2018高中數學 初高中銜接讀本 專題4.1 簡單的二次方程組的解法精講深剖學案

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1、 第1講 簡單的二次方程組的解法 本專題在初中學習方程、不等和函數的基礎上，根據高中學習的需要，共同學習簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法。 探究一 簡單的二次方程組的解法 在初中我們已經學習了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．高中學習圓錐曲線時，需要用到二元二次方程組的解法．因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解法． 【知識梳理】 1.含有兩個未知數、且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程，叫做二元二次方程． 2.由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組組成的方程組，

2、叫做二元二次方程組。 3.解二元二次方程組的基本思想是“轉化”，這種轉化包含“消元”和 “降次”將二元轉化為一元是消元，將二次轉化為一次是降次，這是轉化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關鍵。 探究1: 由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組 一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解．其蘊含著轉化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解． 【典例解析】解方程組 【分析】由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去． 【解析】 由(1)

3、變形得： (3) 將(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程組的解是：． 【解題反思】 (1) 解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的步驟： ①由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一個一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應的未知數的值； ⑤寫出答案． (2) 消，還是消，應由二元一次方程的系數來決定．若系數均為整數，那么最好消去系數絕對值較小的，如方程，可以消去，變形得，再代入消元． (3) 消

4、元后，求出一元二次方程的根，應代入二元一次方程求另一未知數的值，不能代入二元二次方程求另一未知數的值，因為這樣可能產生增根，這一點切記． 【變式訓練】解方程組 【分析】本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點，可以把、看成是方程 的兩根，則更容易求解． 【點評】(1) 對于這種對稱性的方程組，利用一元二次方程的根與系數的關系構造方程時，未知數要換成異于、的字母，如． (2) 對稱形方程組的解也應是對稱的，即有解，則必有解． 探究2:由兩個二元二次方程組成的方程組 （1）可因式分解型的方程組 方程組中的一個方程可以因式分解化為兩個二元一次方程，則原方程組可轉化為兩個

5、方程組，其中每個方程組都是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成． 【典例解析】解方程組 【分析】注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個二元二次方程組，且每個方程組中均有一個方程為二元一次方程． 【解題反思】由兩個二元二次方程組成的方程組中，有一個方程可以通過因式分解，化為兩個二元一次方程，則原方程組轉化為解兩個方程組，其中每一個方程組均有一個方程是二元一次方程． 【變式訓練】解方程組 【分析】本題的特點是方程組中的兩個方程均缺一次項，我們可以消去常數項，可得到一個二次三項式的方程．對其因式分解，就可以轉化為上例． 【解析】(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方

6、程組可化為兩個二元一次方程組：． 用代入法解這兩個方程組，得原方程組的解是：． 【點評】若方程組的兩個方程均缺一次項，則消去常數項，得到一個二元二次方程．此方程與原方程組中的任一個方程聯立，得到一個可因式分解型的二元二次方程組． （2）可消二次項型的方程組 【典例解析】解方程組 【分析】注意到兩個方程都有項，所以可用加減法消之，得到一個二元一次方程，即轉化為由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組． 【解題反思】若方程組的兩個方程的二次項系數對應成比例，則可用加減法消去二次項，得到一個二元一次方程，把它與原方程組的任意一個方程聯立，解此方程組，即得原方程組的解．二元二次

7、方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問題具體解決。 【變式訓練】1.解二元二次方程組． 【分析】，②﹣①×2可得：y=2﹣3x， 代入①化為：11x2﹣46x+8=0，解得x，進而解得y． 【解答】， ②﹣①×2可得：y=2﹣3x， 代入①化為：11x2﹣46x+8=0， 解得x=，x=4． ∴，或． ∴原方程組的解為：，或． 【點評】觀察方程組通過加減消元法，消去二次項，得到二元一次方程，代入可解，先降次再消元。 2.解二元二次方程組． 【分析】，①﹣②×2可得：x2﹣x=0，解得x，進而解得y． 【解答】解：， ①﹣②×2可得：x2﹣x=0，解得x=0或1． ∴，，，． ∴原方程組的解為：，，，． 【點評】觀察方程組通過加減消元法，消去二次項，進而求解?？疾榱送评砟芰εc計算能力。 5