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1、2022年高考數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程思想專(zhuān)題突破教案典例分析：1、記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定義域?yàn)锽.(1) 求A； (2) 若BA, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （難度：） 解：(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故當(dāng)BA時(shí), 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,2,1) 2、已知函數(shù)，常數(shù) （1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍 解：（1）當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意， 為偶函數(shù) 當(dāng)時(shí)， 取，得 ， ， 函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不
2、是偶函數(shù) （2）解法一：設(shè)， ， 要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立 ，即恒成立 又， 的取值范圍是 解法二：當(dāng)時(shí)，顯然在為增函數(shù) 當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)在為增函數(shù)，在為增函數(shù) 當(dāng)時(shí)，同解法一 （難度）已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(x)x22x ()求函數(shù)g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）設(shè)函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則 即 .點(diǎn)在函數(shù)的圖象上. 即 故g(x).(II)由可得：當(dāng)1時(shí)，此時(shí)不等式無(wú)解。當(dāng)時(shí)，因此，原不等式的解集為-1, . (III) 當(dāng)時(shí)，在-1,
3、1上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸的方程為(i) 當(dāng)時(shí)，解得。(ii)當(dāng)時(shí)，1時(shí)，解得綜上, （難度）設(shè)函數(shù)在上滿(mǎn)足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程=0在閉區(qū)間-xx，xx上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);I） (II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在0,xx上有402個(gè)解,在-xx.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)在-xx,xx上有802個(gè)解. （難度）3、設(shè)（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（）求
4、；（）當(dāng)時(shí)，恒有成立，求t的取值范圍；（難度）4、已知函數(shù) （I）求在區(qū)間上的最大值（II）是否存在實(shí)數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分12分。解：（I）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，綜上，（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)或時(shí)
5、，當(dāng)充分接近0時(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，要使的圖象與軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須即所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為 （難度）5、已知函數(shù)在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0）如圖所示，求（I）x0的值；（II）a ，b ，c的值。 （難度）=6、已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值 分析：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法滿(mǎn)分12分 （）解：當(dāng)時(shí)，又，所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即（）解：由于
6、，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（1，f(x)）處的切線(xiàn)方程為x+2y+5=0.（）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M（1f(1)）處的 切線(xiàn)方程為x+2y+5=0，知 （難度）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（1）求的解析
7、式；（2）證明：曲線(xiàn)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，并求其對(duì)稱(chēng)中心；（3）證明：曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)和直線(xiàn)所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.【解析】:（），于是解得或因，故 (II)證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)，所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。而函數(shù)。可知，函數(shù)的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)（1，1）為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。（III）證明：在曲線(xiàn)上任一點(diǎn).由知,過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為.令得,切線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)為.令得,切線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)為.直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為(1,1).從而所圍三角形的面積為.所以, 所圍三角形的面積為定值2.【點(diǎn)評(píng)】：本題是函數(shù)
8、與導(dǎo)數(shù)的綜合題,主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),以及函數(shù)與方程的思想,以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力. （難度）7、已知求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. （難度） 解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：（I）當(dāng)a=0時(shí)，若x0，則0,則0.所以當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù).（II）當(dāng) 由所以，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（，）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù)；（III）當(dāng)a0，解得0x,由2x+ax20，解得x.所以當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（，+）內(nèi)為減函數(shù).已知函數(shù)，（）討論函數(shù)
9、的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍解：（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得： （難度）8、設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。 （）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（）求證：當(dāng)且時(shí)，。 （難度）設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對(duì)x0，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于所有x0，都有f(x)ax
10、9分(ii)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對(duì)0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，不是對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立3分對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分當(dāng)x ea11時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea11，g(x)0，g(x)為減函數(shù)， 9分所以要對(duì)所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea110由此得a1，即a的取值范圍是（，
11、19、已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明： （）當(dāng)時(shí)， （）當(dāng)時(shí)，分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，滿(mǎn)分14分。 證明：（）由 得 而 又 由、得即（）證法一：由，得下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立即證成立設(shè)，則令得，列表如下：極小值 對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有證法二：由，得是兩個(gè)不相等的正數(shù)設(shè)，則，列表：極小值 即 即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函數(shù)f(x)的最大值；（）設(shè)0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)以及綜合推理論證的能力，滿(mǎn)分14分. （）解：函數(shù)的定義域?yàn)? 令 當(dāng) 當(dāng) 又 故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得最大值，最大值為0. （）證法一： 由（）結(jié)論知由題設(shè) 因此 所以 又綜上 證法二：設(shè) 則 當(dāng) 在此內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)上為增函數(shù).從而，當(dāng)有極小值因此 即 設(shè) 則 當(dāng) 因此上為減函數(shù).因?yàn)?即 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）用表示出，;（）若在上恒成立，求的取值范圍；（）證明：1+）（n1）
2022年高考數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程思想專(zhuān)題突破教案
