2022年高考數學專題復習 第19講 三角函數的圖象與性質練習 新人教A版

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1、2022年高考數學專題復習 第19講 三角函數的圖象與性質練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查三角函數圖象的識別.2.考查三角函數的有關性質(單調性、奇偶性、周期性和對稱性).3.考查三角函數的值域(最值)． 正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質 函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 x∈R x∈R x∈R且x≠＋kπ，k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調性 遞增區(qū)間是[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)， 遞減區(qū)間是 2kπ＋，2kπ＋(k∈Z) 遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k

2、∈Z)， 遞減區(qū)間是 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 遞增區(qū)間是（ kπ－，kπ＋）(k∈Z) 最值 ymax＝1； ymin＝－1 ymax＝1； ymin＝－1 無最大值和最小值 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 對稱性 對稱中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 對稱軸 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 無對稱軸 最小正周期 2π 2π π 三角函數奇偶性的判斷技巧 1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則 (1)f(x)為偶函數的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)為奇函數的充要條件

3、是φ＝kπ(k∈Z)． 2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則 (1)f(x)為偶函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． (2)f(x)為奇函數的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)． 1．函數y＝tan 3x的定義域為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由3x≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，故選D. 【答案】　D 2．函數f(x)＝2cos是(　　) A．最小正周期為2π的奇函數 B．最小正周期為2π的偶函數 C．最小正周期為2π的非奇非偶函數 D．最小正周期為π的偶函數 【解析】　f(x)＝2cos＝2cos ＝－2sin x，故f(

4、x)是最小正周期為2π的奇函數． 【答案】　A 3．函數f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是(　　) A．x＝　　　　 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 【解析】　法一　∵正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z. 取k＝－1，則x＝－. 法二　x＝時，y＝sin＝0，不合題意，排除A；x＝時，y＝sin＝，不合題意，排除B；x＝－時，y＝sin＝－1，符合題意，C項正確；而x＝－時，y＝sin＝－，不合題意，故D項也不正確． 【答案】　C 4．比較大小：sin________sin. 【解析】　∵－＜－＜－＜0，∴si

5、n＞sin. 【答案】　＞ 5．(xx·天津高考)函數f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為(　　) A．－1 B．－ C. D．0 【解析】　∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，∴當2x－＝－時，f(x)＝sin(2x－)有最小值－. 【答案】　B 6．(xx·江蘇高考)函數y＝3sin的最小正周期為________． 【解析】　函數y＝3sin的最小正周期T＝＝π. 【答案】　π 考向一 [053]　三角函數的定義域和值域 　(1)函數y＝的定義域為________． (2)求下列函數的值域： ①y＝2cos2 x＋2cos x； ②y＝3cos x－

6、sin x，x∈[0，π]； ③y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 【思路點撥】　(1)由tan x－1≠0，且x≠＋kπ，k∈Z解得． (2)①令cos x＝t，轉化成二次函數求解，注意t的范圍． ②借助輔助角公式，化原式成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，借助函數的單調性求解． ③令sin x＋cos x＝t，則sin xcos x＝，從而轉化成二次函數求值域． 【嘗試解答】　(1)要使函數有意義，必需有 即 故函數的定義域為 . 【答案】　 (2)①y＝2cos2x＋2cos x＝22－. 當且僅當cos x＝1時，得ymax＝4， 當且僅當c

7、os x＝－時，得ymin＝－， 故函數值域為. ②y＝3cos x－sin x＝2 ＝2cos. ∵x∈[0，π]， ∴≤x＋≤， ∴－1≤cos≤， ∴－2≤2cos≤3. ∴y＝3cos x－sin x的值域為[－2，3]． ③法一：y＝sin xcos x＋sin x＋cos x ＝＋sin ＝sin2＋sin－ ＝2－1， 所以當sin＝1時， y取最大值1＋－＝＋. 當sin＝－時，y取最小值－1， ∴該函數值域為. 法二：設t＝sin x＋cos x，則sin xcos x＝(－≤t≤)， y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1， 當t＝時，y取最

8、大值為＋， 當t＝－1時，y取最小值為－1. ∴函數值域為. 規(guī)律方法1　1.求三角函數的定義域實際上是解三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解. 2.求解三角函數的值域(最值)的常見類型及方法.,(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數，可設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數求解. 考向二

9、 [054]　三角函數的單調性 　求下列函數的單調區(qū)間． (1)y＝sin；(2)y＝|tan x|. 【思路點撥】　(1)y＝－sin，再借助復合函數單調性求解；(2)由y＝tan x的圖象→y＝|tan x|的圖象→求單調區(qū)間． 【嘗試解答】　(1)y＝－sin， 它的增區(qū)間是y＝sin的減區(qū)間， 它的減區(qū)間是y＝sin的增區(qū)間． 由2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z， 得－≤x≤＋，k∈Z. 由2kπ＋≤3x－≤2kπ＋，k∈Z. 得＋≤x≤＋π，k∈Z. 故所給函數的減區(qū)間為，k∈Z； 增區(qū)間為，k∈Z. (2)觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區(qū)間是，k∈

10、Z，減區(qū)間是，k∈Z. 規(guī)律方法2　1.求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定. 2.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯. 對點訓練　(xx·常州模擬)已知函數y＝sin， 求： (1)函數的周期； (2)求函數在[－π，0]上的單調遞減區(qū)間． 【解】　由y＝sin可化為y＝－sin. (1)周期T＝＝＝π. (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z

11、. 所以x∈R時，y＝sin的減區(qū)間為，k∈Z. 取k＝－1,0可得函數在[－π，0]上的單調遞減區(qū)間為和. 考向三 [055]　三角函數的奇偶性、周期性和對稱性 　(1)已知函數f(x)＝sin(πx－)－1，則下列說法正確的是(　　) A．f(x)是周期為1的奇函數 B．f(x)是周期為2的偶函數 C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數 D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數 (2)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)為偶函數，則φ可以取的一個值為(　　) A.　　　　　　　　 B. C．－　　　　　　　 D．－ (3)設函數f(x)＝sin(ωx＋φ)

12、，給出以下四個論斷： ①它的最小正周期為π； ②它的圖象關于直線x＝成軸對稱圖形； ③它的圖象關于點成中心對稱圖形； ④在區(qū)間上是增函數． 以其中兩個論斷作為條件，另兩個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________(用序號表示即可)． 【思路點撥】　(1)借助誘導公式對f(x)先化簡，再判斷． (2)化f(x)為Asin(ωx＋φ)的形式，再結合誘導公式求解． (3)本題是一個開放性題目，依據正弦函數的圖象及單調性、周期性以及對稱性逐一判斷． 【嘗試解答】　(1)周期T＝＝2，f(x)＝sin－1 ＝－cos πx－1，因此函數f(x)是偶函數，故選B. (2)

13、f(x)＝2＝2cos＝2cos，由f(x)為偶函數，知φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，由所給選項知只有D適合． (3)若①、②成立，則ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，∴φ＝.此時f(x)＝sin，當x＝時，sin＝sin π＝0， ∴f(x)的圖象關于成中心對稱；又f(x)在上是增函數，∴在上也是增函數，因此①②?③④，用類似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④. 【答案】　(1)B　(2)D　(3)①②?③④或①③?②④ 規(guī)律方法3　1.判斷三角函數的奇偶性和周期性時，一般先將三角函數式化為一個角的一種三角函數，再根據函數奇偶

14、性的概念、三角函數奇偶性規(guī)律、三角函數的周期公式求解. 2.求三角函數的周期主要有三種方法：(1)周期定義；(2)利用正(余)弦型函數周期公式；(3)借助函數的圖象. 　 思想方法之九　研究三角函數性質的一大“法寶”——整體思想 所謂整體思想就是研究問題時從整體出發(fā)，對問題的整體形式、結構特征進行綜合分析、整體處理的思想方法． 在三角函數學習中，運用“整體思想”可以解決以下幾類問題 (1)三角函數的化簡求值； (2)研究三角函數的有關性質(如定義域、值域、單調性等)； (3)解三角不等式或求含參變量的取值范圍問題． ————　[1個示范例]　 ————[1個對點練]　————

15、 　　　(xx·課標全國卷)已知ω>0，函數f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　) A.　　　 B. C. D．(0,2] 【解析】　由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋， 由題意知?， ∴ ∴≤ω≤，故選A. 已知函數f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是(　　) A.∪[6，＋∞) B.∪ C．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D．(－∞，－2]∪ 【解析】　當ω＞0時，由－≤x≤得 －ω≤ωx≤ω，由題意知，－ω≤－，∴ω≥， 當ω＜0時，由－≤x≤得ω≤ωx≤－ω， 由題意知，ω≤－，∴ω≤－2， 綜上知ω∈(－∞，－2]∪. 【答案】　D