2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第2講 排列與組合教學案 理 北師大版

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1、第2講　排列與組合 一、知識梳理 1．排列、組合的定義 排列的定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義 合成一組 2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù) 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù) 公式 A＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)＝ C＝＝ 性質(zhì) A＝n！，0?。? C＝C，C＋C＝C 常用結(jié)論 1．“排列”與“組合”的辨析 排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”．取

2、出元素后交換順序，如果與順序有關，則是排列；如果與順序無關，則是組合． 2．解決排列、組合問題的十種技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排． (2)合理分類與準確分步． (3)排列、組合混合問題要先選后排． (4)相鄰問題捆綁處理． (5)不相鄰問題插空處理． (6)定序問題倍縮法處理． (7)分排問題直排處理． (8)“小集團”排列問題先整體后局部． (9)構(gòu)造模型． (10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化． 二、教材衍化 1．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144　　　　　　　 B．120 C．72 D．24 解析：選D.“插空法”，先排

3、3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24. 2．用數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：選C.末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA＝48(種)排法，所以偶數(shù)的個數(shù)為48. 3．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 解析：選C.選出的3人中有2名男同學1名女同學的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學2名女同學的方法有CC＝12種，故3名學生中男

4、女生都有的選法有CC＋CC＝30種．故選C. 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　　) (2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序．(　　) (3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　) (4)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　) (5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 二、易錯糾偏 (1)分類不清導致出錯； (2)相鄰元素看成一個整體，不相鄰問題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問題的基本方法． 1．從6臺原裝計

5、算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝計算機和組裝計算機各2臺，則不同的取法有________種． 解析：分兩類：第一類，取2臺原裝計算機與3臺組裝計算機，有CC種方法；第二類，取3臺原裝計算機與2臺組裝計算機，有CC種方法．所以滿足條件的不同取法有CC＋CC＝350(種)． 答案：350 2．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 解析：設這5件不同的產(chǎn)品分別為A，B，C，D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A種擺法，再與產(chǎn)品D，E全排列有A種擺法，最后把產(chǎn)品C插空有C種擺法，所以共有AAC＝36(種)不同擺法

6、． 答案：36 　　　　　　排列問題(師生共研) 有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)． (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； (4)全體排成一排，女生必須站在一起； (5)全體排成一排，男生互不相鄰． 【解】　(1)從7人中選5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(種)． (2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有A·A＝5 040(種)． (3)法一(特殊元素優(yōu)先法)：先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5×

7、A＝3 600(種)． 法二(特殊位置優(yōu)先法)：首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA＝3 600(種)． (4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有A·A＝576(種)． (5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A種方法，共有A·A＝1 440(種)． 求解排列應用問題的6種主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列

8、 插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中 定序問題除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法 　 　(2020·合肥市第二次質(zhì)量檢測)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項不同的任務，要求是：任務A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E，任務B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有(　　) A．36種　　 B．44種 C．48種　　 D．54種 解析：選B.由題意知任務A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成：(1)

9、當AE排第一、二位置時，用○表示其他任務，則順序為AE○○○○，余下四項任務，先全排D，F(xiàn)兩項任務，然后將任務B，C插入D，F(xiàn)兩項任務形成的三個空隙中，有AA種方法．(2)當AE排第二、三位置時，順序為○AE○○○，余下四項任務又分為兩類：①B，C兩項任務中一項排第一位置，剩余三項任務排在后三個位置，有AA種方法；②D，F(xiàn)兩項任務中一項排第一位置，剩余三項任務排在后三個位置，且任務B，C不相鄰，有AA種方法．(3)當AE排第三、四位置時，順序為○○AE○○，第一、二位置必須分別排來自B，C和D，F(xiàn)中的一個，余下兩項任務排在后兩個位置，有CCAA種方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有A

10、A＋AA＋AA＋CCAA＝44(種)，故選B. 　　　　　　組合問題(師生共研) 某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種． (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ 【解】　(1)從余下的34種商品中， 選取2種有C＝561種取法， 所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種． (2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或

11、者C－C＝C＝5 984種取法． 所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種． (3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有CC＝2 100種取法． 所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種． (4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(種)． 所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種． (5)法一(間接法)：選取3種的總數(shù)為C，因此共有選取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(種)． 所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種． 法二(直接法)：共有選取方式C＋CC＋CC＝6

12、 090(種)． 所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種． 兩類有附加條件的組合問題的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。? (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，用間接法求解．　 1．(2020·沈陽模擬)某地區(qū)高考改革實行“3＋1＋2”模式，“3”指語文、數(shù)學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目

13、中必選一門科目，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門科目中任意選擇兩門科目，則一名學生的不同選科組合有(　　) A．8種 B．12種 C．16種 D．20種 解析：選C.若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有CC＝12種組合；若一名學生物理和歷史都選，則有C＝4種組合，因此共有12＋4＝16種組合．故選C. 2．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，求： (1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法有多少種？ 解：(1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種

14、數(shù)共有CCC＝24(種)． (2)甲、乙兩人從4門課程中各選2門不同的選法種數(shù)為CC，又甲、乙兩人所選的2門課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為CC－C＝30(種)． 　　　　　　排列、組合的綜合應用(多維探究) 角度一　排列與組合應用題 (1)將標號為1，2，3，4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號1，2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數(shù)為(　　) A．15 B．20 C．30 D．42 (2)從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A．24 B．

15、18 C．12 D．6 【解析】　(1)四個籃球中兩個分到一組有C種分法，三個籃球進行全排列有A種分法，標號1，2的兩個籃球分給同一個小朋友有A種分法，所以有CA－A＝36－6＝30種分法． (2)從0，2中選一個數(shù)字0，則0只能排在十位，從1，3，5中選兩個數(shù)字排在個位與百位，共有A＝6種；從0，2中選一個數(shù)字2，則2排在十位(或百位)，從1，3，5中選兩個數(shù)字排在百位(或十位)、個位，共有A·A＝12種，故共有A＋AA＝18種．故選B. 【答案】　(1)C　(2)B 解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．對于排列組合的

16、綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列．　 角度二　定序問題 某學校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種． 【解析】　添入三個節(jié)目后共十個節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個節(jié)目，其中七個節(jié)目順序固定．這七個節(jié)目的不同安排方法共有A種，添加三個節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個節(jié)目，先將這十個節(jié)目進行全排列，不同的排列方法有A種，而原先七個節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有＝720(種)． 【答案】　

17、720 定序問題可用直接法，也可用間接法．　 1．甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A、B、C三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人．其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選B.根據(jù)題意，分2種情況討論：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時將丙丁二人安排到B、C社區(qū)即可，有A＝2種情況，②乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2×2＝4種情況，則不同的安排方法種數(shù)有2＋1＋4＝7

18、種．故選B. 2．我國的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架“殲－15”飛機準備著艦，規(guī)定乙機不能最先著艦，且丙機必須在甲機之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數(shù)為(　　) A．24 B．36 C．48 D．96 解析：選C.根據(jù)題意，分2種情況討論：①丙機最先著艦，此時只需將剩下的4架飛機全排列，有A＝24種情況，即此時有24種不同的著艦方法：②丙機不最先著艦，此時需要在除甲、乙、丙之外的2架飛機中任選1架，作為最先著艦的飛機，將剩下的4架飛機全排列，丙機在甲機之前和丙機在甲機之后的數(shù)目相同，則此時有×CA＝ 24種情況，即此時有24種不同的著艦方

19、法．則一共有24＋24＝48種不同的著艦方法．故選C. 3．6位機關干部被選調(diào)到4個貧困自然村進行精準扶貧，要求每位機關干部只能參加一個自然村的扶貧工作，且每個自然村至少有1位機關干部扶貧，則不同的分配方案有________種． 解析：先將6位機關干部分成四組，有(1，1，1，3)和(1，1，2，2)兩種情況，所以不同的分配方案共有·A＝65×24＝1 560(種)． 答案：1 560 　分組分配問題中的易錯點 分組問題是同學們學習中的難點問題，在考試中不容易得分，在解題過程中容易掉入陷阱． 解決這類問題的一個基本指導思想是先分組后分配．關于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組

20、三種，無論分成幾組，應注意的是只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．下面結(jié)合一些典型問題談談如何避免掉進分組問題中的陷阱． 一、整體均分問題 國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教．現(xiàn)有6名免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學校去任教，有________種不同的分配方法． 【解析】　先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有A＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有A＝90種分配方法． 【答案】　90 對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情

21、況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù)．　 二、部分均分問題 將并排的有不同編號的5個房間安排給5個工作人員臨時休息，假定每個人可以選擇任一房間，且選擇各個房間是等可能的，則恰有2個房間無人選擇且這2個房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為________． 【解析】　先將5人分成三組(1，1，3或2，2，1兩種形式)，再將這三組人安排到3個房間，然后將2個房間插入前面住了人的3個房間形成的空檔中即可，故安排方式共有·A·C＝900種． 【答案】　900 本題屬于部分均分，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，一個分組過

22、程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．　 三、不等分組問題 將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法． 【解析】　先把書分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學生．先選1本，有C種選法；再從余下的5本中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法．故共有C·C·C＝60種選法．由于甲、乙、丙是不同的3人，還應考慮再分配，故共有60A＝360種分配方法． 【答案】　360 對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時，任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)． 總之，在解答分組問題

23、時，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復計數(shù)．對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏，抓住了以上關鍵點，就能避免掉進陷阱．　 [基礎題組練] 1．(2020·河南開封一模)中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》；現(xiàn)甲、乙、丙、丁、戊5名同學各選一本書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則5名同學所有可能的選擇有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．54種 解析：選D.(1)若甲選《春秋》，則有CA＝18種情況；(2)若甲不選《春秋》，則有AA＝36種情況．所以5名同學所有可能的選擇有18

24、＋36＝54種．故選D. 2．(2020·湖南長郡中學模擬)某節(jié)目組決定把《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進酒》與《望岳》相鄰，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有(　　) A．72種 B．48種 C．36種 D．24種 解析：選C.根據(jù)題意，分2步分析：將《將進酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進行全排列，共有A＝6種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里(最后一個空不排)，有A＝6種排法，則后六場開

25、場詩詞的排法有6×6＝36種，故選C. 3．(2020·云南昆明模擬)現(xiàn)有6人坐成一排，任選其中3人相互調(diào)整座位(這3人中任何一人都不能坐回原來的位置)，其余3人座位不變，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)有(　　) A．30 B．40 C．60 D．90 解析：選B.根據(jù)題意，分2步進行分析：①從6人中選出3人，相互調(diào)整座位，有C＝20種選法；②記選出相互調(diào)整座位的3人分別為A，B，C，則A有2種坐法，B，C只有1種坐法，A，B，C相互調(diào)整座位有2種情況．則不同的調(diào)整方案有20×2＝40種，故選B. 4．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)

26、 A．192種 B．216種 C．240種 D．288種 解析：選B.第一類：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120種方法；第二類：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96種方法．所以共有120＋96＝216種方法． 5．如圖，∠MON的邊OM上有四點A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數(shù)為(　　) A．30 B．42 C．54 D．56 解析：選B.間接法：先從這8個點中任取3個點，有C種取法，再減去三點共線的情形即可，即C－C－C＝42. 6．(2020·四川廣安、

27、眉山、內(nèi)江、遂寧一診)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人參加座談會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為(　　) A．15 B．30 C．35 D．42 解析：選B.根據(jù)題意，分兩類情況討論：選出的3人中沒有人來自甲企業(yè)，在其他5個企業(yè)中任選3個即可，有C＝10種情況；選出的3人中有人來自甲企業(yè)，則甲企業(yè)只能有1人參與，在其他5個企業(yè)中任選2個即可，有2×C＝20種情況．則不同的情況共有10＋20＝30種，故選B. 7．(2020·河南南陽模擬)把四個不同的小球放入三個分別標有1～3號的盒子中 ，不允許有空盒子

28、的放法有(　　) A．12種 B．24種 C．36種 D．48種 解析：選C.根據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標有1～3號的盒子中， 且沒有空盒，三個盒子中有1個盒子中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，則分2步進行分析：①先將四個不同的小球分成3組，有C＝6種分組方法；②將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，有A＝6種放法．則不允許有空盒子的放法有6×6＝36種． 8．(2020·陜西漢中調(diào)研)某中學元旦晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在節(jié)目乙的前面，節(jié)目丙不能排在最后一位，則該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．720種 B．360種

29、C．300種 D．600種 解析：選C.先安排好除節(jié)目丙之外的5個節(jié)目，有＝60種可能，再安排節(jié)目丙，有5種可能，共60×5＝300種方案．故選C. 9．(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 解析：選A.法一：記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋C

30、AA＋CAA＋CAA＝120(種)． 法二：記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48種；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36種；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36種．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)． 10．用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有(　　) A．250個 B．249個 C．48個 D．24個 解析：選C.①當千位上的數(shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)；②當千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)

31、有A＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個)，故選C. 11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 解析：選C.若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個8

32、元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6種；若甲、乙搶的是兩個6元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C. 12．某密碼鎖共設四個數(shù)位，每個數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個．現(xiàn)密碼破譯者得知；甲所設的四個數(shù)字有且僅有三個相同；乙所設的四個數(shù)字有兩個相同，另兩個也相同；丙所設的四個數(shù)字有且僅有兩個相同；丁所設的四個數(shù)字互不相同．則上述四人所設密碼最安全的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：選C.甲所設密碼共有CCC＝48種不同設法，乙所設密碼共有＝36種不

33、同設法，丙所設密碼共有CCA＝144種不同設法，丁所設密碼共有A＝24種不同設法，所以丙最安全，故選C. 13．(2020·黑龍江哈爾濱三中期末)有3名男演員和2名女演員，演出的出場順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則不同的出場順序共________種． 解析：有3名男演員和2名女演員，演出的出場順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則先排2名女演員，有A種方法，然后插入1名男演員，有A種方法，再把這3個人當作一個整體，和其他2名男演員進行排列，有A種方法．再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的出場順序有A·A·A＝36種． 答案：36 14．從某校4個班級的學生中選出7名學生參加進博

34、會志愿者服務，若每個班級至少有一名代表，則各班級的代表數(shù)有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 解析：由題意，從4個班級的學生中選出7名學生代表，每一個班級中至少有一名代表，相當于7個球排成一排，然后插3塊隔板把他們分成4份，即中間6個空位中選3個插板，分成四份，共有C＝20種不同的選法． 答案：20 15．(2020·江西上饒聯(lián)考)某共享汽車停放點的停車位成一排且恰好全部空閑，假設最先來停車點停車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點的車位數(shù)為________． 解析：設停車位有n個，這3輛共享汽車都不相

35、鄰：相當于先將(n－3)個停車位排放好，再將這3輛共享汽車，插入到所成的(n－2)個間隔中，故有A種．恰有2輛共享汽車相鄰，可先把其中2輛捆綁在一起看作一個復合元素，再和另一輛插入到將(n－3)個停車位排好所成的(n－2)個間隔中，故有AA種．因為這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10. 答案：10 16．(2020·浙江嘉興一中、湖州中學聯(lián)考)用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成________個無重復數(shù)字的三位數(shù)，也可以組成________個能被5整除且無重復數(shù)字的五位數(shù)． 解析：第一個空：第一步，先確定三位數(shù)的最高數(shù)位

36、上的數(shù)，有C＝5種方法；第二步，確定另外兩個數(shù)位上的數(shù)，有A＝5×4＝20種方法，所以可以組成5×20＝100個無重復數(shù)字的三位數(shù)． 第二個空：被5整除且無重復數(shù)字的五位數(shù)的個位數(shù)上的數(shù)有2種情況：當個位數(shù)上的數(shù)字是0時，其他數(shù)位上的數(shù)有A＝5×4×3×2＝120種；當個位數(shù)上的數(shù)字是5時，先確定最高數(shù)位上的數(shù)，有C＝4種方法，而后確定其他三個數(shù)位上的數(shù)有A＝4×3×2＝24種方法，所以共有24×4＝96個數(shù)．根據(jù)分類加法計算原理，可得共有120＋96＝216個數(shù)． 答案：100　216 [綜合題組練] 1．(2020·江西臨川一中等九校聯(lián)考)已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，

37、有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的．現(xiàn)用編號為1，2，3的三個倉庫存放這6種化工產(chǎn)品，每個倉庫放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析：選D.設6種產(chǎn)品分別為a，b，c，d，e，f，如圖，根據(jù)題意，安全的分組方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8種，每一種分組安排到3個倉庫，有A種方法，故總的方法有8×A＝4

38、8種．故選D. 2．將標號為1，2，3，4，5，6的6個小球放入3個不同的盒子中．若每個盒子放2個，其中標號為1，2的小球放入同一盒子中，則不同的方法共有(　　) A．12種 B．16種 C．18種 D．36種 解析：選C.先將標號為1，2的小球放入盒子，有3種情況；再將剩下的4個球平均放入剩下的2個盒子中，共有·A＝6種情況，所以不同的方法共有3×6＝18(種)． 3．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有________對． 解析：如圖．它們的棱是原正方體的12條面對角線． 一個正四面體中兩條棱成60°角的有(C－3)對，兩個正四面體有(C－

39、3)×2對．又正方體的面對角線中平行成對，所以共有(C－3)×2×2＝48(對)． 答案：48 4．數(shù)字1，2，3，4，5，6按如圖形式隨機排列，設第一行的數(shù)為N1，其中N2、N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，則滿足N1

40、盒子中． (1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？ (2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？ 解：(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空隙中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式． (2)每種放入方式對應于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有C＝120種放入方式． 6．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行測試，直至找出所有的次品為止． (1)若恰在第5次測試才測試到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測試后就找出了所有次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ 解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同的測試方法，再從4件次品中選2件排在第5次和第10次的位置上測試，有A種測試方法，再排余下4件的測試位置，有A種測試方法．所以共有A·A·A＝103 680種不同的測試方法． (2)第5次測試的產(chǎn)品恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有C·C·A＝576種不同的測試方法． 15