snbnr，當n2時，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2時，an是以b為公
4、比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)證明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所證不等式為.當n1時，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設nk時結(jié)論成立，即，則當nk1時，要證當nk1時結(jié)論成立，只需證，即證，由基本不等式可得成立，故成立，所以當nk1時，結(jié)論成立由可知，nN*時，不等式成立規(guī)律方法應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題(1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮
5、法、構造函數(shù)法等證明方法【訓練2】 (2018寧波十校適應性考試)已知數(shù)列an(nN*)，滿足a11，2an1an.(1)求證：an1an；(2)設數(shù)列an(nN*)的前n項和為Sn，證明：Sn.n1時，2a2，a2，結(jié)論成立，假設nk時，結(jié)論成立，即ak1，則nk1時，2ak2ak11，ak2，即nk1時，結(jié)論成立，an1，an1anan0.an1an；(2)問題等價于證明Sn，即(ai)，設bnan，則b1，2an1an可化為2bn1bn1，bn，Sn，Sn0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項公式；(2)證明(1)中的猜想(1)解當n1時，由已知得a11，即a2a120.
6、a11(a10)當n2時，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明由(1)知，當n1，2，3時，通項公式成立假設當nk(k3，kN*)時，通項公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時通項公式成立由可知對所有nN*，an都成立規(guī)律方法(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題
7、【訓練3】 設函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)設nN*，猜想g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明解由題設得，g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用數(shù)學歸納法證明當n1時，g1(x)，結(jié)論成立假設nk時結(jié)論成立，即gk(x).那么，當nk1時，gk1(x)g(gk(x)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對nN*成立(2)已知f(x
8、)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立設(x)ln(1x)(x0)，則(x)，當a1時，(x)0(僅當x0，a1時等號成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1時，ln(1x)恒成立(僅當x0時等號成立)當a1時，對x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1時，存在x0，使(x)nln(n1)證明如下：上述不等式等價于，x0.令x，nN*，則ln.下面用數(shù)學歸納法證明當n1時，ln 2，結(jié)論成立假設當nk時結(jié)論成立，即ln(k1)那么，當nk1時，ln(k1)(n2，nN*)”的過程中，由“nk”變到“nk1”時，左邊增加了()A1項 B
9、k項C2k1項 D2k項解析左邊增加的項為共2k項，故選D.答案D5對于不等式n1(nN*)，某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kN*)時，不等式k1成立，當nk1時，(k1)1.當nk1時，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確解析在nk1時，沒有應用nk時的假設，不是數(shù)學歸納法答案D6用數(shù)學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析當nk時，左端123k2.當nk1時，左端123k2(k21)(k22
10、)(k1)2，故當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k21)(k22)(k1)2.故選D.答案D二、填空題7設Sn1，則Sn1Sn_解析Sn11，Sn1.Sn1Sn.答案8(2018杭州月考)設f(n)62n11，則f(k1)用含有f(k)的式子表示為_解析f(k)62k11，f(k1)62(k1)113662k1136(62k11)3536f(k)35.答案36f(k)359凸n多邊形有f(n)條對角線則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù)f(n1)與f(n)的遞推關系式為_解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n110(2017紹興調(diào)研)數(shù)列an中，已知a12，an
11、1(nN*)，依次計算出a2，a3，a4的值分別為_；猜想an_解析a12，a2，a3，a4.由此，猜想an是以分子為2，分母是以首項為1，公差為6的等差數(shù)列an.答案，三、解答題11用數(shù)學歸納法證明：12(nN*，n2)證明(1)當n2時，12，命題成立(2)假設nk時命題成立，即12.當nk1時，12222，命題成立由(1)(2)知原不等式在nN*，n2時均成立12數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)證明(1)中的猜想(1)解當n1時，a1S12a1，a11；當n2時，a1a2S222a2，a2；當n3時，a1a2a3S323a
12、3，a3；當n4時，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明當n1時，a11，結(jié)論成立假設nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立，即ak，那么nk1時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.所以當nk1時，結(jié)論成立由知猜想an(nN*)成立能力提升題組13設n為正整數(shù)，f(n)1，經(jīng)計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不對解析因為f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當n1時，有f(2n).答案C14設f(x)
13、是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)1成立，則f(10)100成立B若f(2)an；(2)證明：ancos；(3)證明：Snn.證明(1)因為an0，且2a2aan12a(1an)(12an)，故要證an1an，只需要證明an1即可下用數(shù)學歸納法證明：當n1時，a11成立；假設nk(k1，kN*)時，ak1成立，那么當nk1時，ak11，綜上所述，對任意n，有anan.(2)用數(shù)學歸納法證明ancos.當n1時，a1coscos成立；假設nk(k1，kN*)時，akcos，那么當nk1時，ak1cos.所以綜上所述，對任意n，ancos.(3)由11asin21(n2)故當n1時，S11；當n2時，Snnn.綜上所述，Snn.15
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