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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第69課時 二項式定理教案
教學(xué)目標(biāo)：正確理解二項式定理，能準(zhǔn)確地寫出二項式的展開式會區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù) 掌握二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用.
熟練掌握二項式定理的基本問題――通項公式及其應(yīng)用.
教學(xué)重點：利用二項式展開式可以證明整除性問題，討論項的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計算， 代數(shù)式求值，放縮法證明不等式.
（一） 主要知識及主要方法：
二項式定理及其特例：
，
二項展開式的通項公式：
常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項：
求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性
2、.
二項式系數(shù)表（楊輝三角）
展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)依次取…時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和.
二項式系數(shù)的性質(zhì)：
展開式的二項式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時，其圖象是個孤立的點（如圖）
對稱性．
與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（）．直線是圖象的對稱軸.
增減性與最大值：
當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值.
各二項式系數(shù)和：∵，
令，則
在使用通項公式時，要注意：
通項公式是表示第項，而不是第項.展開式中第項的二項式系數(shù)與第項的系數(shù)不同.通項公式中含有五
3、個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意是正整數(shù)，是非負(fù)整數(shù)且≤. 證明組合恒等式常用賦值法.要正確理解二項式定理，準(zhǔn)確地寫出二項式的展開式.要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù). 二項式展開式系數(shù)可用通項公式及組合知識.
用二項式定理進(jìn)行近似運算，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厣崛〔挥绊懢鹊捻?，一般地：?dāng)
很小時，有.
（二）典例分析：
問題1．（全國Ⅱ）的展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作答）.
求展開式中的
4、系數(shù)（要求用兩種方法解答）.
求展開式中系數(shù)最大的項
求展開所得的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項數(shù)
問題2．已知，
則
（安徽文）已知，
則的值等于 ．
（浙江）若多項式，則
（天津）設(shè)，則
問題3．求的近似值（精確到）
已知能被整除，則最小值
5、
問題4．求證：≤（）；你能把不等式中的上限變得更小些嗎？
（三）課后作業(yè)：
展開式中含項的系數(shù)是
展開式中的系數(shù)是
的展開式中的系數(shù)是
今天是星期日，不算今天，再過天后的第一天是星期幾？
（）被除后的余數(shù)是
設(shè) ，則的反函數(shù)
設(shè)，則
的值為
6、
若則
（屆西工大附中模擬文）設(shè)為滿足的最大自然數(shù),
則_____
（四）走向高考：
(湖北) 的展開式中整理后的常數(shù)項為
（全國Ⅱ）的展開式中項的系數(shù)是
（江西）已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則等于
（陜西文）的展開式中項的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）
（四川）設(shè)函數(shù)，且
當(dāng)時，求的展開式中二項式系數(shù)最大的項；
對任意的實數(shù)，證明＞是的導(dǎo)函數(shù)）
是否存在，使得＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，請說明理由.
（陜西）已知各項全不為零的數(shù)列的前項和為，且，其中．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）對任意給定的正整數(shù)（≥），數(shù)列滿足（），，求．
論并求出的值;若不存在,請說明理由.
2022年高三數(shù)學(xué) 第69課時 二項式定理教案
