3、B時，m∈A不一定成立．
∴“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要條件．
2．(xx·安徽改編)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是________．(填序號)
①p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；
②p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的圖象不過第二象限；
③p：x＝1.q：x2＝x；
④p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數．
答案?、?
解析?、僦校捎赼>b，c>d?a＋c>b＋d，而a＋c>b＋d卻不一定推出a>b，c>d，故①中p是q的必要不充分條件；②中，當a>1，b>1時，函數f(x)＝ax
4、－b不過第二象限，當f(x)＝ax－b不過第二象限時，有a>1，b≥1，故②中p是q的充分不必要條件；③中，因為x＝1時有x2＝x，但x2＝x時不一定有x＝1，故③中p是q的充分不必要條件；④中p是q的充要條件．
3．設a、b都是非零向量，那么命題“a與b共線”是命題“|a＋b|＝|a|＋|b|”的________條件．
答案 必要不充分
解析 |a＋b|＝|a|＋|b|?a、b同向?a與b共線；反之，當a與b共線時，不一定有|a＋b|＝|a|＋|b|，故a與b共線是|a＋b|＝|a|＋|b|的必要不充分條件．
4．與命題“若a∈M，則b M”等價的命題是_______________
5、_____．
答案 若b∈M，則a M
解析 因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可．
5．給出下列命題：
①原命題為真，它的否命題為假；
②原命題為真，它的逆命題不一定為真；
③一個命題的逆命題為真，它的否命題一定為真；
④一個命題的逆否命題為真，它的否命題一定為真；
⑤“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R”的逆命題．
其中真命題是________．(把你認為正確命題的序號都填在橫線上)
答案?、冖邰?
解析 原命題為真，而它的逆命題、否命題不一定為真，互為逆否命題同真同假，故①④錯誤，②③正確．又因為不等式mx2－2(m
6、＋1)x＋m＋3>0的解集為R，
由
??m>1.
故⑤正確．
探究點一 四種命題及其相互關系
例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．
(1)實數的平方是非負數；
(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分線經過圓心，并平分弦所對的弧．
解題導引 給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定．
解 (1)逆命題：若一個數的平方是非負數，則這個數是實數．真命題．
否命題：若一個數不是實數，則它的平方不是非負數．真命題．
逆否命題：若一個
7、數的平方不是非負數，則這個數不是實數．真命題．
(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．真命題．
否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．真命題．
逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．假命題．
(3)逆命題：若一條直線經過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．真命題．
否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的?。婷}．
逆否命題：若一條直線不經過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．真命題．
變式遷移1 有下列四個命題：
①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數
8、”的逆命題；
②“全等三角形的面積相等”的否命題；
③“若q≤1，則x2＋2x＋q＝0有實根”的逆否命題；
④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題．
其中真命題的序號為________．
答案?、佗?
解析?、俚哪婷}是“若x，y互為相反數，則x＋y＝0”，真；②的否命題是“不全等的三角形的面積不相等”，假；③若q≤1，則Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有實根，其逆否命題與原命題是等價命題，真；
④的逆命題是“三個內角相等的三角形是不等邊三角形”，假．
探究點二 充要條件的判斷
例2 給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(
9、x－3)＝0.
(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根．
(4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．
解 (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.
∴p是q的充分不必要條件．
(2)∵兩個三角形相似兩個三角形全等；
但兩個三角形全等?兩個三角形相似．
∴p是q的必要不充分條件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實根；
方程x2－x－m＝0無實根m<－2.
∴p是q的充分不必要條件．
(4)∵矩形的對角線相等，∴p?q；
而對角線相等的四邊形不一
10、定是矩形，∴qp.
∴p是q的充分不必要條件．
變式遷移2 下列各小題中，p是q的充要條件的是________．(填序號)
①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點；
②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函數；
③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A；q：?UB??UA.
答案 ①④
解析?、賟：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點?q：Δ＝m2－4(m＋3)>0?q：m<－2或m>6?p；②當f(x)＝0時，由qp；③若α，β＝kπ＋(k∈Z)時，顯然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p：A∩B＝
11、A?p：A?B?q：?UA??UB.故①④符合題意．
探究點三 充要條件的證明
例3 設a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.
解題導引 有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結論，由“條件”?“結論”是證明命題的充分性，由“結論”?“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性．
證明 (1)必要性：設方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，
兩式相減可得x0＝，將此式代入x＋2ax0＋b2＝0
12、，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，
(2)充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
將①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故兩方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.
變式遷移3 已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
證明 (1)必要性：
13、∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
(2)充分性：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，∴a≠0且b≠0.
∵a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
轉化與化歸思想
例 (14分)已知兩個關于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4
14、m－5＝0，且m∈Z.求兩方程的根都是整數的充要條件．
【答題模板】
解 ∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0. [2分]
另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，兩方程都要有實根，
∴
解得m∈[－，1]． [6分]
∵兩根為整數，故和與積也為整數，
∴，
15、 [10分]
∴m為4的約數，∴m＝－1或1，當m＝－1時，
第一個方程x2＋4x－4＝0的根為非整數，
而當m＝1時，兩方程均為整數根，
∴兩方程的根均為整數的充要條件是m＝1. [14分]
【突破思維障礙】
本題涉及到參數問題，先用轉化思想將生疏復雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想Δ≥0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數可轉化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數．
【易錯點剖析】
易忽略一元二次方程這個條件隱含著m≠0，不易把方程的根都是整數轉化為兩根之和與兩根之積都是整數．
16、
1．研究命題及其關系時，要分清命題的題設和結論，把命題寫成“如果……，那么……”的形式，當一個命題有大前提時，必須保留大前提，只有互為逆否的命題才有相同的真假性．
2．在解決充分條件、必要條件等問題時，要給出p與q是否可以相互推出的兩次判斷，同時還要弄清是p對q而言，還是q對p而言．還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別．
3.本節(jié)體現(xiàn)了轉化與劃歸的數學思想。
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．(xx·天津模擬)給出以下四個命題：
①若ab≤0，則a≤0或b≤0；②若a>b，則am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，則A＝B；④
17、在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，則方程有實數根．其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是________．(填序號)
答案?、?
解析 對命題①，其原命題和逆否命題為真，但逆命題和否命題為假；對命題②，其原命題和逆否命題為假，但逆命題和否命題為真；對命題③，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為真；對命題④，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假．
2．(xx·淮安月考)對任意實數a，b，c，給出下列命題：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充分且必要條件；②“a＋5是無理數”是“a是無理數”的充分且必要條件；③“a>b”是“|a|>|b|”的充分
18、條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件．其中真命題的個數為________．
答案 2
解析?、冖苷_；對于①，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件；對于③，“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要條件．
3．(xx·北京改編)“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的______________條件．
答案 充分不必要
解析 由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos 2α＝.
由cos 2α＝得2α＝2kπ±(k∈Z)．
∴α＝kπ±(k∈Z)．
所以cos 2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)．
4．(xx·徐州模擬)關于命題“若拋物線y＝ax2＋bx
19、＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中正確的個數為________．
答案 1
解析 對于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題，但其逆命題：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”是一個假命題，因為當不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空時，可以有a>0，即拋物線的開口可以向上．因此否命題也是假命題．
5．(xx·揚州模擬)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的
______
20、________條件．
答案 必要不充分
解析 A＝{x|－4≤x≤4}，若A?B，則a>4，a>4a>5，但a>5?a>4.
6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________條件．
答案 充要
7．(xx·鎮(zhèn)江模擬)已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，則p是q的
____________條件．
答案 必要不充分
解析 由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2 ＝0得x＝1且y＝2，所
以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分條件．
8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，
21、如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數m的取值范圍為________．
答案 [3,8)
解析 因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，
解得m≥3；又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，
解得m<8.故實數m的取值范圍是3≤m<8.
二、解答題(共42分)
9．(12分)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．
(1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；
(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，則x、y全為零．
解 (1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q<1，為假命題．
否命題：若q≥1，則方
22、程x2＋2x＋q＝0無實根，為假命題．
逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，為真命題．(4分)
(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題．
否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，為真命題．
逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0，為真命題．(8分)
(3)逆命題：若x、y全為零，則x2＋y2＝0，為真命題．
否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為零，為真命題．
逆否命題：若x、y不全為零，則x2＋y2≠0，為真命題．(12分)
10．(14分)(xx·連云港模擬)設p：實數x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：實數x滿足x2－x－6≤0，
23、或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分條件，求a的取值范圍．
解 設A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}
＝{x|3a0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．(8分)
∵綈p是綈q的必要不充分條件，
∴綈q?綈p，且綈p綈q.
則{x|綈q}{x|綈p}，
而{x|綈q}＝?RB＝{x|－4≤x<－2}，
{x|綈p}＝?RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0
24、}，
∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，
則或(13分)
綜上，可得－≤a<0或a≤－4.(14分)
11．(16分)已知數列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求證：數列{an}為等比數列的充要條件為q＝－1.
證明 充分性：當q＝－1時，
a1＝S1＝p＋q＝p－1.(2分)
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
當n＝1時成立．(5分)
于是＝＝p(n∈N＋)，
即數列{an}為等比數列．(7分)
必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0，p≠1，
∴＝＝p.(13分)
∵{an}為等比數列，
∴＝＝p，＝p，
即p－1＝p＋q.∴q＝－1.(15分)
綜上所述，q＝－1是數列{an}為等比數列的充要條件．(16分)
2022年高考數學大一輪復習 1.2命題及其關系、充分條件與必要條件學案 理 蘇教版
