2018版高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步章末復習課學案 新人教B版必修2

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1、 第一章 立體幾何初步 學習目標　1.整合知識結構，形成知識網(wǎng)絡、深化所學知識.2.會畫幾何體的直觀圖和三視圖，并能計算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關系． 1．空間幾何體的結構特征 (1)棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行． 棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形． 棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截而成的． 這三種幾何體都是多面體． (2)圓柱、圓錐、圓臺、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉而成的，它們都稱為旋轉體．在研究它們的結構特征以及解決應用問題時，常需

2、作它們的軸截面或截面． (3)由柱、錐、臺、球組成的簡單組合體，研究它們的結構特征實質是將它們分解成多個基本幾何體． 2．空間幾何體的三視圖與直觀圖 (1)三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形； 它包括主視圖、左視圖、俯視圖三種．畫圖時要遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則． 注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出．熟記常見幾何體的三視圖．畫組合體的三視圖時可先拆，后畫，再檢驗． (2)斜二測畫法為： 主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行

3、于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉化，這也是高考考查的重點；根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則理解三視圖中數(shù)據(jù)表示的含義，從而可以確定幾何體的形狀和基本量． 3．幾何體的表面積和體積的有關計算 (1)常見幾何體的表面積和體積的計算公式 面　積 體　積 圓柱 S側＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐 S側＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圓臺 V＝(S上＋S下＋)h ＝πh(r＋r＋r1r2) 直棱柱 S側＝ch V＝Sh

4、 正棱錐 S側＝ch′ V＝Sh 正棱臺 S側＝(c＋c′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 (2)求幾何體體積常用技巧 ①等體積法；②割補法． 4．平行關系 (1)基本性質4 平行于同一條直線的兩條直線________．即如果直線a∥b，c∥b，那么________． (2)直線與平面平行的判定與性質 定理 條件 結論 符號語言 判定 如果________________的一條直線和________的一條直線平行 這條直線和這個平面________ ________，m?α，________?l∥α 性質

5、如果一條直線和一個平面________，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面____________ 這條直線和____________ l∥α，________，______＝m?l∥m (3)平面與平面平行的判定 ①文字語言：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． ②符號語言：a?β，b?β，________，a∥α，b∥α?β∥α. ③圖形語言：如圖所示． (4)平面與平面平行的性質定理 ①文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行． ②符號語言：α∥β，α∩γ＝a，______?a∥b. ③圖形語言：如圖所示．

6、 ④作用：證明兩直線平行． 5．垂直關系 (1)直線與平面垂直的判定定理 定理：如果一條直線與平面內的________________直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 推論：如果在兩條________________中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． (2)直線與平面垂直的性質 性質1：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內的________一條直線垂直． 符號表示：?a⊥b. 性質2：如果兩條直線________________________，那么這兩條直線平行． (3)面面垂直的判定定理 如果一個平面過另一個平面的___________

7、_____，則這兩個平面互相垂直． (4)面面垂直的性質定理 如果兩個平面互相垂直，那么在________________垂直于________________的直線垂直于另一個平面． 6．共面與異面直線 (1)共面：空間中的________或________________，如果都在同一平面內，我們就說它們共面． (2)異面直線：既________又________的直線． 類型一　三視圖與表面積及體積的計算 例1　(1)如圖是一幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是(　　) A．5＋ B．5＋2 C．4＋2 D．4＋2 (2)一個幾何體的三視圖如圖

8、所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 反思與感悟　此類題目是先將三視圖還原成幾何體，計算幾何體的體積時，對于不規(guī)則的幾何體可利用割補法求體積． 跟蹤訓練1　(1)若一個底面是正三角形的三棱柱的主視圖如圖所示，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________． (2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 類型二　空間中的平行問題 例2　如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點． 求證：(1)GE∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H.

9、 　 　 反思與感悟　(1)判斷線線平行的方法 ①利用定義：證明線線共面且無公共點． ②利用平行公理：證明兩條直線同時平行于第三條直線． ③利用線面平行的性質定理： a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. ④利用面面平行的性質定理： α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. ⑤利用線面垂直的性質定理： a⊥α，b⊥α?a∥b. (2)判定線面平行的方法 ①利用定義：證明直線a與平面α沒有公共點，往往借助反證法． ②利用直線和平面平行的判定定理： a?α，b?α，a∥b?a∥α. ③利用面面平行的性質的推廣： α∥β，a?β?a∥α. (3)判定面面平行的方法

10、 ①利用面面平行的定義：兩個平面沒有公共點． ②利用面面平行的判定定理： a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β. ③垂直于同一條直線的兩個平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β. ④平行于同一個平面的兩個平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β. 跟蹤訓練2　如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，N是EC的中點，求證：平面DMN∥平面ABC. 　 　 類型三　空間中的垂直關系 例3　如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折

11、起，使得DE⊥EC. (1)求證：AE⊥平面CDE； (2)求證：FG∥平面BCD； (3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由． 　 　 　 反思與感悟　空間中垂直關系的判定方法 (1)判定線線垂直的方法 ①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)． ②線面垂直的性質(若a⊥α，b?α，則a⊥b)． (2)判定線面垂直的方法 ①線面垂直定義(一般不易驗證任意性)． ②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)． ③平行線垂直平面的傳遞性質(a∥b，b⊥α?a⊥α)． ④面面垂直的性質(

12、α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)． ⑤面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)． (3)面面垂直的判定方法 ①根據(jù)定義(作兩平面構成二面角的平面角，計算其為90°)． ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． 跟蹤訓練3　如圖，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點． (1)求證：GF∥平面ABC； (2)求證：平面EBC⊥平面ACD； (3)求幾何體A－DEBC的體積V. 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某三棱錐的三視圖

13、如圖所示，則該三棱錐的表面積是(　　) A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5 2．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 3．設有不同的直線m、n和不同的平面α、β，下列四個命題中，正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β C．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α 4.如圖

14、所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________. 5.如圖，在棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求證：(1)直線PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 　 　 　 　 　 1．研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作

15、截面把空間幾何問題轉化成平面幾何問題來解決． 另外，圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉化為平面問題來解決． 2．轉化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關系為 答案精析 知識梳理 4．(1)平行　a∥c (2)不在一個平面　平面內　平行　l?α l∥m　平行　相交　兩平面的交線平行 l?β　α∩β (3)②a∩b＝P (4)②β∩γ＝b 5．(1)兩條相交　平行直線 (2)任意　垂直于同一個平面 (3)一條垂線 (4)一個平面內　它們交線 6．(1)幾個點　幾條直線 (2

16、)不平行　不相交 題型探究 例1　(1)A　[如圖所示， 該幾何體的表面積S＝1×1＋×1×1×2＋2××(1＋2)×1＋××＝5＋，故選A.] (2)π 解析　由幾何體的三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和一個圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，所以該幾何體的體積V＝2×π×12×1＋π×12×2＝π(m3)． 跟蹤訓練1　(1)π 解析　由主視圖知，三棱柱的底面邊長為2，高為1，外接球的球心在上下兩個三角形中心連線的中點上，連接球心和任意一個頂點的線段長為球的半徑，則R2＝()2＋()2＝(其中R為球的半徑)，則球的表面積S＝4πR2＝4π

17、×＝π. (2)24 解析　由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由主視圖和左視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示．在圖(1)中，＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30， ＝·PB1＝××4×3×3＝6.故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24. 例2　證明　(1)取B1D1中點O，連接GO，OB， 易證 OG綊B1C1， BE綊B1C1， ∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形． ∴OB∥GE. ∵OB?平面BB1D1D， GE?平面BB1D1D，

18、 ∴GE∥平面BB1D1D. (2)由正方體性質得B1D1∥BD， ∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF， ∴B1D1∥平面BDF. 連接HB，D1F， 易證HBFD1是平行四邊形， 得HD1∥BF. ∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF， ∴HD1∥平面BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 跟蹤訓練2　證明　∵M、N分別是EA與EC的中點，∴MN∥AC， 又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC， ∴MN∥平面ABC， ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC， ∴BD∥EC， ∵N為EC中點，EC＝2BD， ∴NC綊BD，

19、 ∴四邊形BCND為矩形， ∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC， ∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N， ∴平面DMN∥平面ABC. 例3　(1)證明　由已知得DE⊥AE， AE⊥EC. ∵DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE， ∴AE⊥平面CDE. (2)證明　取AB的中點H，連接GH，F(xiàn)H， ∴GH∥BD， FH∥BC. ∵GH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴GH∥平面BCD. 同理，F(xiàn)H∥平面BCD， 又GH∩FH＝H， ∴平面FHG∥平面BCD， ∵GF?平面FHG， ∴GF∥平面BCD. (3)解　取線段AE的中點R

20、， DC的中點M，DB的中點S， 連接MS，RS，BR，DR，EM， 則MS綊BC. 又RE綊BC， ∴MS綊RE， ∴四邊形MERS是平行四邊形， ∴RS∥ME. 在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點， ∴EM⊥DC. 由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC， ∴BC⊥平面CDE. ∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC. ∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD. ∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD. ∵RS?平面BDR， ∴平面BDR⊥平面DCB. 跟蹤訓練3　(1)證明　如圖，取BE的中點H，連接HF，GH.因為G，F(xiàn)分別是EC和BD的中點，所以HG∥BC，

21、 HF∥DE. 又因為四邊形ADEB為正方形， 所以DE∥AB，從而HF∥AB. 所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC. 又因為GH∩HF＝H， 所以平面HGF∥平面ABC. 所以GF∥平面ABC. (2)證明　因為四邊形ADEB為正方形，所以EB⊥AB. 又因為平面ABED⊥平面ABC， 平面ABED∩平面ABC＝AB， 所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC. 又因為CA2＋CB2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因為BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 又因為AC?平面ACD， 從而平面EBC⊥平面ACD. (3)解　取AB的中點N，連接CN，

22、因為AC＝BC， 所以CN⊥AB，且CN＝AB＝a. 又平面ABED⊥平面ABC， 平面ABED∩平面ABC＝AB， 所以CN⊥平面ABED. 因為C－ABED是四棱錐， 所以VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3. 即幾何體A－DEBC的體積V＝a3. 當堂訓練 1．C　2.B　3.D 4.a 解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝， 故PQ＝＝DP＝. 5．證明　(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點， 所以DE∥PA. 又因為PA?平面DEF， DE?平面DEF， 所以直線PA∥平面DEF. (2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC， EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 15