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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解析幾何練習(xí)7
一、選擇題
1．已知拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點(diǎn)，則a等于 ( )
A．1 B．4
C．8 D．16
解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2)，依題意則有＝2, 解得a＝8.
答案：C
2．拋物線y＝－4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 ( )
A．－ B．－
C. D.
解析：拋物線方程可化為x2＝－，其準(zhǔn)線方程為y＝.設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知－y0＝1
2、?y0＝－.
答案：B
3．(遼寧高考)已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B．1
C. D.
解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：
(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
4．已知拋物線y2＝2px，以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是 ( )
A．相離 B．相交
C．相切 D．不確定
解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB，中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線l
3、，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半徑，故相切．
答案：C
5．(宜賓檢測(cè))已知F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則||FA|－|FB||的值等于 ( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為y＝x－2由，消去y得x2－12x＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||FA|－|
4、FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8.
答案：C
6．已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是 ( )
A．5 B．8
C.－1 D.＋2
解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0,4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.
答案：C
二、填空題
5、7．(永州模擬)以拋物線x2＝16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為_(kāi)_______．
解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(0,4)，準(zhǔn)線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的方程為x2＋(y－4)2＝64.
答案：x2＋(y－4)2＝64
8．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，拋物線上一點(diǎn)Q(－3，m)到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為_(kāi)_______．
解析：設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)，
則準(zhǔn)線為y＝－.
∵Q(－3，m)在拋物線上，
∴9＝am.
而點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，
∴|m－(－)|＝5.將m＝代入，
得|＋|＝5，
6、解得，a＝±2，或a＝±18，
∴所求拋物線的方程為x2＝±2y，或x2＝±18y.
答案：x2＝±2y或x2＝±18y
9．給出拋物線y2＝4x，其焦點(diǎn)為F，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則在拋物線上使得△MOF為等腰三角形的點(diǎn)M有________個(gè)．
解析：當(dāng)MO＝MF時(shí)，△MOF為等腰三角形，這樣的M點(diǎn)有兩個(gè)，是線段OF的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)；當(dāng)OM＝OF時(shí)，△MOF也為等腰三角形，這樣的M點(diǎn)也有兩個(gè)；而使得OF＝MF的點(diǎn)M不存在，所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)．
答案：4
三、解答題
10．根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；
7、
(2)過(guò)點(diǎn)P(2，－4)．
解：雙曲線方程化為－＝1，
左頂點(diǎn)為(－3,0)，
由題意設(shè)拋物線方程為
y2＝－2px(p>0)，則－＝－3，
∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m＝8，n＝－1，
∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.
11．已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M，P兩點(diǎn)，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q.若向量與的夾角為，求△POM的面積．
解：設(shè)點(diǎn)M(，y1)，P(
8、，y2)，
∵P，M，A三點(diǎn)共線，
∴kAM＝kPM，
即＝，
即＝，
∴y1y2＝4.
∴ · ＝·＋y1y2＝5.
∵向量 與 的夾角為，
∴| |·| |·cos＝5.
∴S△POM＝| | ·| | ·sin＝.
12．(新課標(biāo)全國(guó)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－1)，B點(diǎn)在直線y＝－3上，M點(diǎn)滿足 ∥ ， · ＝ · ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．
解：(1)設(shè)M(x，y)由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以 ＝(－x，－1－y)， ＝(0，－3－y)，
＝(x，－2)．
再由題意可知(＋ )·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲線C的方程為y＝x2－2.
(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：y＝x2－2上一點(diǎn)，
因?yàn)閥′＝x，所以l的斜率為x0.
因此曲線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0.
則O點(diǎn)到l的距離d＝.又y0＝x－2，
所以d＝＝(＋)≥2，
當(dāng)x0＝0時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2.
2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解析幾何練習(xí)7
