2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 專題探究課四 高考中立體幾何問題的熱點題型學(xué)案 北師大版

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1、專題探究課四 高考中立體幾何問題的熱點題型高考導(dǎo)航1.立體幾何是高考考查的重要內(nèi)容，每年的高考試題中基本上都是“一大一小”兩題，即一個解答題，一個選擇題或填空題，題目難度中等偏下；2.高考試題中的選擇題或填空題主要考查學(xué)生的空間想象能力及計算能力，解答題則主要采用“論證與計算”相結(jié)合的模式，即首先是利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計算，重在考查學(xué)生的邏輯推理能力及計算能力，熱點題型主要有平面圖形的翻折、探索性問題等；3.解決立體幾何問題要用的數(shù)學(xué)思想方法主要有：(1)轉(zhuǎn)化與化歸(空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題)；(2)數(shù)形結(jié)合(根據(jù)空間位置關(guān)系利用

2、向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算).熱點一空間點、線、面的位置關(guān)系及空間角的計算(教材VS高考)空間點、線、面的位置關(guān)系通常考查平行、垂直關(guān)系的證明，一般出現(xiàn)在解答題的第(1)問，解答題的第(2)問?？疾榍罂臻g角，一般都可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【例1】 (滿分12分)(2017全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中點.(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角MABD的余弦值.教材探源本題源于教材選修21P109例4，在例4的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改造

3、，刪去了例4的第(2)問，引入線面角的求解.滿分解答(1)證明取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD，1分(得分點1)由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，3分(得分點2)又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.4分(得分點3)(2)解由已知得BAAD，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，(1，0，)，(1，0，0).設(shè)M(x，y，z)(0x0)，則A(0，0，0)，

4、B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，EF的中點G(1，1，h)，(1，1，h)，(0，2，0).設(shè)平面BCG的法向量為n(x，y，z)，則即取n(h，0，1).由于ACBF，ACBD，AC平面BDG，平面BDG的法向量為(2，2，0).由題意得cos 60，解得h1，此時.當(dāng)時，二面角CBGD的大小為60.5.(2018上饒名校調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ADDC，PD平面ABCD，E，F(xiàn)，M分別是棱PD，PC和BC上的點，且，N是PA上一點，ADPD.(1)求當(dāng)為何值時，平面NEF平面MEF；(2)在(1)的條件下，若ABDC2，PD

5、3，求平面BCN與平面MEF所成銳二面角的余弦值.解(1)在AD上取一點G，使得，連接EG，MG，EGPA，MGCD.PD平面ABCD，PDCD，ADCD，CD平面PAD，EFDC，則EF平面PAD.平面NEF平面MEF，NEG90，在RtPAD中，ADPD，PAPD，在PNE中，由正弦定理得PNPD.當(dāng)2時，平面NEF平面MEF.(2)以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(3，0，0)，B(3，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，3)，N(1，0，2)，(2，2，2)，(3，2，0)，(3，0，3)，(0，2，0)，設(shè)平面BCN的法向量n(x，y，z)，則即令y3，

6、則x2，z5，n(2，3，5)，EFAB，F(xiàn)MPB且EFFMF，平面MEF平面PAB，設(shè)平面PAB的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令x11，z11，n1(1，0，1)，平面MEF的一個法向量為n1(1，0，1)，|cosn1，n|，即平面BCN與平面MEF所成銳二面角的余弦值為.6.(2018廣州模擬)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，G為BD的中點，點R在線段BH上，且(0).現(xiàn)將AED，CFD，DEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，C重合于點B(該點記為P)，如圖2所示.(1)若2，求證：GR平面PEF；(2)是否存在正實數(shù)，使得直

7、線FR與平面DEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.(1)證明由題意，可知PE，PF，PD三條直線兩兩垂直.PD平面PEF.在圖1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，G為BD的中點，則EFAC，GDGB2GH.在圖2中，2，且2，在PDH中，GRPD.GR平面PEF.(2)解存在.由題意，分別以PF，PE，PD所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz.設(shè)PD4，則P(0，0，0)，F(xiàn)(2，0，0)，E(0，2，0)，D(0，0，4)，H(1，1，0).，R.(2，2，0)，(0，2，4)，設(shè)平面DEF的法向量為m(x，y，z)，由得取z1，則m(2，2，1).直線FR與平面DEF所成角的正弦值為，|cosm，|，921870，解得或(不合題意，舍去).故存在正實數(shù)，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為.18