2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次考試試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】試題的題型比例配置與高考要求一致，全卷重點考查中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識和方法，側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，側(cè)重于知識交匯點的考查.在函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其在解答題，涉及高中數(shù)學(xué)的重點知識.明確了教學(xué)方向和考生的學(xué)習(xí)方向.本卷具有一定的綜合性，很多題由多個知識點構(gòu)成，在適當(dāng)?shù)囊?guī)劃和難度控制下，效果明顯，通過知識交匯的考查，對考生數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求，提高了區(qū)分度，完全符合課改的要求和學(xué)生學(xué)習(xí)的實際情況. 一、選擇題（本大題共10小

2、題，每小題只有一個正確答案，每題5分，共50分） 【題文】1. 設(shè)集合≤x≤2},B=,則= A.［1,2］ B.［0,2］ C. ［1,4］ D.［0,4］ 【知識點】交、并、補集的混合運算．A1 【答案解析】B 解析：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x＞0，x∈R}={x＞4，或x＜0}， ∴={x|0≤x≤4}，∴={x|0≤x≤2}．故選B． 【思路點撥】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)條件先求出，再求的值． 【題文】2. 設(shè)（是虛數(shù)單位），則=

3、 A. B． C． D． 【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．L4 【答案解析】C 解析：∵，∴== =1+i﹣2i=1﹣i，故選：C． 【思路點撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算進行化簡即可得到結(jié)論． 【題文】3．以q為公比的等比數(shù)列中，，則“”是“”的 A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2 【答案解析】A 解析：在等比數(shù)列中，若a1＜a3，則a1＜a1q2， ∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或

4、q＜﹣1． 若q＞1，則a1q2＞a1，即a1＜a3成立， ∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分條件，故選：A． 【思路點撥】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷． 【題文】4．若點M（）為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是 A． B． C． D． 【知識點】簡單線性規(guī)劃．E5 【答案解析】D 解析：由約束條件作出可行域如圖， 令z=x+2y，化為直線方程的斜截式得：， 由圖可知，當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點A（0，）時，直線在y軸上的截距最大， z最大，最大值為z=0+2×=1．故選：D

5、． 【思路點撥】由約束條件作出可行域，令z=x+2y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入z=x+2y得答案． 【題文】5．若如下框圖所給的程序運行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是 A． B． C． D． 【知識點】程序框圖．L1 【答案解析】D 解析：當(dāng)k=10時，S=1+10=11，k=9， 當(dāng)k=9時，S=11+9=20，k=8， 當(dāng)k=8時，S=20+8=28，k=7， 當(dāng)k=7時，S=28+7=35，k=6， 此時不滿足條件輸出， ∴判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k

6、的條件是k＞6， 故選：D． 【思路點撥】根據(jù)程序，依次進行運行得到當(dāng)S=35時，滿足的條件，即可得到結(jié)論． 【題文】6．已知實數(shù)x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，則下列關(guān)系式恒成立的是 A．＞ B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C．sin x＞sin y D．x3＞y3 【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).B6 【答案解析】D 解析：∵實數(shù)x，y滿足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y， A．若＞，則等價為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，當(dāng)x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＜y2不成立． B．若ln（x2+1）＞ln（y2+

7、1），則等價為x2＞y2成立，當(dāng)x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＞y2不成立． C．當(dāng)x=π，y=時，滿足x＞y，但sinx＞siny不成立． D．當(dāng)x＞y時，x3＞y3，恒成立， 故選：D． 【思路點撥】本題主要考查不等式的大小比較，利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 【題文】7．函數(shù)，下列結(jié)論不正確的 A．此函數(shù)為偶函數(shù)． B．此函數(shù)是周期函數(shù)． C．此函數(shù)既有最大值也有最小值． D．方程的解為． 【知識點】分段函數(shù)的應(yīng)用．B10 【答案解析】D 解析：A．若x為有理數(shù)，則﹣x也為有理數(shù)，∴f（﹣x

8、）=f（x）=1， 若x為無理數(shù)，則﹣x也無有理數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）=π，∴恒有f（﹣x）=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．∴A正確． B．設(shè)T為一個正數(shù)．當(dāng)T為無理數(shù)時，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期； 當(dāng)T為有理數(shù)時，若x為有理數(shù)，易知x+kT（k為整數(shù)）還是有理數(shù)，有f（x+T）=f（x）， 若x為無理數(shù)，易知x+kT（k為整數(shù)）還是無理數(shù)，仍有f（x+T）=f（x）．綜上可知，任意非0有理數(shù)都是f（x）的周期．此命題也是對的． C．由分段 函數(shù)的表達式可知，當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1，當(dāng)x為無理

9、數(shù)時，f（x）=π， ∴函數(shù)的最大值為π，最小值為1，∴C正確． D．當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1，則f[f（x）]=f（1）=1，此時方程成立． 當(dāng)x為無理數(shù)時，f（x）=π，則f[f（x）]=f（π）=π，∴D錯誤． 故選：D． 【思路點撥】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，分別利用函數(shù)奇偶性，周期性和函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可． 【題文】8．不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【知識點】一元二次不等式的解法．E3 【答案解析】C 解析：對任意a，b∈（0，+∞），， 所以只需x2+2x＜8,即（x﹣2）（x+4）

10、＜0，解得x∈（﹣4，2）,故選C 【思路點撥】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值． 【題文】9．設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，它的周期是，則 A．的圖象過點 B．在上是減函數(shù) C．的一個對稱中心是 D．的最大值是A 【知識點】正弦函數(shù)的對稱性；三角函數(shù)的周期性及其求法．C3 【答案解析】C 解析：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的周期π，所以ω==2；函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以φ=， 函數(shù)的解析式為 f（x）=Asin（2x+），f（x）的圖象過點不正確；f（x）在上是減函數(shù)，不正確，f（x）的最大值是|A|，所以D不正確

11、；x=時，函數(shù)f（x）=0，所以f（x）的一個對稱中心是，正確； 故選C 【思路點撥】通過函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的周期，求出ω，利用函數(shù)圖象的對稱軸，求出φ，得到函數(shù)的解析式，然后判斷選項的正誤即可． 【題文】 10．設(shè)函數(shù)的圖像在點處切線的斜率為，則函數(shù)的圖像為 A B C D 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B12 【答案解析】B 解析：∵f（x）=x sinx+cosx ∴f'（x）=（x sinx）'

12、+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=x cosx+sinx﹣sinx=x cosx ∴k=g（t）=tcost，根據(jù)y=cosx的圖象可知g（t）應(yīng)該為奇函數(shù)且當(dāng)x＞0時g（t）＞0 故選B． 【思路點撥】先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)運算，根據(jù)在點（t，f（t））處切線的斜率為在點（t，f（t））處的導(dǎo)數(shù)值，可得答案． 二、填空題（5小題，每題5分，共25分） 【題文】11．平面向量與的夾角為，，，則=________ . 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算．F3 【答案解析】 解析：由題意可得 =||?||?cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，

13、 ∴|﹣2|====2， 故答案為：． 【思路點撥】由題意可得 =||?||?cos120°的值，再根據(jù)|﹣2|=，計算求得結(jié)果． 【題文】12．已知等差數(shù)列的公差，若， _____. 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)．D2 【答案解析】1008 解析：∵等差數(shù)列{an}中，∴a1+a2+…+axx=xxa1008， ∵a1+a2+…+axx=xxam，∴m=1008．故答案為：1008． 【思路點撥】直接利用等差數(shù)列性質(zhì)，即可得出結(jié)論． 【題文】13．已知矩形中，，在矩形內(nèi)隨機取一點,則 的概率為__________ . 【知識點】幾何概型．K3 【答案解析】 解析：

14、四邊形ABCD的面積為2． BM＜BC表示以B為圓心，1為半徑的圓在矩形ABCD內(nèi)部的部分，面積為， ∴BM＜BC的概率為=． 故答案為：． 【思路點撥】本題為幾何概型，由題意通過圓和矩形的知識確定滿足條件的圖形，分別找出滿足條件的點集對應(yīng)的圖形面積，及圖形的總面積，作比值即可． 【題文】14．已知=2，=3，=4，…，若=6（a，t均為正實數(shù)）．類比以上等式，可推測a，t的值，則t+a=　_________?。畑x考2xx20 【知識點】類比推理．M1 【答案解析】41 解析：觀察下列等式 =2， =3，=4，… 照此規(guī)律，第5個等式中：a=6，t=a2﹣1=35，

15、a+t=41． 故答案為：41． 【思路點撥】觀察所給的等式，等號右邊是，，…第n個應(yīng)該是，左邊的式子，寫出結(jié)果． 【題文】15．下列命題： ①兩個變量間的相關(guān)系數(shù)越小，說明兩變量間的線性相關(guān)程度越低； ②已知線性回歸方程為，當(dāng)變量增加1個單位，其預(yù)報值平均增加2個單位； ③某項測試成績滿分為10分，現(xiàn)隨機抽取30名學(xué)生參加測試，得分如右圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，平均值為，眾數(shù)為mo，則me=mo＜； ④設(shè)a、b∈R，若a+b≠6，則a≠3或b≠3； ⑤不等式＋－<的解集為，則. 其中正確命題的序號是 （把所有正確命題的序號都寫上）.

16、 【知識點】頻率分布直方圖.菁I2 【答案解析】②④ 解析：對于①，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越趨近于1，相關(guān)性越強；越趨近于0，相關(guān)性越弱，∴①錯誤； 對于②，線性回歸方程=3+2中，當(dāng)變量x增加1個單位時，其預(yù)報值平均增加2個單位，是正確的； 對于③，根據(jù)頻率分布直方圖得，眾數(shù)mo最小，平均值最大，∴③錯誤； 對于④，它的逆否命題是：設(shè)a、b∈R，若a=3且b=3，則a+b=6，是真命題， ∴原命題也是真命題，④正確； 對于⑤，由絕對值的意義知|x|+|x﹣1|的最小值為1， ∴|x|+|x﹣1|＜a的解集為空集時，a≤1，∴⑤錯誤． 綜上，正確的命題是②④． 故答案為：②

17、④． 【思路點撥】①根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的意義判斷即可； ②根據(jù)線性回歸方程中相關(guān)系數(shù)的意義判斷即可； ③根據(jù)頻率分布直方圖以及眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的意義進行判斷即可； ④根據(jù)原命題與逆否命題的真假性相同，進行判斷即可； ⑤根據(jù)絕對值的意義以及不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的關(guān)系，即可得出a的取值范圍． 三、解答題：（6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16．（本小題滿分12分） 某次的一次學(xué)科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖． （Ⅰ）求參加測試的總?cè)藬?shù)及分數(shù)在[80，90）之間的人數(shù)； （Ⅱ）若要從分數(shù)在[80，1

18、00）之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，恰有一份分數(shù)在[90，100）之間的概率． 【知識點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．K2 I2 【答案解析】（Ⅰ）4；（Ⅱ）。 解析：（Ⅰ）成績在[50，60）內(nèi)的頻數(shù)為2，由頻率分布直方圖可以看出，成績在[90，100]內(nèi)同樣有2人． 由，解得n=25．成績在[80，90）之間的人數(shù)為25﹣（2+7+10+2）=4人，∴參加測試人數(shù)n=25，分數(shù)在[80，90）的人數(shù)為4人。 （Ⅱ）設(shè)“在[80，100]內(nèi)的學(xué)生中任選兩人，恰有一人分數(shù)在[90，100]內(nèi)”為事件M， 將[80，90）內(nèi)的4人

19、編號為a，b，c，d；[90，100]內(nèi)的2人編號為A，B 在[80，100]內(nèi)的任取兩人的基本事件為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個．其中，恰有一人成績在[90，100]內(nèi)的基本事件有 aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8個．∴所求的概率得。 【思路點撥】（Ⅰ）根據(jù)條件所給的莖葉圖看出分數(shù)在[50，60）之間的頻數(shù)，由頻率分布直方圖看出分數(shù)在[50，60）之間的頻率和[90，100）之間的頻率一樣，繼而得到參加測試的總?cè)藬?shù)及分數(shù)在[80，90）之間的人數(shù)； （Ⅱ）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有

20、事件可以通過列舉得到結(jié)果數(shù)，看出滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果． 【題文】17.（本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列的前項和為 ，成等差數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式; （Ⅱ）數(shù)列是首項為-6，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和. 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．D4 D5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由已知得,則. 代入，得，解得（舍去）或.所以. （Ⅱ）由題意得，所以. 設(shè)數(shù)列的前項和為，則 . 【思路點撥】（Ⅰ）利用S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，確定數(shù)列的公比，即可求得數(shù)列的通項；（Ⅱ）確定數(shù)列{bn}的通項，利用分組求和

21、，可求數(shù)列{bn}的前n項和． 【題文】18．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)． (Ⅰ)設(shè)，求的值域； (Ⅱ)在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，．已知c=1，，且△ABC的面積為，求邊a和b的長． 【知識點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理．C7 C8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）或 解析：（Ⅰ）==． 時，值域為． （Ⅱ）因為，由（1）知． 因為△ABC的面積為，所以，于是. ① 在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b. 由余弦定理得，所以． ?② 由①②可得或 【思路點撥】（Ⅰ）化簡可得f（x）=．x∈[﹣，]，即可求出f

22、（x）的值域；（Ⅱ）先求出C，再由三角形面積公式有，由正弦定理得a2+b2=7．聯(lián)立方程即可解得． 【題文】19.（本小題滿分12分） 已知在正項數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，數(shù)列的前n項和, (I) 求; (II)是否存在最大的整數(shù)t,使得對任意的正整數(shù)n均有總成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由, 【知識點】數(shù)列與不等式的綜合．D5 【答案解析】（Ⅰ）an＝2n－1，；（Ⅱ）存在符合題意。 解析：（Ⅰ）由2＝an＋1，得Sn＝2， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2－2，整理，得(an＋an－1)(an

23、－an－1－2)＝0， ∵數(shù)列{an}各項為正，∴an＋an－1>0.∴an－an－1－2＝0. ∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 于是 易知數(shù)列是遞增數(shù)列，故T1=是最小值，只需，即，因此存在符合題意。 【思路點撥】（Ⅰ）由2=an+1，得Sn=（）2，從而數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出an，Sn．（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn==，=，由此能求出t=11符合題意． 【題文】20.（本小題滿分13分） 某商區(qū)停車場臨時停車按時段收費，收費標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次

24、停車不超過小時收費元，超過小時的部分每小時收費元（不足小時的部分按小時計算）．現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時停車，兩人停車都不超過小時． (I) 若甲停車小時以上且不超過小時的概率為，停車付費多于元的概率為，求甲停車付費恰為元的概率； （Ⅱ）若每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費之和為元的概率． 【知識點】古典概型及其概率計算公式；互斥事件與對立事件．K2 K4 K5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）設(shè)“甲臨時停車付費恰為元”為事件，則 ． 甲臨時停車付費恰為元的概率是． (Ⅱ)設(shè)甲停車付費元，乙停車付費元，其中． 則甲、乙二人的停車費用共有16種

25、等可能的結(jié)果： .其中，種情形符合題意． “甲、乙二人停車付費之和為元”的概率為． 【思路點撥】（Ⅰ）根據(jù)題意，由全部基本事件的概率之和為1求解即可． （Ⅱ）先列出甲、乙二人停車付費之和為36元的所有情況，再利用古典概型及其概率計算公式求概率即可。 【題文】21．（本小題滿分14分） 若，其中． (I)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值； (Ⅱ)當(dāng)時，若，恒成立，求的取值范圍． 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．B12 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）當(dāng)，時，， ∵，∴當(dāng)時，，

26、 ∴函數(shù)在上單調(diào)遞增， 故 (Ⅱ)①當(dāng)時，，， ，，∴f（x）在上增函數(shù)， 故當(dāng)時，； ②當(dāng)時，，，（7分） （i）當(dāng)即時，在區(qū)間上為增函數(shù)， 當(dāng)時，，且此時； （ii）當(dāng)，即時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)， 故當(dāng)時，，且此時； （iii）當(dāng)，即時，在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)， 故當(dāng)時，. 綜上所述，函數(shù)的在上的最小值為） 由得；由得無解；由得無解； 故所求的取值范圍是． 【思路點撥】（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2，x∈[e，e2]時，f（x）=x2﹣2lnx+2，求其導(dǎo)數(shù)可判函數(shù)在[e，e2]上單調(diào)遞增，進而可得其最大值；（Ⅱ）分類討論可得函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為，分段令其，解之可得a的取值范圍．