2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜述】本次數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)是具有一定的綜合性，很多題目是由多個(gè)知識點(diǎn)構(gòu)成的，這有利于考查考生對知識的綜合理解能力，有利于提高區(qū)分度，在適當(dāng)?shù)囊?guī)劃和難度控制下，效果明顯。通過考查知識的交匯點(diǎn)，對考生的數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求，提高了試題的區(qū)分度，這和當(dāng)前課改的教學(xué)要求、中學(xué)的教學(xué)實(shí)際以及學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況是吻合的. ? 【題文】一、選擇題（每小題5分，10小題，共50分） 【題文】1. 已知R是實(shí)數(shù)集，，則N∩?RM=（　?。? 　 A． （1，2） B． [0，2] C． （0，2） D． [1，2]

2、 【知識點(diǎn)】集合 A1 【答案】【解析】D 解析：∵M(jìn)={x|＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=+1}={y|y≥1 }， CRM={x|0≤x≤2}，故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}=[1，+∞）∩[0，2]=[1，2]， 故選D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件分別求出集合，再求兩個(gè)集合的交集. 【題文】2. 是z的共軛復(fù)數(shù)，若z+=2，（z﹣）i=2（i為虛數(shù)單位），則z=（　?。? 　 A． 1+i B． ﹣1﹣i C． ﹣1+i D． 1﹣i 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算 L4 【答案】【解析】D 解析：由于，（z﹣）

3、i=2，可得z﹣=﹣2i ① 又z+=2 ② 由①②解得z=1﹣i 故選D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可直接計(jì)算出復(fù)數(shù)z. 【題文】3. 已知命題p：函數(shù)y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過（﹣1，2）點(diǎn)；命題q：已知平面α∥平面β，則直線m∥α是直線m∥β的充要條件；則下列命題為真命題的是（　?。? 　 A． p∧q B． ￢p∧￢q C． ￢p∧q D． p∧￢q 【知識點(diǎn)】命題 A2 【答案】【解析】D 解析：當(dāng)x+1=0時(shí)，x=﹣1，此時(shí)y=1+1=2，即函數(shù)y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過（﹣1，2）點(diǎn)，即命題p為真命題．

4、 若直線m∥α，則m∥β或m?β，充分性不成立，若直線m∥β，則m∥α或m?α，必要性不成立， 即直線m∥α是直線m∥β的既不充分也不必要條件，即命題q為假命題， 則p∧￢q為真命題， 故選：D． 【思路點(diǎn)撥】由題意可依據(jù)直線與平面平行的判定確定命題的真?zhèn)?，再找出正確選項(xiàng). 【題文】4. 運(yùn)行如圖所示的程序，若結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果不小于3，則t的取值范圍為（　　） 　 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】程序框圖 L1 【答案】【解析】B 解析：第一次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)． 第二次執(zhí)行循環(huán)結(jié)

5、構(gòu)：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)， 第三次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3； ∵n=6＞4，∴應(yīng)終止循環(huán)結(jié)構(gòu)，并輸出38t．由于結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果不小于3， 故38t≥3，即8t≥1，解得t．故答案為：B． 【思路點(diǎn)撥】按程序所給定的過程進(jìn)行計(jì)算，可直接求出結(jié)果. 【題文】5. 一個(gè)體積為12的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的側(cè)視圖的面積為（　　） 　 A． 6 B． 8 C． 8 D． 12 【知識點(diǎn)】三視圖 G2 【答案】【解析】A 解析：設(shè)棱柱的高為h， 由左視圖知，底面正三角形的

6、高是 ，由正三角形的性質(zhì)知，其邊長是4， 故底面三角形的面積是 =4 由于其體積為 ，故有h×=，得h=3 由三視圖的定義知，側(cè)視圖的寬即此三棱柱的高，故側(cè)視圖的寬是3，其面積為3×= 故選A 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可找出幾何體的原圖數(shù)據(jù)，再計(jì)算出三棱柱的面積. 【題文】6. 在下列直線中，與非零向量=（A，B）垂直的直線是（　　） 　 A． Ax+By=0 B． Ax﹣By=0 C． Bx+Ay=0 D． Bx﹣Ay=0 【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算 F2 【答案】【解析】A 解析：Ax+By=0的方向向量是（﹣B，A）， Ax﹣By=0的方向向量是（B，A

7、），Bx+Ay=0的方向向量是（﹣A，B），Bx﹣Ay=0的方向向量是（A，B），∴與非零向量=（A，B）垂直的直線是Ax+By=0． 故選：A． 【思路點(diǎn)撥】由向量的定義與直線相互垂直的關(guān)系可求出正確結(jié)果. 【題文】7. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為邊BC的三等分點(diǎn)，則=（　　） 　 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】向量的加減運(yùn)算 F2 【答案】【解析】A 解析：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1， ∴根據(jù)余弦定理可知BC= 由AB=2，AC=1，BC=滿足勾股定理可知∠BCA=90° 以C為

8、坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB方向?yàn)閤，y軸正方向建立坐標(biāo)系 ∵AC=1，BC=，則C（0，0），A（1，0），B（0，） 又∵E，F(xiàn)分別是Rt△ABC中BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 則E（0，），F(xiàn)（0，）則=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+= 故選A． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則可分別求出，的坐標(biāo)，再求出它們的數(shù)量積. 【題文】8. 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），則的最小值為（　?。? 　 A． 3 B． C． 5 D． 7 【知識點(diǎn)】基本不等式 E6 【答案】【解析】A 解析：由題意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴a

9、c=4，c＞0， 則 則≥2×=3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號， 則的最小值是 3． 故選A． 【思路點(diǎn)撥】由已知條件求出ac的值，再由基本不等式可求出的最小值. 【題文】9. 已知函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x﹣y+2=0平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Txx的值為（　　） 　 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】數(shù)列與數(shù)列求和 D4 【答案】【解析】C 解析：∵函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x﹣y+2=0平行， 由f（x）=x2+bx求導(dǎo)得：f′（x）=2x+b， 由導(dǎo)

10、函數(shù)得幾何含義得：f′（1）=2+b=3?b=1，∴f（x）=x2+x 所以f（n）=n（n+1），∴數(shù)列 的通項(xiàng)為 ==， 所以 的前n項(xiàng)的和即為Tn， 則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：=1﹣ 所以數(shù)列的前xx項(xiàng)的和為：Txx=． 故選C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件可求出函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，再利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)值. 【題文】10. 如圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時(shí)間t變化的可能圖象是（　?。? 　 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】三視圖 G2 【答案】【解析】B 解析：該三視圖表示的容器是倒放的圓錐，下面細(xì)，上

11、面粗， 隨時(shí)間的增加，可以得出高度增加的越越慢． 剛開始高度增加的相對快些．曲線越“豎直”，之后，高度增加的越越慢，圖形越平穩(wěn)． 故選B． 【思路點(diǎn)撥】由三視圖得到容器的形狀，再由幾何體的體積變化得到正確結(jié)果. 二、填空題（每小題5分，5小題，共25分） 【題文】11. 已知tan（﹣α）=，則cos（+2α）的值為　?。? 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 C2 【答案】【解析】C 解析：設(shè)t=﹣α，即α=﹣t，tant=， 則cos（+2α）=cos（π﹣2t）=﹣cos2t=﹣=﹣． 故答案為：﹣． 【思路點(diǎn)撥】由已知條件可利用整體變換角的形式化簡求值. 【題文】

12、12. 有五條線段，長度分別為1，3，5，7，9，從中任意取三條，一定能構(gòu)成三角形的概率是　?。? 【知識點(diǎn)】概率 K2 K3 【答案】【解析】C 解析：顯然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9． 共10種情況． 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． 其中能構(gòu)成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9．三種情況，故概率是． 故填：． 【思路點(diǎn)撥】由已知求出各各種情況，再根據(jù)概率的定義求值即可. 【題文】13. 若實(shí)數(shù)x，y滿足的最小值是　　．

13、【知識點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃 E5 【答案】【解析】C 解析：令t=x+2y 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示 由于t=x+2y可得y=，根據(jù)直線在y軸上的截距越大，t越大 ∴直線t=x+2y平移到點(diǎn)O（O，0）時(shí)，t取得最小值0，此時(shí)，z=1 故答案為：1 【思路點(diǎn)撥】由已知條件可求出可行域，再求出最小值. 【題文】14. 圓心在直線x﹣2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　． 【知識點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 H3 【答案】【解析】C 解析：設(shè)圓心為（2t，t），半徑為r=|2t|， ∵圓C截x軸所得弦的長為2，

14、∴t2+3=4t2， ∴t=±1，其中t=﹣1不符合題意，舍去， 故t=1，2t=2， ∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 故答案為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件可求出圓心到直線的距離、半徑及弦的一半的關(guān)系求出圓心坐標(biāo)，再列出方程. 【題文】15. ①函數(shù)在[0，π]上是減函數(shù)； ②點(diǎn)A（1，1）、B（2，7）在直線3x﹣y=0兩側(cè)； ③數(shù)列{an}為遞減的等差數(shù)列，a1+a5=0，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值； ④定義運(yùn)算則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是6x﹣3y﹣5=0． 其中正確命題的序號是　?。ò阉姓_命

15、題的序號都寫上）． 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)；數(shù)列；函數(shù)的性質(zhì) B1 C3 D1 【答案】【解析】C 解析：①，∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，在[0，π]上是增函數(shù)，故①錯(cuò)誤； ②，將A（1，1）、B（2，7）的坐標(biāo)分別代入3x﹣y得（3×1﹣1）?（3×2﹣7）=﹣2＜0，故點(diǎn)A（1，1）、B（2，7）在直線3x﹣y=0兩側(cè)，即②正確； ③，∵數(shù)列{an}為遞減的等差數(shù)列，a1+a5=0，又a1+a5=2a3， ∴2a3=0， 故當(dāng)n=2或3時(shí)Sn取得最大值，故③錯(cuò)誤； ④，∵=a1b2﹣a2b1， ∴f（x）==x3+x2﹣x， ∴[f′（x）]|x=1=（x

16、2+2x﹣1）|x=1=2， ∴f（x）的圖象在點(diǎn)（1，）處的切線方程為：y﹣=2（x﹣1），整理得：6x﹣3y﹣5=0，故④正確； 綜上所述，正確答案為②④． 故答案為：②④． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件對各項(xiàng)進(jìn)行分析判定，最后找出正確結(jié)果. 三、解答題（6小題，共75分） 【題文】16. 已知函數(shù)（其中ω為正常數(shù)，x∈R）的最小正周期為π． （I）求ω的值； （II）在△ABC中，若A＜B，且，求． 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值 C7 【答案】【解析】(I) ω=1 (II) 解析： ==．（4分） 而f（x）的最小正周期為π，ω為正常數(shù)， ∴，解之，得ω=1．

17、（6分） （2）由（1）得． 若x是三角形的內(nèi)角，則0＜x＜π，∴． 令，得，∴或， 解之，得或．由已知，A，B是△ABC的內(nèi)角，A＜B且， ∴，，∴．（10分） 又由正弦定理，得．（12分） 【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)已知條件對函數(shù)式進(jìn)行化簡，根據(jù)化簡結(jié)果求出的值，再根據(jù)條件求出三角形的三個(gè)角，利用正弦定理可求出 【典例剖析】求三角函數(shù)周期的問題，一般要化成一個(gè)三角函數(shù)式，再對周期進(jìn)行求解. 【題文】17. 甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下： 甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分（圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓

18、心角均為15°，邊界忽略不計(jì)）即為中獎(jiǎng)． 乙商場：從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2球（球除顏色外不加區(qū)分），如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)． 問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎(jiǎng)的可能性大？ 【知識點(diǎn)】概率 K1 K2 K3 【答案】【解析】 P1＜P2，則購買該商品的顧客在乙商場中獎(jiǎng)的可能性大 解析：如果顧客去甲商場，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤的面積π?R2， 陰影部分的面積為， 則在甲商場中獎(jiǎng)的概率為：； 如果顧客去乙商場，記3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3，3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3， 記（x，y）為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有： （a1，a2），

19、（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3） （a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）， （a3，b1），（a3，b2），（a3，b3）， （b1，b2），（b1，b3）， （b2，b3），共15種， 摸到的是2個(gè)紅球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3種， 則在乙商場中獎(jiǎng)的概率為：P2=， 又P1＜P2，則購買該商品的顧客在乙商場中獎(jiǎng)的可能性大． 【思路點(diǎn)撥】甲商場中獎(jiǎng)概率為幾何概型，可根據(jù)面積來求，乙商場可根據(jù)結(jié)果求出概率. 【題文】18. 如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠AB

20、C=90°． （I）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積S； （II）求異面直線A1B與AC所成角的余弦值． 【知識點(diǎn)】幾何體的表面積；異面直線所成的角 G7 G11 【答案】【解析】(I) 24+12 (II) 解析：（1）在△ABC中，因?yàn)锳B=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=．…（1分） S△ABC=AB×BC=2．…（1分） 所以S=2S△ABC+S側(cè)=4+（2+2+4）×4=24+12．…（3分） （2）連接BC1，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補(bǔ)角）．…（1分） 在△A1BC1中，A1B=2，BC1=2，

21、A1C1=4，…（1分） 由余弦定理可得cos∠BA1C1= 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)幾何體的表面積的構(gòu)成可直接求出結(jié)果，第二步先找出異面直線所成的角，再利用余弦定理求出其余弦值. 【題文】19. 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分別是等比數(shù)列{bn}的b2，b3，b4． （Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}對任意自然數(shù)n均有=an+1成立，求c1+c2+…+cxx的值． 【知識點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列求和 D2 D3 D4 【答案】【解析】(I)(II) 解析：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=

22、1+13d， ∵a2，a5，a14成等比數(shù)列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d）， 解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴bn=3n﹣1． （Ⅱ）∵++…+=an+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=an（n≥2）， ∴=an+1﹣an=2（n≥2），∴cn=2bn=2?3n﹣1（n≥2），∴cn=． ∴c1+c2+…+cxx=3+2?3+2?32+…+2?3xx=3+2（3+?32+…+3xx） =3+2?=3xx． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件列出等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系式，求出公差與公比，寫

23、出通項(xiàng)公式，找出數(shù)列{cn}的特點(diǎn)，再根據(jù)條件求出數(shù)值. 【題文】20. 如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1． （I）求四棱錐F﹣ABCD的體積VF﹣ABCD． （II）求證：平面AFC⊥平面CBF． （III）在線段CF上是否存在一點(diǎn)M，使得OM∥平面ADF，并說明理由． \ 【知識點(diǎn)】幾何體的體積；面面垂直的判定；線面平行的判定 G4 G5 G7 【答案】【解析】(I)(II)略(III) 略 解析：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60° 作FG⊥AB交AB于

24、一點(diǎn)G，則 ∵平面ABCD⊥平面ABEF ∴FG⊥面ABCD（3分） 所以 （2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB， 平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB， 又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF?面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF； （3）取CF中點(diǎn)記作M，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AN，MN 則MN，又AO，則MNAO， 所以MNAO為平行四邊形，（10分） ∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF． （12分） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)幾何體的體積公式可求出體

25、積，再根據(jù)條件對幾何關(guān)系進(jìn)行證明. 【題文】21.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍； （Ⅲ）求證：． 【知識點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 B1 B11 【答案】【解析】(I)略(II) (III)略 解析：（Ⅰ）（2分） 當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， 1]，減區(qū)間為[1，+∞）； 當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；

26、 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分） （Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分） ∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=﹣2 ∴ 由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立， 所以有：，∴（10分） （Ⅲ）令a=﹣1此時(shí)f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對字母a的討論，再利用導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行求解，求出m的范圍，最后對不等式利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.