2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題4.1 簡單的二次方程組的解法精講深剖學(xué)案

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1、 第1講 簡單的二次方程組的解法 本專題在初中學(xué)習(xí)方程、不等和函數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要，共同學(xué)習(xí)簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法。 探究一 簡單的二次方程組的解法 在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．高中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程組的解法．因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解法． 【知識梳理】 1.含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程． 2.由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組組成的方程組，

2、叫做二元二次方程組。 3.解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和 “降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。 探究1: 由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組 一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解．其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解． 【典例解析】解方程組 【分析】由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去． 【解析】 由(1)

3、變形得： (3) 將(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程組的解是：． 【解題反思】 (1) 解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟： ①由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應(yīng)的未知數(shù)的值； ⑤寫出答案． (2) 消，還是消，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來決定．若系數(shù)均為整數(shù)，那么最好消去系數(shù)絕對值較小的，如方程，可以消去，變形得，再代入消元． (3) 消

4、元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值，不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn)切記． 【變式訓(xùn)練】解方程組 【分析】本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把、看成是方程 的兩根，則更容易求解． 【點(diǎn)評】(1) 對于這種對稱性的方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于、的字母，如． (2) 對稱形方程組的解也應(yīng)是對稱的，即有解，則必有解． 探究2:由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組 （1）可因式分解型的方程組 方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

5、方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成． 【典例解析】解方程組 【分析】注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程． 【解題反思】由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過因式分解，化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程． 【變式訓(xùn)練】解方程組 【分析】本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程．對其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為上例． 【解析】(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方

6、程組可化為兩個(gè)二元一次方程組：． 用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：． 【點(diǎn)評】若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方程．此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組． （2）可消二次項(xiàng)型的方程組 【典例解析】解方程組 【分析】注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組． 【解題反思】若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解．二元二次

7、方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問題具體解決。 【變式訓(xùn)練】1.解二元二次方程組． 【分析】，②﹣①×2可得：y=2﹣3x， 代入①化為：11x2﹣46x+8=0，解得x，進(jìn)而解得y． 【解答】， ②﹣①×2可得：y=2﹣3x， 代入①化為：11x2﹣46x+8=0， 解得x=，x=4． ∴，或． ∴原方程組的解為：，或． 【點(diǎn)評】觀察方程組通過加減消元法，消去二次項(xiàng)，得到二元一次方程，代入可解，先降次再消元。 2.解二元二次方程組． 【分析】，①﹣②×2可得：x2﹣x=0，解得x，進(jìn)而解得y． 【解答】解：， ①﹣②×2可得：x2﹣x=0，解得x=0或1． ∴，，，． ∴原方程組的解為：，，，． 【點(diǎn)評】觀察方程組通過加減消元法，消去二次項(xiàng)，進(jìn)而求解?？疾榱送评砟芰εc計(jì)算能力。 5