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1、2022年高二數(shù)學(xué)12月月考試題 理(VIII)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．
1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A． B． C． D．
2.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為
A． B． C． D．
3.如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. (0,+∞) B. (0,2) C. (-∞,1) D. (0,1)
2、4.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.曲線與曲線的 ( )
A.焦距相等 B.離心率相等 C.焦點(diǎn)相同 D.頂點(diǎn)相同
6.若橢圓的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
7.下列有關(guān)命題的說法正確的是 ( )．
A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．
B．命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它
3、
不是負(fù)數(shù)”
C．命題“若，則”的逆否命題為真命題.
D．命題“使得”的否定是：“均有”．
8. 已知直線:,若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn),且在軸
上,則該圓的方程為 （ ?。?
A． B．
C． D．
9. 設(shè)是正三棱錐,是的重心,是上的一點(diǎn),且,若
,則為（ ）
A． B． C． D．
10.棱長為1的正方體中,點(diǎn)分別在線段
上,且,給出以下結(jié)論:
① ②異面直線所成的角為60°
③四面體的
4、體積為 ④,
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B. 2 C．3 D．4
11. 一個(gè)正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心）的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為
1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在過該球球心的一個(gè)截面上，則該正三棱錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與雙曲線
的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A.
5、 B. C. D.
第II卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上
13.拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是 ．
14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在雙曲線
上，則_____．
15. 已知點(diǎn)，，若圓上共有四個(gè)點(diǎn)，使得、
、、的面積均為，則的取值范圍是 ．
16. 現(xiàn)有一個(gè)由長半軸為,短半軸為的橢圓繞其長軸按一定方向旋轉(zhuǎn)所形成的“橄欖球面”.已知一個(gè)以橢圓的長軸為軸的圓柱內(nèi)接于該橄欖球面,則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值是_____.
三、 解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明、證明
6、過程或演算步驟．）
17.（10分)已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最短弦所在直線的方程．
18.(12分) 已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且．以為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)、,延長分別交拋物線于兩點(diǎn)。
(1) 當(dāng)時(shí)，求圓的方程；
（2）證明直線的斜率為定值．
19.(12分如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，，，E為線段PD上一點(diǎn)，記． 當(dāng)時(shí)，二面角的平面角的余弦值為．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)時(shí)，求異面直線與直線所成角的余弦值．
20.(12分
7、)如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥， ，，．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？
若存在，求出；若不存在，說明理由．
21. (12分)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
（其中O為原點(diǎn)）. 求k的取值范圍.
22.(12分) 已知兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,由點(diǎn)向軸作垂線,垂足為,點(diǎn)滿足,點(diǎn)的軌跡為.
(1) 求曲線的方程;
(2) 直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于、兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，
8、使得為
定值？若存在，請指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由
高二年級數(shù)學(xué)（理科）答案
一、 選擇題
ADDA A ACAAD BC
二、 填空題
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、解答題
17.解：（1）圓的半徑r==，所以圓的方程為……5分
（2） ……10分
18.解：(1)設(shè)()，由已知得，則
得，，點(diǎn)………4分
設(shè)圓的半徑為，則，故圓的方程為：……6分
(2)設(shè)直線的方程為（），，
由，得，解得
………8分
由已知，直線的斜率為，………10分
9、 即直線的斜率為定值………12分
19.解：（1）(1)因?yàn)椤推矫?，為矩形，所以兩兩垂直．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則D(0，2，0)，E，.
設(shè)B(m，0，0)(m>0)，則C(m，2，0)，＝(m，2，0)．
設(shè)n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，
則即
可取n1＝． ………4分
又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量， ………4分
由題設(shè)易知|cos〈n1，n2〉|＝，即，
解得m＝1.,即AB=1.
10、 ………7分
(2)易得
, ……10分
,
所以異面直線與直線所成角的余弦值為. ………12分
20. 【解法一】（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)?，所?.....①．
因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?，，所以四邊形為正方形，所?..... ②．又.......③
由①②③可知平面． 所以 ．
………4分
(2) 因?yàn)槠矫嫫矫?，?平面，
故就是直線與平面所成的角，不妨設(shè),則,
,
故直線與平面所成角的正弦值為。 ------
11、-------8分
（3）存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面． 證明如下：
連結(jié)交于,由∥，易證與相似，
.
若線段上存在點(diǎn)，使// 平面,則
由平行線分線段成比例,得---------------------12分
【解法二】（1）同解法一
（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，?，
所以平面，所以． 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切?，所以，設(shè)，所以． 所以 ，平面的一個(gè)法向量為． 設(shè)直線與平面所成的角為，所以 ，
即直線與平面所成角的正弦值為．…8分
（3）存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面． 證明如下：
由 ，，所以．
設(shè)平面的法向量為，則有所
12、以 取，得．因?yàn)?，且平面，所以 // 平面． 即點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．…………12分
21. 解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為
由已知得
故雙曲線C的方程為-------------------4分
（Ⅱ）將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
即 ①
設(shè)，則------------------8分
而
于是即解得 ②
由①、②得 ,故k的取值范圍為-------12分
22. 解：(1)易知點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)，
則由可得,代入得：
，即，這就是曲線的方程。-----------5分
(2) 假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有，
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，
由，解得，，
所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2． …………………8分
根據(jù)對稱性，只需考慮直線過點(diǎn)，設(shè)，，
又設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，
化簡得，所以，，
又，
所以，
將上述關(guān)系代入，化簡可得．
綜上所述，存在點(diǎn)，使得為定值2……………12分
2022年高二數(shù)學(xué)12月月考試題 理(VIII)
